Parâmetro de localização - Location parameter

Em estatística , um parâmetro de localização de uma distribuição de probabilidade é um parâmetro com valor escalar ou vetorial , que determina a "localização" ou deslocamento da distribuição. Na literatura de estimativa de parâmetro de localização, as distribuições de probabilidade com tal parâmetro são definidas formalmente em uma das seguintes maneiras equivalentes: ${\ displaystyle x_ {0}}$

• tanto como tendo uma função de densidade de probabilidade ou função de massa de probabilidade ; ou${\ displaystyle f (x-x_ {0})}$
• ter uma função de distribuição cumulativa ; ou${\ displaystyle F (x-x_ {0})}$
• sendo definido como resultante da transformação da variável aleatória , onde é uma variável aleatória com uma certa distribuição, possivelmente desconhecida (Veja também #Additive_noise ).${\ displaystyle x_ {0} + X}$${\ displaystyle X}$

Um exemplo direto de um parâmetro de localização é o parâmetro da distribuição normal . Para ver isso, observe que a função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal pode ter o parâmetro fatorado e ser escrito como: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f (x | \ mu, \ sigma)}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle g (y- \ mu | \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {y} {\ sigma}} \ right) ^ {2}}}$

cumprindo assim a primeira das definições dadas acima.

A definição acima indica, no caso unidimensional, que se for aumentada, a densidade de probabilidade ou função de massa se desloca rigidamente para a direita, mantendo sua forma exata. ${\ displaystyle x_ {0}}$

Um parâmetro de localização também pode ser encontrado em famílias com mais de um parâmetro, como famílias em escala de localização . Neste caso, a função de densidade de probabilidade ou função de massa de probabilidade será um caso especial da forma mais geral

${\ displaystyle f_ {x_ {0}, \ theta} (x) = f _ {\ theta} (x-x_ {0})}$

onde é o parâmetro de localização, θ representa parâmetros adicionais e é uma função parametrizada nos parâmetros adicionais. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f _ {\ theta}}$

Ruído aditivo

Uma forma alternativa de pensar nas famílias de locais é por meio do conceito de ruído aditivo . Se é uma constante e W é um ruído aleatório com densidade de probabilidade, então tem densidade de probabilidade e sua distribuição é, portanto, parte de uma família de localização. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f_ {W} (w),}$${\ displaystyle X = x_ {0} + W}$${\ displaystyle f_ {x_ {0}} (x) = f_ {W} (x-x_ {0})}$

Provas

Para o caso univariado contínuo, considere uma função de densidade de probabilidade , onde é um vetor de parâmetros. Um parâmetro de localização pode ser adicionado definindo: ${\ displaystyle f (x | \ theta), x \ in [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) = f (x-x_ {0} | \ theta), \; x \ in [a-x_ {0}, b-x_ {0}]}$

pode-se provar que é um pdf verificando se respeita as duas condições e . integra-se a 1 porque: ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) \ geq 0}$${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = 1}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}} ^ {b-x_ {0}} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}} ^ {b-x_ {0}} f (x-x_ {0} | \ theta) dx}$

agora, fazer a alteração da variável e atualizar o intervalo de integração resulta em: ${\ displaystyle u = x-x_ {0}}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (u | \ theta) du = 1}$

porque é um pdf por hipótese. segue do compartilhamento da mesma imagem de , que é um pdf, portanto sua imagem está contida em . ${\ displaystyle f (x | \ theta)}$${\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) \ geq 0}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0,1]}$

Veja também

• Tendencia central
• Teste de localização
• Estimador invariante
• Parâmetro de escala
• Modelos de decisão de dois momentos

Referências