Ondas de cordeiro - Lamb waves

Ondas de cordeiro se propagam em placas ou esferas sólidas. São ondas elásticas cujo movimento das partículas está no plano que contém a direção de propagação da onda e no plano normal (a direção perpendicular à placa). Em 1917, o matemático inglês Horace Lamb publicou sua análise e descrição clássicas de ondas acústicas desse tipo. Suas propriedades revelaram-se bastante complexas. Um meio infinito suporta apenas dois modos de onda viajando em velocidades exclusivas; mas as placas suportam dois conjuntos infinitos de modos de onda de Lamb, cujas velocidades dependem da relação entre o comprimento de onda e a espessura da placa.

Desde a década de 1990, a compreensão e a utilização das ondas Lamb avançaram muito, graças ao rápido aumento na disponibilidade de capacidade de computação. As formulações teóricas de Lamb encontraram aplicação prática substancial, especialmente no campo dos testes não destrutivos.

O termo ondas Rayleigh-Lamb abrange a onda Rayleigh , um tipo de onda que se propaga ao longo de uma única superfície. Ambas as ondas de Rayleigh e Lamb são restringidas pelas propriedades elásticas da (s) superfície (s) que as guiam.

Figura 1: Superior e inferior, respectivamente: Modo
extensional (S ₀ ) com . Modo flexural (A ₀ ) com . (Este é um gráfico simplificado. Ele se baseia apenas no componente z do movimento, portanto, não renderiza a distorção da placa com precisão.)

{\ displaystyle d / \ lambda = 0,6}

{\ displaystyle d / \ lambda = 0,3}

Equações características de Lamb

Em geral, as ondas elásticas em materiais sólidos são guiadas pelos limites da mídia em que se propagam. Uma abordagem para propagação de ondas guiadas, amplamente utilizada em acústica física, é buscar soluções senoidais para a equação de onda para ondas elásticas lineares sujeitas a condições de contorno que representam a geometria estrutural. Este é um problema clássico de autovalor .

As ondas nas placas estiveram entre as primeiras ondas guiadas a serem analisadas desta forma. A análise foi desenvolvida e publicada em 1917 por Horace Lamb , um líder na física matemática de sua época.

As equações de cordeiro foram derivados por criação de formalismo para uma placa sólida tendo extensão infinita no x e y direcções, e a espessura d da z direcção. Soluções sinusoidais para a equação de onda foram postuladas, tendo deslocamentos x e z da forma

{\ displaystyle \ xi = A_ {x} f_ {x} (z) e ^ {i (\ omega t-kx)} \ quad \ quad (1)}

{\ displaystyle \ zeta = A_ {z} f_ {z} (z) e ^ {i (\ omega t-kx)} \ quad \ quad (2)}

Esta forma representa ondas sinusoidais propagando-se na direção x com comprimento de onda 2π / ke frequência ω / 2π. O deslocamento é uma função de x , z , t apenas; não há deslocamento na direção y e nenhuma variação de quaisquer quantidades físicas na direção y .

A física condição de contorno para as superfícies livres da placa é que o componente de tensão na z direcção em z = +/- d / 2 é zero. Aplicando essas duas condições às soluções formalizadas acima para a equação de onda, um par de equações características pode ser encontrado. Estes são:

{\ displaystyle {\ frac {\ tanh (\ beta d / 2)} {\ tanh (\ alpha d / 2)}} = {\ frac {4 \ alpha \ beta k ^ {2}} {(k ^ { 2} + \ beta ^ {2}) ^ {2}}} \ \ quad \ quad \ quad \ quad (3)}

para modos simétricos e

{\ displaystyle {\ frac {\ tanh (\ beta d / 2)} {\ tanh (\ alpha d / 2)}} = {\ frac {(k ^ {2} + \ beta ^ {2}) ^ { 2}} {4 \ alpha \ beta k ^ {2}}} \ \ quad \ quad \ quad \ quad (4)}

para modos assimétricos, onde

{\ displaystyle \ alpha ^ {2} = k ^ {2} - {\ frac {\ omega ^ {2}} {c_ {l} ^ {2}}} \ quad \ quad {\ text {and}} \ quad \ quad \ beta ^ {2} = k ^ {2} - {\ frac {\ omega ^ {2}} {c_ {t} ^ {2}}}.}

Inerente a essas equações está uma relação entre a frequência angular ω e o número de onda k. Métodos numéricos são usados para encontrar a velocidade de fase c _p = fλ = ω / k , e a velocidade de grupo c _g = dω / dk , como funções de d / λ ou fd . c _l e c _t são as velocidades da onda longitudinal e da onda de cisalhamento, respectivamente.

A solução dessas equações também revela a forma precisa do movimento da partícula, que as equações (1) e (2) representam apenas de forma genérica. Verificou-se que a equação (3) dá origem a uma família de ondas cujo movimento é simétrico em relação ao plano médio da placa (o plano z = 0), enquanto a equação (4) dá origem a uma família de ondas cujo movimento é antissimétrico em relação o plano intermediário. A Figura 1 ilustra um membro de cada família.

As equações características de Lamb foram estabelecidas para ondas que se propagam em uma placa infinita - um sólido homogêneo e isotrópico limitado por dois planos paralelos além dos quais nenhuma energia das ondas pode se propagar. Ao formular seu problema, Lamb confinou os componentes do movimento das partículas à direção normal da placa ( direção z ) e à direção da propagação da onda ( direção x ). Por definição, as ondas Lamb não têm movimento de partícula na direção y . O movimento na direção y nas placas é encontrado nos chamados modos de onda SH ou cisalhamento horizontal. Estes não têm movimento nas direções x - ou z - e são, portanto, complementares aos modos de onda de Lamb. Esses dois são os únicos tipos de onda que podem se propagar com frentes de onda retas e infinitas em uma placa, conforme definido acima.

Dispersão de velocidade inerente às equações características

Curvas de dispersão de ondas de Lamb livres para duas razões de Poisson diferentes . O eixo x mostra o produto da frequência angular e da espessura da placa normalizada pela velocidade da onda de cisalhamento . O eixo y mostra a velocidade de fase da onda de Lamb normalizada pela velocidade da onda de cisalhamento. Para altas frequências e modos temos a velocidade da onda de Rayleigh, aproximadamente 92% da velocidade da onda de cisalhamento.

{\ displaystyle \ sigma}

{\ displaystyle \ omega}

{\ displaystyle d}

{\ displaystyle v_ {s}}

{\ displaystyle v}

{\ displaystyle S_ {0}}

{\ displaystyle A_ {0}}

Ondas de Lamb exibem dispersão de velocidade; ou seja, sua velocidade de propagação c depende da frequência (ou comprimento de onda), bem como das constantes elásticas e da densidade do material. Este fenômeno é central para o estudo e compreensão do comportamento das ondas em placas. Fisicamente, o parâmetro principal é a relação entre a espessura da placa d e o comprimento de onda . Essa proporção determina a rigidez efetiva da placa e, portanto, a velocidade da onda. Em aplicações tecnológicas, um parâmetro mais prático prontamente derivado disso é usado, a saber, o produto de espessura e frequência: ${\ displaystyle \ lambda}$

{\ displaystyle f \ cdot d = {\ frac {d \ cdot c} {\ lambda}},}

já que para todas as ondas

{\ displaystyle c = f \ lambda.}

A relação entre velocidade e frequência (ou comprimento de onda) é inerente às equações características. No caso da placa, essas equações não são simples e sua solução requer métodos numéricos. Esse era um problema intratável até o advento do computador digital, quarenta anos após o trabalho original de Lamb. A publicação de "curvas de dispersão" geradas por computador por Viktorov na antiga União Soviética, Firestone seguida por Worlton nos Estados Unidos e, eventualmente, muitos outros trouxe a teoria das ondas de Lamb para o reino da aplicabilidade prática. O software gratuito "Dispersion Calculator" (DC) permite o cálculo de diagramas de dispersão para placas isotrópicas e espécimes anisotrópicos de várias camadas. As formas de onda experimentais observadas em placas podem ser entendidas por interpretação com referência às curvas de dispersão.

As curvas de dispersão - gráficos que mostram as relações entre a velocidade da onda, comprimento de onda e frequência em sistemas dispersivos - podem ser apresentadas em várias formas. A forma que dá a maior compreensão da física subjacente tem (frequência angular) no eixo y ek (número de onda) no eixo x . A forma usada por Viktorov, que trouxe as ondas de Lamb para o uso prático, tem velocidade de onda no eixo y , e a relação espessura / comprimento de onda, no eixo x . A forma mais prática de todas, para a qual o crédito é devido a J. e H. Krautkrämer, bem como a Floyd Firestone (que, aliás, cunhou a frase "Ondas de Lamb") tem velocidade de onda no eixo y e fd , o produto de frequência-espessura, no eixo x . ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle d / \ lambda}$

As equações características de Lamb indicam a existência de duas famílias inteiras de modos de onda senoidal em placas infinitas de largura . Isso contrasta com a situação em meios ilimitados, onde existem apenas dois modos de onda, a onda longitudinal e a onda transversal ou de cisalhamento . Como nas ondas Rayleigh que se propagam ao longo de superfícies livres únicas, o movimento das partículas nas ondas Lamb é elíptico com seus componentes x e z dependendo da profundidade dentro da placa. Em uma família de modos, o movimento é simétrico em relação ao plano de espessura média. Na outra família, é anti-simétrico. O fenômeno da dispersão da velocidade leva a uma rica variedade de formas de onda observáveis experimentalmente quando as ondas acústicas se propagam nas placas. É a velocidade de grupo c _g , não a velocidade de fase c ou c _p mencionada acima , que determina as modulações vistas na forma de onda observada. A aparência das formas de onda depende criticamente da faixa de frequência selecionada para observação. Os modos flexural e extensional são relativamente fáceis de reconhecer e isso tem sido defendido como uma técnica de teste não destrutivo . ${\ displaystyle d}$

Os modos de ordem zero

Os modos simétricos e antissimétricos de ordem zero merecem atenção especial. Esses modos têm "frequências nascentes" de zero. Assim, eles são os únicos modos que existem em todo o espectro de frequência de zero a frequências indefinidamente altas. Na faixa de baixa frequência (ou seja, quando o comprimento de onda é maior do que a espessura da placa), esses modos são frequentemente chamados de "modo extensional" e "modo flexural", respectivamente, termos que descrevem a natureza do movimento e as rigidezes elásticas que governam o velocidades de propagação .O movimento elíptico das partículas ocorre principalmente no plano da placa para o modo simétrico e extensional e perpendicular ao plano da placa para o modo antissimétrico e flexural. Essas características mudam em frequências mais altas.

Esses dois modos são os mais importantes porque (a) eles existem em todas as frequências e (b) na maioria das situações práticas, eles carregam mais energia do que os modos de ordem superior.

O modo simétrico de ordem zero (designado S ₀ ) viaja na "velocidade da placa" no regime de baixa frequência, onde é apropriadamente chamado de "modo extensional". Neste regime, a placa se estende na direção de propagação e se contrai correspondentemente na direção da espessura. À medida que a frequência aumenta e o comprimento de onda se torna comparável com a espessura da placa, a curvatura da placa começa a ter uma influência significativa em sua rigidez efetiva. A velocidade da fase cai suavemente enquanto a velocidade do grupo cai um tanto precipitadamente para um mínimo. Em frequências mais altas ainda, tanto a velocidade da fase quanto a velocidade do grupo convergem para a velocidade da onda de Rayleigh - a velocidade da fase de cima e a velocidade do grupo de baixo.

No limite de baixa frequência para o modo extensional, os componentes z e x do deslocamento da superfície estão em quadratura e a razão de suas amplitudes é dada por:

{\ displaystyle {\ frac {a_ {z}} {a_ {x}}} = {\ frac {\ pi \ nu} {(1- \ nu)}}. {\ frac {d} {\ lambda}} }

onde está o coeficiente de Poisson. ${\ displaystyle \ nu}$

O modo antissimétrico de ordem zero (designado A ₀ ) é altamente dispersivo no regime de baixa frequência, onde é apropriadamente chamado de "modo flexural" ou "modo de flexão". Para frequências muito baixas (placas muito finas), as velocidades de fase e de grupo são proporcionais à raiz quadrada da frequência; a velocidade do grupo é o dobro da velocidade da fase. Essa relação simples é uma consequência da relação rigidez / espessura para placas finas em flexão. Em frequências mais altas, onde o comprimento de onda não é mais muito maior do que a espessura da placa, essas relações se quebram. A velocidade da fase aumenta cada vez menos rapidamente e converge para a velocidade da onda de Rayleigh no limite de alta frequência. A velocidade do grupo passa por um máximo, um pouco mais rápido que a velocidade da onda de cisalhamento, quando o comprimento de onda é aproximadamente igual à espessura da placa. Em seguida, converge, de cima, para a velocidade da onda de Rayleigh no limite de alta frequência.

Em experimentos que permitem que os modos extensional e flexural sejam excitados e detectados, o modo extensional freqüentemente aparece como um precursor de alta velocidade e amplitude inferior do modo flexural. O modo de flexão é o mais facilmente excitado dos dois e freqüentemente carrega a maior parte da energia.

Os modos de ordem superior

À medida que a frequência aumenta, os modos de onda de ordem superior aparecem, além dos modos de ordem zero. Cada modo de ordem superior “nasce” em uma frequência ressonante da placa e existe apenas acima dessa frequência. Por exemplo, em uma placa de aço de 3 ⁄ 4 polegadas (19 mm) de espessura a uma frequência de 200 kHz, os primeiros quatro modos de onda de Lamb estão presentes e, a 300 kHz, os seis primeiros. Os primeiros modos de ordem superior podem ser observados distintamente em condições experimentais favoráveis. Em condições menos que favoráveis, eles se sobrepõem e não podem ser distinguidos.

Os modos Lamb de ordem superior são caracterizados por planos nodais dentro da placa, paralelos às superfícies da placa. Cada um desses modos existe apenas acima de uma certa frequência, que pode ser chamada de "frequência nascente". Não há limite de frequência superior para nenhum dos modos. As frequências nascentes podem ser representadas como frequências ressonantes para ondas longitudinais ou de cisalhamento propagando-se perpendicularmente ao plano da placa, ou seja,

{\ displaystyle d = {\ frac {n \ lambda} {2}} \ quad \ quad {\ text {ou}} \ quad \ quad f = {\ frac {nc} {2d}}}

onde n é qualquer número inteiro positivo. Aqui, c pode ser a velocidade da onda longitudinal ou a velocidade da onda de cisalhamento e, para cada conjunto de ressonâncias resultante, os modos de onda de Lamb correspondentes são alternadamente simétricos e antissimétricos. A interação desses dois conjuntos resulta em um padrão de frequências nascentes que à primeira vista parece irregular. Por exemplo, em um 3/4 de polegada (19 mm) de chapa de aço de espessura tendo velocidades longitudinais e de cisalhamento de 5890 m / s e 3260 m / s, respectivamente, as frequências nascentes dos modos antisimétricos A ₁ e A ₂ são 86 kHz e 310 kHz respectivamente, enquanto as frequências nascentes dos modos simétricos S ₁ , S ₂ e S ₃ são 155 kHz, 172 kHz e 343 kHz, respectivamente.

Em sua frequência inicial, cada um desses modos tem uma velocidade de fase infinita e uma velocidade de grupo de zero. No limite de alta frequência, as velocidades de fase e de grupo de todos esses modos convergem para a velocidade da onda de cisalhamento. Por causa dessas convergências, as velocidades de Rayleigh e de cisalhamento (que estão muito próximas uma da outra) são de grande importância em placas grossas. Em termos simples, em termos do material de maior significado de engenharia, a maior parte da energia das ondas de alta frequência que se propaga por longas distâncias em placas de aço está viajando a 3.000-3300 m / s.

O movimento das partículas nos modos de onda de Lamb é em geral elíptico, tendo componentes perpendiculares e paralelos ao plano da placa. Esses componentes estão em quadratura, ou seja, eles têm uma diferença de fase de 90 °. A magnitude relativa dos componentes é função da frequência. Para certos produtos de frequências-espessura, a amplitude de um componente passa por zero, de modo que o movimento é inteiramente perpendicular ou paralelo ao plano da placa. Para partículas na superfície da placa, essas condições ocorrem quando a velocidade da fase da onda de Lamb é √ 2 c _t ou para modos simétricos apenas c _l , respectivamente. Essas considerações de direcionalidade são importantes ao considerar a radiação de energia acústica das placas para os fluidos adjacentes.

O movimento da partícula também é inteiramente perpendicular ou inteiramente paralelo ao plano da placa, na freqüência nascente de um modo. Perto das frequências nascentes dos modos correspondentes às ressonâncias das ondas longitudinais da placa, o movimento das partículas será quase inteiramente perpendicular ao plano da placa; e perto das ressonâncias da onda de cisalhamento, paralelas.

J. e H. Krautkrämer apontaram que as ondas Lamb podem ser concebidas como um sistema de ondas longitudinais e de cisalhamento que se propagam em ângulos adequados através e ao longo da placa. Essas ondas refletem, convertem-se em modo e se combinam para produzir um padrão de onda coerente e sustentado. Para que esse padrão de onda coerente seja formado, a espessura da placa deve ser exatamente a correta em relação aos ângulos de propagação e aos comprimentos de onda das ondas longitudinais e de cisalhamento subjacentes; este requisito leva às relações de dispersão de velocidade.

Ondas de cordeiro com simetria cilíndrica; ondas de placa de fontes pontuais

Embora a análise de Lamb tenha assumido uma frente de onda reta, foi mostrado que as mesmas equações características se aplicam às ondas de placa cilíndrica (isto é, ondas que se propagam para fora de uma fonte de linha, a linha perpendicular à placa). A diferença é que enquanto a "portadora" para a frente de onda reta é uma sinusóide, a "portadora" para a onda axissimétrica é uma função de Bessel. A função de Bessel cuida da singularidade na fonte, então converge para o comportamento senoidal em grandes distâncias.

Essas ondas cilíndricas são as autofunções a partir das quais a resposta da placa às perturbações pontuais pode ser composta. Assim, a resposta de uma placa a uma perturbação pontual pode ser expressa como uma combinação de ondas Lamb, mais termos evanescentes no campo próximo. O resultado geral pode ser visualizado livremente como um padrão de ondas frontais circulares, como ondulações de uma pedra jogada em um lago, mas mudando de forma mais profundamente à medida que avançam para fora. A teoria das ondas de Lamb se relaciona apenas ao movimento na direção (r, z); o movimento transversal é um tópico diferente.

Ondas guiadas de cordeiro

Esta frase é freqüentemente encontrada em testes não destrutivos. "Ondas de cordeiro guiadas" podem ser definidas como ondas do tipo Lamb que são guiadas pelas dimensões finitas de objetos de teste reais. Adicionar o prefixo "guiado" à frase "Onda de Lamb" é, portanto, reconhecer que o prato infinito de Lamb, na realidade, não pode ser encontrado em lugar nenhum.

Na realidade, lidamos com placas finitas, ou placas enroladas em tubos ou vasos cilíndricos, ou placas cortadas em tiras finas, etc. A teoria das ondas de Lamb freqüentemente dá uma boa descrição de grande parte do comportamento de ondas de tais estruturas. Não dará um relato perfeito, e é por isso que a frase "Ondas de cordeiro guiadas" é mais relevante na prática do que "Ondas de cordeiro". Uma questão é como as velocidades e formas de modo das ondas do tipo Lamb serão influenciadas pela geometria real da peça. Por exemplo, a velocidade de uma onda semelhante a Lamb em um cilindro fino dependerá ligeiramente do raio do cilindro e se a onda está viajando ao longo do eixo ou ao redor da circunferência. Outra questão é quais comportamentos acústicos e modos de onda completamente diferentes podem estar presentes na geometria real da peça. Por exemplo, um tubo cilíndrico tem modos de flexão associados ao movimento corporal de todo o tubo, bastante diferente do modo de flexão tipo Lamb da parede do tubo.

Ondas de cordeiro em teste ultrassônico

O objetivo do teste ultrassônico é geralmente encontrar e caracterizar falhas individuais no objeto que está sendo testado. Essas falhas são detectadas quando refletem ou espalham a onda de impacto e a onda refletida ou espalhada atinge a unidade de busca com amplitude suficiente.

Tradicionalmente, os testes ultrassônicos são conduzidos com ondas cujo comprimento de onda é muito mais curto do que a dimensão da peça que está sendo inspecionada. Nesse regime de alta frequência, o inspetor ultrassônico usa ondas que se aproximam dos modos de onda longitudinal e de cisalhamento infinito-médio, ziguezagueando de e para a espessura da placa. Embora os pioneiros da onda lamb trabalharam em aplicações de testes não destrutivos e chamaram a atenção para a teoria, o uso difundido não aconteceu até a década de 1990, quando programas de computador para calcular curvas de dispersão e relacioná-los com sinais experimentalmente observáveis se tornaram muito mais amplamente disponíveis. Essas ferramentas computacionais, juntamente com uma compreensão mais ampla da natureza das ondas de Lamb, possibilitaram o desenvolvimento de técnicas para testes não destrutivos usando comprimentos de onda comparáveis ou maiores que a espessura da placa. Nesses comprimentos de onda mais longos, a atenuação da onda é menor, de modo que as falhas podem ser detectadas em distâncias maiores.

Um grande desafio e habilidade no uso de ondas Lamb para testes ultrassônicos é a geração de modos específicos em frequências específicas que irão se propagar bem e fornecer "ecos" de retorno limpos. Isso requer um controle cuidadoso da excitação. As técnicas para isso incluem o uso de transdutores comb, cunhas, ondas de meio líquido e transdutores acústicos eletromagnéticos ( EMAT ).

Ondas de cordeiro em teste acústico-ultrassônico

O teste acústico-ultrassônico difere do teste ultrassônico porque foi concebido como um meio de avaliar os danos (e outros atributos do material) distribuídos em áreas substanciais, em vez de caracterizar as falhas individualmente. As ondas Lamb são adequadas a este conceito, porque irradiam toda a espessura da placa e propagam distâncias substanciais com padrões de movimento consistentes.

Ondas de cordeiro em teste de emissão acústica

A emissão acústica usa frequências muito mais baixas do que o teste ultrassônico tradicional, e normalmente espera-se que o sensor detecte falhas ativas em distâncias de até vários metros. Uma grande fração das estruturas normalmente testadas com emissão acústica são fabricadas a partir de placas de aço - tanques, vasos de pressão, tubos e assim por diante. A teoria da onda de Lamb é, portanto, a teoria principal para explicar as formas de sinal e as velocidades de propagação que são observadas durante a realização de testes de emissão acústica. Melhorias substanciais na precisão da localização da fonte de EA (uma técnica importante de teste de EA) podem ser alcançadas por meio de um bom entendimento e utilização habilidosa do corpo de conhecimento da onda Lamb.

Testes de emissão ultrassônica e acústica contrastados

Uma excitação mecânica arbitrária aplicada a uma placa irá gerar uma multiplicidade de ondas Lamb transportando energia através de uma gama de frequências. É o caso da onda de emissão acústica. No teste de emissão acústica, o desafio é reconhecer os vários componentes da onda Lamb na forma de onda recebida e interpretá-los em termos de movimento da fonte. Isso contrasta com a situação nos testes ultrassônicos, onde o primeiro desafio é gerar um único modo de onda de Lamb bem controlado em uma única frequência. Mas mesmo em testes ultrassônicos, a conversão de modo ocorre quando a onda Lamb gerada interage com as falhas, de modo que a interpretação dos sinais refletidos compostos de vários modos torna-se um meio de caracterização da falha.

Veja também

Referências

^ Lamb, Horace (1881). "Sobre as vibrações de uma esfera elástica" . Proceedings of the London Mathematical Society . s1-13 (1): 189–212. doi : 10.1112 / plms / s1-13.1.189 . ISSN 1460-244X .
^ Achenbach, JD “Wave Propagation in Elastic Solids”. Nova York: Elsevier, 1984.
^ Lamb, H. "On Waves in an Elastic Plate." Proc. Roy. Soc. Londres, Ser. A 93, 114–128, 1917.
^ Viktorov, IA "Rayleigh and Lamb Waves: Physical Theory and Applications", Plenum Press, New York, 1967.
^ Huber, A. "Dispersion Calculator" . Página inicial do DLR . Centro Aeroespacial Alemão (DLR) . Página visitada em 13 de março de 2021 .
^ Este link mostra um vídeo do movimento da partícula.
^ J. e H. Krautkrämer, "Ultrasonic Testing of Materials", 4ª edição, American Society for Testing and Materials, ISBN 0-318-21482-2 , abril de 1990.
^ Claes, S., "La forme des signaux d'émission acoustique et leur rôle dans les essais de localization", Journées d'Etudes sur l'Emission Acoustique, Institut National des Sciences Appliquées, Lyon (França), de 17 a 18 de março , p. 215-257, 1975.

Rose, JL; "Ultrasonic Waves in Solid Media", Cambridge University Press, 1999.

links externos

Modos de propagação de ondas sonoras no Centro de Recursos NDT
Onda de cordeiro na enciclopédia de testes não destrutivos
Análise de Ondas de Lamb de Sinais Acústico-Ultrassônicos em Placa por Liu Zhenqing: um artigo que inclui as equações de ondas de Lamb completas.

[1] Lamb, Horace (1881). "Sobre as vibrações de uma esfera elástica" . Proceedings of the London Mathematical Society . s1-13 (1): 189–212. doi : 10.1112 / plms / s1-13.1.189 . ISSN 1460-244X .

[2] Achenbach, JD “Wave Propagation in Elastic Solids”. Nova York: Elsevier, 1984.

[3] Lamb, H. "On Waves in an Elastic Plate." Proc. Roy. Soc. Londres, Ser. A 93, 114–128, 1917.

[4] Viktorov, IA "Rayleigh and Lamb Waves: Physical Theory and Applications", Plenum Press, New York, 1967.

[5] Huber, A. "Dispersion Calculator" . Página inicial do DLR . Centro Aeroespacial Alemão (DLR) . Página visitada em 13 de março de 2021 .

[6] Este link mostra um vídeo do movimento da partícula.

[7] J. e H. Krautkrämer, "Ultrasonic Testing of Materials", 4ª edição, American Society for Testing and Materials, ISBN 0-318-21482-2 , abril de 1990.

[8] Claes, S., "La forme des signaux d'émission acoustique et leur rôle dans les essais de localization", Journées d'Etudes sur l'Emission Acoustique, Institut National des Sciences Appliquées, Lyon (França), de 17 a 18 de março , p. 215-257, 1975.

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