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Em geometria , desigualdades de triângulo são desigualdades envolvendo os parâmetros de triângulos , que valem para cada triângulo, ou para cada triângulo que satisfaça certas condições. As desigualdades dão uma ordenação de dois valores diferentes: eles são da forma "menor que", "menor ou igual a", "maior que" ou "maior ou igual a". Os parâmetros em uma desigualdade de triângulo podem ser os comprimentos dos lados, o semiperímetro , as medidas dos ângulos , os valores das funções trigonométricas desses ângulos, a área do triângulo, as medianas dos lados, as altitudes , os comprimentos das bissetoras dos ângulos internos de cada ângulo para o lado oposto, as bissetoras perpendiculares dos lados, a distância de um ponto arbitrário a outro ponto, o inradius , o exradii , o circumradius e / ou outras quantidades.
A menos que especificado de outra forma, este artigo trata de triângulos no plano euclidiano .
Parâmetros principais e notação
Os parâmetros que aparecem mais comumente nas desigualdades de triângulo são:
- os comprimentos laterais a , b e c ;
- o semiperímetro s = ( a + b + c ) / 2 (metade do perímetro p );
- o ângulo mede A , B e C dos ângulos dos vértices opostos aos respectivos lados a , b e c (com os vértices denotados com os mesmos símbolos que suas medidas de ângulo);
- os valores das funções trigonométricas dos ângulos;
- a área T do triângulo;
- as medianas m a , m b e m c dos lados (cada um sendo o comprimento do segmento de linha do ponto médio do lado ao vértice oposto);
- as altitudes h a , h b e h c (cada uma sendo o comprimento de um segmento perpendicular a um lado e alcançando daquele lado (ou possivelmente a extensão daquele lado) até o vértice oposto);
- os comprimentos dos bissetores do ângulo interno t a , t b e t c (cada um sendo um segmento de um vértice para o lado oposto e bissetrando o ângulo do vértice);
- as bissetoras perpendiculares p a , p b e p c dos lados (cada uma sendo o comprimento de um segmento perpendicular a um lado em seu ponto médio e alcançando um dos outros lados);
- os comprimentos dos segmentos de linha com um ponto final em um ponto arbitrário P no plano (por exemplo, o comprimento do segmento de P ao vértice A é denotado PA ou AP );
- o inradius r (raio do círculo inscrito no triângulo, tangente a todos os três lados), o exradii r a , r b e r c (cada um sendo o raio de um círculo tangente ao lado a , b ou c respectivamente e tangente às extensões dos outros dois lados), e o circumradius R (raio do círculo circunscrito em torno do triângulo e passando por todos os três vértices).
Comprimentos laterais
A desigualdade básica do triângulo é
ou equivalente
Além disso,
onde o valor do lado direito é o limite mais baixo possível, aproximado
assintoticamente à medida que certas classes de triângulos se aproximam do caso
degenerado de área zero. A desigualdade à esquerda, que vale para todos os positivos
a, b, c , é
a desigualdade de Nesbitt .
Nós temos
Se o ângulo C for obtuso (maior que 90 °), então
se C for agudo (menos de 90 °), então
O caso intermediário de igualdade quando C é um ângulo reto é o teorema de Pitágoras .
Em geral,
com igualdade aproximada no limite apenas quando o ângulo de vértice de um triângulo isósceles se aproxima de 180 °.
Se o centroide do triângulo estiver dentro do círculo interno do triângulo , então
Embora todas as desigualdades acima sejam verdadeiras porque a , b e c devem seguir a desigualdade do triângulo básico de que o lado mais longo tem menos da metade do perímetro, as seguintes relações são válidas para todos os a , b e c positivos :
cada um segurando com igualdade apenas quando a = b = c . Isso diz que no caso não equilátero a média harmônica dos lados é menor que sua média geométrica que por sua vez é menor que sua média aritmética .
Ângulos
-
para semi-perímetros s , com igualdade apenas no caso equilátero.
-
-
-
-
onde a proporção áurea .
-
-
-
Para circunradius R e inradius r , temos
com igualdade se e somente se o triângulo for isósceles com ângulo de vértice maior ou igual a 60 °; e
com igualdade se e somente se o triângulo for isósceles com ângulo de vértice menor ou igual a 60 °.
Nos tambem temos
e da mesma forma para os ângulos B, C , com igualdade na primeira parte se o triângulo for isósceles e o ângulo do vértice for de pelo menos 60 ° e igualdade na segunda parte se e somente se o triângulo for isósceles com ângulo do vértice não superior a 60 ° .
Além disso, quaisquer duas medidas de ângulo A e B lados opostos a e b, respectivamente, estão relacionadas de acordo com
que está relacionado ao teorema do triângulo isósceles e seu inverso, que afirmam que A = B se e somente se a = b .
Por Euclides 's teorema ângulo exterior , qualquer ângulo exterior de um triângulo é maior do que qualquer um dos ângulos internos nos vértices opostos:
Se um ponto D está no interior do triângulo ABC , então
Para um triângulo agudo, temos
com a desigualdade reversa valendo para um triângulo obtuso.
Além disso, para triângulos não obtusos, temos
com igualdade se e somente se for um triângulo retângulo com a hipotenusa AC.
Área
A desigualdade de Weitzenböck é, em termos de área T ,
com igualdade apenas no caso equilátero. Este é um corolário da desigualdade Hadwiger-Finsler , que é
Também,
e
Do limite superior mais à direita em T , usando a desigualdade média aritmético-geométrica , é obtida a desigualdade isoperimétrica para triângulos :
-
para semiperímetro s . Isso às vezes é declarado em termos de perímetro p como
com igualdade para o triângulo equilátero . Isso é fortalecido por
A desigualdade de Bonnesen também fortalece a desigualdade isoperimétrica:
Nos tambem temos
-
com igualdade apenas no caso equilátero;
para semiperimeter s ; e
A desigualdade de Ono para triângulos agudos (aqueles com todos os ângulos menores que 90 °) é
A área do triângulo pode ser comparada à área do círculo circular :
com igualdade apenas para o triângulo equilátero.
Se um triângulo interno estiver inscrito em um triângulo de referência de modo que os vértices do triângulo interno dividam o perímetro do triângulo de referência em segmentos de comprimento igual, a proporção de suas áreas é limitada por
Deixe as bissectriz interior de uma , B , e C satisfazer os lados opostos em D , E , e F . Então
Uma linha através da mediana de um triângulo divide a área de forma que a proporção da subárea menor para a área do triângulo original seja de pelo menos 4/9.
Medianas e centróide
Cada uma das três medianas de um triângulo conecta um vértice com o ponto médio do lado oposto, e a soma de seus comprimentos satisfaz
Além disso,
com igualdade apenas no caso equilátero, e para radius r ,
Se ainda denotarmos os comprimentos das medianas estendidas até suas interseções com o circuncírculo como M a ,
M b e M c , então
O centróide G é a intersecção das medianas. Deixe AG , BG e CG encontrarem a circunferência em U , V e W respectivamente. Então ambos
e
além do que, além do mais,
Para um triângulo agudo, temos
em termos do circumradius R , enquanto a desigualdade oposta vale para um triângulo obtuso.
Denotando como IA, IB, IC as distâncias do incentivo aos vértices, vale o seguinte:
As três medianas de qualquer triângulo podem formar os lados de outro triângulo:
Além disso,
Altitudes
As altitudes h a , etc. conectam cada uma um vértice ao lado oposto e são perpendiculares a esse lado. Eles satisfazem ambos
e
Além disso, se então
Nos tambem temos
Para bissetores de ângulo interno t a , t b , t c dos vértices A, B, C e circuncentro R e incentivo r , temos
Os recíprocos das altitudes de qualquer triângulo podem formar um triângulo:
Bissetores de ângulo interno e incentivo
As bissetoras do ângulo interno são segmentos no interior do triângulo que vão de um vértice ao lado oposto e dividem o ângulo do vértice em dois ângulos iguais. Os bissetores do ângulo t a etc. satisfazem
em termos dos lados, e
em termos de altitudes e medianas, e da mesma forma para t b e t c . Avançar,
em termos de medianas, e
em termos de altitudes, inradius r e circumradius R .
Sejam T a , T b e T c os comprimentos das bissetoras do ângulo estendidas até o circuncírculo. Então
com igualdade apenas no caso equilátero, e
para circumradius R e inradius r , novamente com igualdade apenas no caso equilátero. Além disso,.
Para o incentivo I (a interseção das bissetoras do ângulo interno),
Para pontos médios L, M, N dos lados,
Para o incentivo I , centroide G , circuncentro O , centro de nove pontos N e ortocentro H , temos para triângulos não equiláteros as desigualdades de distância
e
e temos a desigualdade angular
Além disso,
onde v é a mediana mais longa.
Três triângulos com vértice no incentivo, OIH , GIH e OGI , são obtusos:
-
>> 90 °, > 90 °.
Uma vez que esses triângulos têm os ângulos obtusos indicados, temos
e de fato o segundo deles é equivalente a um resultado mais forte do que o primeiro, mostrado por Euler :
O maior dos dois ângulos de um triângulo tem a bissetriz do ângulo interno mais curta:
Bissetores perpendiculares dos lados
Essas desigualdades lidam com os comprimentos p a etc. das porções do interior do triângulo das bissetoras perpendiculares dos lados do triângulo. Denotando os lados para que tenhamos
e
Segmentos de um ponto arbitrário
Ponto Interior
Considere qualquer ponto P no interior do triângulo, com os vértices do triângulo denotados A , B e C e com os comprimentos dos segmentos de linha denotados PA etc.
e mais fortemente do que a segunda dessas desigualdades é: Se for o lado mais curto do triângulo, então
Também temos a desigualdade de Ptolomeu
para o ponto interior P e da mesma forma para permutações cíclicas dos vértices.
Se desenharmos perpendiculares do ponto interior P aos lados do triângulo, cruzando os lados em D , E e F , temos
Além disso, a desigualdade Erdős-Mordell afirma que
com igualdade no caso equilátero. Mais fortemente, a desigualdade de Barrow afirma que se os bissetores internos dos ângulos no ponto interno P (a saber, de ∠ APB , ∠ BPC e ∠ CPA ) interseccionam os lados do triângulo em U , V e W , então
Também mais forte do que a desigualdade de Erdős-Mordell é a seguinte: sejam D, E, F as projeções ortogonais de P em BC, CA, AB respectivamente, e H, K, L as projeções ortogonais de P nas tangentes às do triângulo circumcircle em A, B, C respectivamente. Então
Com as projeções ortogonais H, K, L de P para as tangentes ao círculo circunflexo do triângulo em A, B, C respectivamente, temos
onde R é o circumradius.
Novamente com as distâncias PD, PE, PF do ponto interior P dos lados, temos estas três desigualdades:
Para o ponto interior P com distâncias PA, PB, PC dos vértices e com área triangular T ,
e
Para um ponto interior P , centróide G , pontos médios L, M, N dos lados e semiperímetro s ,
Além disso, para números positivos k 1 , k 2 , k 3 e t com t menor ou igual a 1:
enquanto para t > 1 temos
Ponto interno ou externo
Existem várias desigualdades para um ponto arbitrário interior ou exterior no plano em termos do raio r do círculo inscrito do triângulo. Por exemplo,
Outros incluem:
para k = 0, 1, ..., 6;
e
para k = 0, 1, ..., 9.
Além disso, para circunradius R ,
Seja ABC um triângulo, seja G seu centroide e sejam D , E e F os pontos médios de BC , CA e AB , respectivamente. Para qualquer ponto P no plano do ABC :
Inradius, exradii e circumradius
Inradius e circumradius
A desigualdade de Euler para o circumradius R e o inradius r afirma que
com igualdade apenas no caso equilátero .
Uma versão mais forte é
Por comparação,
onde o lado direito pode ser positivo ou negativo.
Dois outros refinamentos da desigualdade de Euler são
e
Outra desigualdade simétrica é
Além disso,
em termos de semiperímetro s ;
em termos da área T ;
-
e
-
em termos de semiperímetro s ; e
também em termos de semiperímetro. Aqui, a expressão onde d é a distância entre o incentivador e o circuncentro. Na última dupla desigualdade, a primeira parte se mantém com igualdade se e somente se o triângulo é isósceles com um ângulo de vértice de pelo menos 60 °, e a última parte é válida com igualdade se e somente se o triângulo é isósceles com um ângulo de vértice de no máximo 60 °. Assim, ambos são igualdades se e somente se o triângulo for equilátero.
Também temos para qualquer lado um
onde se o circuncentro está dentro ou fora do incircle e se o circuncentro está dentro do incircle. O circuncentro está dentro do círculo se e somente se
Avançar,
A desigualdade de Blundon afirma que
Também temos, para todos os triângulos agudos,
Para o centro incircular I , deixe AI , BI e CI se estenderem além de I para cruzar o circunferência em D , E e F, respectivamente. Então
Em termos dos ângulos dos vértices, temos
Denote como o tanradii do triângulo. Então
com igualdade apenas no caso equilátero, e
com igualdade apenas no caso equilátero.
Circumradius e outros comprimentos
Para o circumradius R , temos
e
Nos tambem temos
em termos de altitudes,
em termos de medianas, e
em termos de área.
Além disso, para o circuncentro O , deixe as linhas AO , BO e CO interceptarem os lados opostos BC , CA e AB em U , V e W respectivamente. Então
Para um triângulo agudo, a distância entre o circuncentro O e o ortocentro H satisfaz
com a desigualdade oposta valendo para um triângulo obtuso.
O circumradius é pelo menos duas vezes a distância entre o primeiro e o segundo pontos Brocard B 1 e B 2 :
Inradius, exradii e outros comprimentos
Para o radius r temos
em termos de altitudes, e
em termos dos raios dos círculos. Além disso, temos
e
Os exradii e medianos são relacionados por
Além disso, para um triângulo agudo, a distância entre o centro incircular I e o ortocentro H satisfaz
com a desigualdade reversa para um triângulo obtuso.
Além disso, um triângulo agudo satisfaz
em termos do circumradius R , novamente com a desigualdade reversa valendo para um triângulo obtuso.
Se as bissetoras do ângulo interno dos ângulos A , B , C encontram os lados opostos em U , V , W , então
Se a bissetriz do ângulo interno através do incentivo, eu estendo para encontrar o circuncírculo em X , Y e Z, então
para circumradius R , e
Se o incircle for tangente aos lados em D , E , F , então
para semiperímetro s .
Figuras inscritas
Hexágono inscrito
Se um hexágono tangencial é formado pelo desenho de três segmentos tangentes ao incírculo de um triângulo e paralelos a um lado, de modo que o hexágono é inscrito no triângulo com seus outros três lados coincidindo com partes dos lados do triângulo, então
Triângulo inscrito
Se três pontos D, E, F nos respectivos lados AB, BC e CA de um triângulo de referência ABC são os vértices de um triângulo inscrito, o que divide o triângulo de referência em quatro triângulos, então a área do triângulo inscrito é maior do que a área de pelo menos um dos outros triângulos internos, a menos que os vértices do triângulo inscrito estejam nos pontos médios dos lados do triângulo de referência (nesse caso, o triângulo inscrito é o triângulo medial e todos os quatro triângulos internos têm áreas iguais ):
Quadrados inscritos
Um triângulo agudo tem três quadrados inscritos , cada um com um lado coincidindo com parte de um lado do triângulo e com os outros dois vértices do quadrado nos dois lados restantes do triângulo. (Um triângulo retângulo tem apenas dois quadrados inscritos distintos.) Se um desses quadrados tem comprimento lateral x a e outro tem comprimento lateral x b com x a < x b , então
Além disso, para qualquer quadrado inscrito em qualquer triângulo, temos
Linha Euler
A linha de Euler de um triângulo passa por seu ortocentro , circuncentro e centróide , mas não passa por seu incentivo , a menos que o triângulo seja isósceles . Para todos os triângulos não isósceles, a distância d do incentivo à linha de Euler satisfaz as seguintes desigualdades em termos da mediana mais longa v do triângulo , seu lado u mais longo e seu semiperímetro s :
Para todas essas proporções, o limite superior de 1/3 é o mais estreito possível.
Triângulo retângulo
Em triângulos as pernas de um e b ea hipotenusa c obedecer o seguinte, com igualdade somente no caso isósceles:
Em termos do infravermelho, a hipotenusa obedece
e em termos de altitude da hipotenusa as pernas obedecem
Triângulo isósceles
Se os dois lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento a e o outro lado tem comprimento c , então a bissetriz do ângulo interno t de um dos dois vértices de ângulos iguais satisfaz
Triângulo Equilátero
Para qualquer ponto P no plano de um triângulo equilátero ABC , as distâncias de P dos vértices, PA , PB e PC , são tais que, a menos que P esteja na circunferência do triângulo , eles obedecem à desigualdade básica do triângulo e, portanto, podem eles próprios formar os lados de um triângulo:
No entanto, quando P está no círculo, a soma das distâncias de P até os dois vértices mais próximos é exatamente igual à distância até o vértice mais distante.
Um triângulo é equilátero se e somente se, para cada ponto P no plano, com distâncias PD , PE e PF para os lados do triângulo e distâncias PA , PB e PC para seus vértices,
Dois triângulos
A desigualdade de Pedoe para dois triângulos, um com lados a , b e c e área T , e o outro com lados d , e , e f e área S , afirma que
com igualdade se e somente se os dois triângulos são semelhantes .
O teorema da dobradiça ou teorema da boca aberta afirma que se dois lados de um triângulo são congruentes com dois lados de outro triângulo, e o ângulo incluído do primeiro é maior do que o ângulo incluído do segundo, então o terceiro lado do primeiro triângulo é mais longo que o terceiro lado do segundo triângulo. Isto é, em triângulos ABC e DEF com os lados de um , b , c , e d , e , f , respectivamente (com um oposto Um etc), se um = d e b = E e o ângulo C > ângulo F , então
O inverso também se aplica: se c > f , então C > F .
Os ângulos em quaisquer dois triângulos ABC e DEF estão relacionados em termos da função cotangente de acordo com
Triângulos não euclidianos
Em um triângulo na superfície de uma esfera , bem como na geometria elíptica ,
Essa desigualdade é revertida para triângulos hiperbólicos .
Veja também
Referências