Lista de desigualdades de triângulo - List of triangle inequalities

Em geometria , desigualdades de triângulo são desigualdades envolvendo os parâmetros de triângulos , que valem para cada triângulo, ou para cada triângulo que satisfaça certas condições. As desigualdades dão uma ordenação de dois valores diferentes: eles são da forma "menor que", "menor ou igual a", "maior que" ou "maior ou igual a". Os parâmetros em uma desigualdade de triângulo podem ser os comprimentos dos lados, o semiperímetro , as medidas dos ângulos , os valores das funções trigonométricas desses ângulos, a área do triângulo, as medianas dos lados, as altitudes , os comprimentos das bissetoras dos ângulos internos de cada ângulo para o lado oposto, as bissetoras perpendiculares dos lados, a distância de um ponto arbitrário a outro ponto, o inradius , o exradii , o circumradius e / ou outras quantidades.

A menos que especificado de outra forma, este artigo trata de triângulos no plano euclidiano .

Parâmetros principais e notação

Os parâmetros que aparecem mais comumente nas desigualdades de triângulo são:

  • os comprimentos laterais a , b e c ;
  • o semiperímetro s = ( a  +  b  +  c ) / 2 (metade do perímetro p );
  • o ângulo mede A , B e C dos ângulos dos vértices opostos aos respectivos lados a , b e c (com os vértices denotados com os mesmos símbolos que suas medidas de ângulo);
  • os valores das funções trigonométricas dos ângulos;
  • a área T do triângulo;
  • as medianas m a , m b e m c dos lados (cada um sendo o comprimento do segmento de linha do ponto médio do lado ao vértice oposto);
  • as altitudes h a , h b e h c (cada uma sendo o comprimento de um segmento perpendicular a um lado e alcançando daquele lado (ou possivelmente a extensão daquele lado) até o vértice oposto);
  • os comprimentos dos bissetores do ângulo interno t a , t b e t c (cada um sendo um segmento de um vértice para o lado oposto e bissetrando o ângulo do vértice);
  • as bissetoras perpendiculares p a , p b e p c dos lados (cada uma sendo o comprimento de um segmento perpendicular a um lado em seu ponto médio e alcançando um dos outros lados);
  • os comprimentos dos segmentos de linha com um ponto final em um ponto arbitrário P no plano (por exemplo, o comprimento do segmento de P ao vértice A é denotado PA ou AP );
  • o inradius r (raio do círculo inscrito no triângulo, tangente a todos os três lados), o exradii r a , r b e r c (cada um sendo o raio de um círculo tangente ao lado a , b ou c respectivamente e tangente às extensões dos outros dois lados), e o circumradius R (raio do círculo circunscrito em torno do triângulo e passando por todos os três vértices).

Comprimentos laterais

A desigualdade básica do triângulo é

ou equivalente

Além disso,

onde o valor do lado direito é o limite mais baixo possível, aproximado assintoticamente à medida que certas classes de triângulos se aproximam do caso degenerado de área zero. A desigualdade à esquerda, que vale para todos os positivos a, b, c , é a desigualdade de Nesbitt .

Nós temos

Se o ângulo C for obtuso (maior que 90 °), então

se C for agudo (menos de 90 °), então

O caso intermediário de igualdade quando C é um ângulo reto é o teorema de Pitágoras .

Em geral,

com igualdade aproximada no limite apenas quando o ângulo de vértice de um triângulo isósceles se aproxima de 180 °.

Se o centroide do triângulo estiver dentro do círculo interno do triângulo , então

Embora todas as desigualdades acima sejam verdadeiras porque a , b e c devem seguir a desigualdade do triângulo básico de que o lado mais longo tem menos da metade do perímetro, as seguintes relações são válidas para todos os a , b e c positivos :

cada um segurando com igualdade apenas quando a = b = c . Isso diz que no caso não equilátero a média harmônica dos lados é menor que sua média geométrica que por sua vez é menor que sua média aritmética .

Ângulos

para semi-perímetros s , com igualdade apenas no caso equilátero.

onde a proporção áurea .

Para circunradius R e inradius r , temos

com igualdade se e somente se o triângulo for isósceles com ângulo de vértice maior ou igual a 60 °; e

com igualdade se e somente se o triângulo for isósceles com ângulo de vértice menor ou igual a 60 °.

Nos tambem temos

e da mesma forma para os ângulos B, C , com igualdade na primeira parte se o triângulo for isósceles e o ângulo do vértice for de pelo menos 60 ° e igualdade na segunda parte se e somente se o triângulo for isósceles com ângulo do vértice não superior a 60 ° .

Além disso, quaisquer duas medidas de ângulo A e B lados opostos a e b, respectivamente, estão relacionadas de acordo com

que está relacionado ao teorema do triângulo isósceles e seu inverso, que afirmam que A = B se e somente se a = b .

Por Euclides 's teorema ângulo exterior , qualquer ângulo exterior de um triângulo é maior do que qualquer um dos ângulos internos nos vértices opostos:

Se um ponto D está no interior do triângulo ABC , então

Para um triângulo agudo, temos

com a desigualdade reversa valendo para um triângulo obtuso.

Além disso, para triângulos não obtusos, temos

com igualdade se e somente se for um triângulo retângulo com a hipotenusa AC.

Área

A desigualdade de Weitzenböck é, em termos de área T ,

com igualdade apenas no caso equilátero. Este é um corolário da desigualdade Hadwiger-Finsler , que é

Também,

e

Do limite superior mais à direita em T , usando a desigualdade média aritmético-geométrica , é obtida a desigualdade isoperimétrica para triângulos :

para semiperímetro s . Isso às vezes é declarado em termos de perímetro p como

com igualdade para o triângulo equilátero . Isso é fortalecido por

A desigualdade de Bonnesen também fortalece a desigualdade isoperimétrica:

Nos tambem temos

com igualdade apenas no caso equilátero;

para semiperimeter s ; e

A desigualdade de Ono para triângulos agudos (aqueles com todos os ângulos menores que 90 °) é

A área do triângulo pode ser comparada à área do círculo circular :

com igualdade apenas para o triângulo equilátero.

Se um triângulo interno estiver inscrito em um triângulo de referência de modo que os vértices do triângulo interno dividam o perímetro do triângulo de referência em segmentos de comprimento igual, a proporção de suas áreas é limitada por

Deixe as bissectriz interior de uma , B , e C satisfazer os lados opostos em D , E , e F . Então

Uma linha através da mediana de um triângulo divide a área de forma que a proporção da subárea menor para a área do triângulo original seja de pelo menos 4/9.

Medianas e centróide

Cada uma das três medianas de um triângulo conecta um vértice com o ponto médio do lado oposto, e a soma de seus comprimentos satisfaz

Além disso,

com igualdade apenas no caso equilátero, e para radius r ,

Se ainda denotarmos os comprimentos das medianas estendidas até suas interseções com o circuncírculo como M a , M b e M c , então

O centróide G é a intersecção das medianas. Deixe AG , BG e CG encontrarem a circunferência em U , V e W respectivamente. Então ambos

e

além do que, além do mais,

Para um triângulo agudo, temos

em termos do circumradius R , enquanto a desigualdade oposta vale para um triângulo obtuso.

Denotando como IA, IB, IC as distâncias do incentivo aos vértices, vale o seguinte:

As três medianas de qualquer triângulo podem formar os lados de outro triângulo:

Além disso,

Altitudes

As altitudes h a , etc. conectam cada uma um vértice ao lado oposto e são perpendiculares a esse lado. Eles satisfazem ambos

e

Além disso, se então

Nos tambem temos

Para bissetores de ângulo interno t a , t b , t c dos vértices A, B, C e circuncentro R e incentivo r , temos

Os recíprocos das altitudes de qualquer triângulo podem formar um triângulo:

Bissetores de ângulo interno e incentivo

As bissetoras do ângulo interno são segmentos no interior do triângulo que vão de um vértice ao lado oposto e dividem o ângulo do vértice em dois ângulos iguais. Os bissetores do ângulo t a etc. satisfazem

em termos dos lados, e

em termos de altitudes e medianas, e da mesma forma para t b e t c . Avançar,

em termos de medianas, e

em termos de altitudes, inradius r e circumradius R .

Sejam T a , T b e T c os comprimentos das bissetoras do ângulo estendidas até o circuncírculo. Então

com igualdade apenas no caso equilátero, e

para circumradius R e inradius r , novamente com igualdade apenas no caso equilátero. Além disso,.

Para o incentivo I (a interseção das bissetoras do ângulo interno),

Para pontos médios L, M, N dos lados,

Para o incentivo I , centroide G , circuncentro O , centro de nove pontos N e ortocentro H , temos para triângulos não equiláteros as desigualdades de distância

e

e temos a desigualdade angular

Além disso,

onde v é a mediana mais longa.

Três triângulos com vértice no incentivo, OIH , GIH e OGI , são obtusos:

>> 90 °, > 90 °.

Uma vez que esses triângulos têm os ângulos obtusos indicados, temos

e de fato o segundo deles é equivalente a um resultado mais forte do que o primeiro, mostrado por Euler :

O maior dos dois ângulos de um triângulo tem a bissetriz do ângulo interno mais curta:

Bissetores perpendiculares dos lados

Essas desigualdades lidam com os comprimentos p a etc. das porções do interior do triângulo das bissetoras perpendiculares dos lados do triângulo. Denotando os lados para que tenhamos

e

Segmentos de um ponto arbitrário

Ponto Interior

Considere qualquer ponto P no interior do triângulo, com os vértices do triângulo denotados A , B e C e com os comprimentos dos segmentos de linha denotados PA etc.

e mais fortemente do que a segunda dessas desigualdades é: Se for o lado mais curto do triângulo, então

Também temos a desigualdade de Ptolomeu

para o ponto interior P e da mesma forma para permutações cíclicas dos vértices.

Se desenharmos perpendiculares do ponto interior P aos lados do triângulo, cruzando os lados em D , E e F , temos

Além disso, a desigualdade Erdős-Mordell afirma que

com igualdade no caso equilátero. Mais fortemente, a desigualdade de Barrow afirma que se os bissetores internos dos ângulos no ponto interno P (a saber, de ∠ APB , ∠ BPC e ∠ CPA ) interseccionam os lados do triângulo em U , V e W , então

Também mais forte do que a desigualdade de Erdős-Mordell é a seguinte: sejam D, E, F as projeções ortogonais de P em BC, CA, AB respectivamente, e H, K, L as projeções ortogonais de P nas tangentes às do triângulo circumcircle em A, B, C respectivamente. Então

Com as projeções ortogonais H, K, L de P para as tangentes ao círculo circunflexo do triângulo em A, B, C respectivamente, temos

onde R é o circumradius.

Novamente com as distâncias PD, PE, PF do ponto interior P dos lados, temos estas três desigualdades:

Para o ponto interior P com distâncias PA, PB, PC dos vértices e com área triangular T ,

e

Para um ponto interior P , centróide G , pontos médios L, M, N dos lados e semiperímetro s ,

Além disso, para números positivos k 1 , k 2 , k 3 e t com t menor ou igual a 1:

enquanto para t > 1 temos

Ponto interno ou externo

Existem várias desigualdades para um ponto arbitrário interior ou exterior no plano em termos do raio r do círculo inscrito do triângulo. Por exemplo,

Outros incluem:

para k = 0, 1, ..., 6;

e

para k = 0, 1, ..., 9.

Além disso, para circunradius R ,

Seja ABC um triângulo, seja G seu centroide e sejam D , E e F os pontos médios de BC , CA e AB , respectivamente. Para qualquer ponto P no plano do ABC :

Inradius, exradii e circumradius

Inradius e circumradius

A desigualdade de Euler para o circumradius R e o inradius r afirma que

com igualdade apenas no caso equilátero .

Uma versão mais forte é

Por comparação,

onde o lado direito pode ser positivo ou negativo.

Dois outros refinamentos da desigualdade de Euler são

e

Outra desigualdade simétrica é

Além disso,

em termos de semiperímetro s ;

em termos da área T ;

e

em termos de semiperímetro s ; e

também em termos de semiperímetro. Aqui, a expressão onde d é a distância entre o incentivador e o circuncentro. Na última dupla desigualdade, a primeira parte se mantém com igualdade se e somente se o triângulo é isósceles com um ângulo de vértice de pelo menos 60 °, e a última parte é válida com igualdade se e somente se o triângulo é isósceles com um ângulo de vértice de no máximo 60 °. Assim, ambos são igualdades se e somente se o triângulo for equilátero.

Também temos para qualquer lado um

onde se o circuncentro está dentro ou fora do incircle e se o circuncentro está dentro do incircle. O circuncentro está dentro do círculo se e somente se

Avançar,

A desigualdade de Blundon afirma que

Também temos, para todos os triângulos agudos,

Para o centro incircular I , deixe AI , BI e CI se estenderem além de I para cruzar o circunferência em D , E e F, respectivamente. Então

Em termos dos ângulos dos vértices, temos

Denote como o tanradii do triângulo. Então

com igualdade apenas no caso equilátero, e

com igualdade apenas no caso equilátero.

Circumradius e outros comprimentos

Para o circumradius R , temos

e

Nos tambem temos

em termos de altitudes,

em termos de medianas, e

em termos de área.

Além disso, para o circuncentro O , deixe as linhas AO , BO e CO interceptarem os lados opostos BC , CA e AB em U , V e W respectivamente. Então

Para um triângulo agudo, a distância entre o circuncentro O e o ortocentro H satisfaz

com a desigualdade oposta valendo para um triângulo obtuso.

O circumradius é pelo menos duas vezes a distância entre o primeiro e o segundo pontos Brocard B 1 e B 2 :

Inradius, exradii e outros comprimentos

Para o radius r temos

em termos de altitudes, e

em termos dos raios dos círculos. Além disso, temos

e

Os exradii e medianos são relacionados por

Além disso, para um triângulo agudo, a distância entre o centro incircular I e o ortocentro H satisfaz

com a desigualdade reversa para um triângulo obtuso.

Além disso, um triângulo agudo satisfaz

em termos do circumradius R , novamente com a desigualdade reversa valendo para um triângulo obtuso.

Se as bissetoras do ângulo interno dos ângulos A , B , C encontram os lados opostos em U , V , W , então

Se a bissetriz do ângulo interno através do incentivo, eu estendo para encontrar o circuncírculo em X , Y e Z, então

para circumradius R , e

Se o incircle for tangente aos lados em D , E , F , então

para semiperímetro s .

Figuras inscritas

Hexágono inscrito

Se um hexágono tangencial é formado pelo desenho de três segmentos tangentes ao incírculo de um triângulo e paralelos a um lado, de modo que o hexágono é inscrito no triângulo com seus outros três lados coincidindo com partes dos lados do triângulo, então

Triângulo inscrito

Se três pontos D, E, F nos respectivos lados AB, BC e CA de um triângulo de referência ABC são os vértices de um triângulo inscrito, o que divide o triângulo de referência em quatro triângulos, então a área do triângulo inscrito é maior do que a área de pelo menos um dos outros triângulos internos, a menos que os vértices do triângulo inscrito estejam nos pontos médios dos lados do triângulo de referência (nesse caso, o triângulo inscrito é o triângulo medial e todos os quatro triângulos internos têm áreas iguais ):

Quadrados inscritos

Um triângulo agudo tem três quadrados inscritos , cada um com um lado coincidindo com parte de um lado do triângulo e com os outros dois vértices do quadrado nos dois lados restantes do triângulo. (Um triângulo retângulo tem apenas dois quadrados inscritos distintos.) Se um desses quadrados tem comprimento lateral x a e outro tem comprimento lateral x b com x a < x b , então

Além disso, para qualquer quadrado inscrito em qualquer triângulo, temos

Linha Euler

A linha de Euler de um triângulo passa por seu ortocentro , circuncentro e centróide , mas não passa por seu incentivo , a menos que o triângulo seja isósceles . Para todos os triângulos não isósceles, a distância d do incentivo à linha de Euler satisfaz as seguintes desigualdades em termos da mediana mais longa v do triângulo , seu lado u mais longo e seu semiperímetro s :

Para todas essas proporções, o limite superior de 1/3 é o mais estreito possível.

Triângulo retângulo

Em triângulos as pernas de um e b ea hipotenusa c obedecer o seguinte, com igualdade somente no caso isósceles:

Em termos do infravermelho, a hipotenusa obedece

e em termos de altitude da hipotenusa as pernas obedecem

Triângulo isósceles

Se os dois lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento a e o outro lado tem comprimento c , então a bissetriz do ângulo interno t de um dos dois vértices de ângulos iguais satisfaz

Triângulo Equilátero

Para qualquer ponto P no plano de um triângulo equilátero ABC , as distâncias de P dos vértices, PA , PB e PC , são tais que, a menos que P esteja na circunferência do triângulo , eles obedecem à desigualdade básica do triângulo e, portanto, podem eles próprios formar os lados de um triângulo:

No entanto, quando P está no círculo, a soma das distâncias de P até os dois vértices mais próximos é exatamente igual à distância até o vértice mais distante.

Um triângulo é equilátero se e somente se, para cada ponto P no plano, com distâncias PD , PE e PF para os lados do triângulo e distâncias PA , PB e PC para seus vértices,

Dois triângulos

A desigualdade de Pedoe para dois triângulos, um com lados a , b e c e área T , e o outro com lados d , e , e f e área S , afirma que

com igualdade se e somente se os dois triângulos são semelhantes .

O teorema da dobradiça ou teorema da boca aberta afirma que se dois lados de um triângulo são congruentes com dois lados de outro triângulo, e o ângulo incluído do primeiro é maior do que o ângulo incluído do segundo, então o terceiro lado do primeiro triângulo é mais longo que o terceiro lado do segundo triângulo. Isto é, em triângulos ABC e DEF com os lados de um , b , c , e d , e , f , respectivamente (com um oposto Um etc), se um = d e b = E e o ângulo C > ângulo F , então

O inverso também se aplica: se c > f , então C > F .

Os ângulos em quaisquer dois triângulos ABC e DEF estão relacionados em termos da função cotangente de acordo com

Triângulos não euclidianos

Em um triângulo na superfície de uma esfera , bem como na geometria elíptica ,

Essa desigualdade é revertida para triângulos hiperbólicos .

Veja também

Referências