Medida Jordan - Jordan measure

Em matemática , a medida Peano-Jordan (também conhecida como conteúdo de Jordan ) é uma extensão da noção de tamanho ( comprimento , área , volume ) para formas mais complicadas do que, por exemplo, um triângulo , disco ou paralelepípedo .

Acontece que para um conjunto ter Jordan medido, ele deve ser bem-comportado em um certo sentido restritivo. Por isso, agora é mais comum trabalhar com a medida Lebesgue , que é uma extensão da medida Jordan para uma classe maior de conjuntos. Historicamente falando, a medida Jordan veio primeiro, no final do século XIX. Por razões históricas, o termo medida de Jordan está bem estabelecido, apesar do fato de não ser uma medida verdadeira em sua definição moderna, uma vez que conjuntos mensuráveis ​​de Jordan não formam uma σ-álgebra. Por exemplo, conjuntos singleton em cada um têm uma medida Jordan de 0, enquanto uma união contável deles não é mensurável por Jordan. Por esse motivo, alguns autores preferem usar o termo conteúdo de Jordan (veja o artigo sobre conteúdo ) .${\ displaystyle \ {x \} _ {x \ in \ mathbb {R}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ cap [0,1]}$

A medida Peano-Jordan recebeu o nome de seus criadores, o matemático francês Camille Jordan e o matemático italiano Giuseppe Peano .

Medida de Jordan de "conjuntos simples"

Um conjunto simples é, por definição, uma união de retângulos (possivelmente sobrepostos).

O conjunto simples de cima se decompôs como uma união de retângulos não sobrepostos.

Considere o espaço euclidiano R ⁿ . Começa-se considerando produtos de intervalos limitados

${\ displaystyle C = [a_ {1}, b_ {1}) \ times [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n})}$

que são fechados na extremidade esquerda e abertos na extremidade direita (intervalos semiabertos é uma escolha técnica; como vemos abaixo, pode-se usar intervalos fechados ou abertos, se preferir). Esse conjunto será chamado de retângulo n - dimensional ou simplesmente retângulo . Um define a medida de Jordan de tal retângulo como o produto dos comprimentos dos intervalos:

${\ displaystyle m (C) = (b_ {1} -a_ {1}) (b_ {2} -a_ {2}) \ cdots (b_ {n} -a_ {n}).}$

Em seguida, considera-se conjuntos simples , às vezes chamados de poliretângulos , que são uniões finitas de retângulos,

${\ displaystyle S = C_ {1} \ cup C_ {2} \ cup \ cdots \ cup C_ {k}}$

para qualquer  k  ≥ 1.

Não se pode definir a medida de Jordan de S simplesmente como a soma das medidas dos retângulos individuais, porque essa representação de S está longe de ser única e pode haver sobreposições significativas entre os retângulos.

Felizmente, qualquer conjunto simples S pode ser reescrito como uma união de outra família finita de retângulos, retângulos que desta vez são mutuamente disjuntos , e então se define a medida de Jordan m ( S ) como a soma das medidas dos retângulos disjuntos.

Pode-se mostrar que esta definição da medida de Jordan de S é independente da representação de S como uma união finita de retângulos disjuntos. É na etapa de "reescrita" que a suposição de retângulos sendo feitos de intervalos semiabertos é usada.

Extensão para conjuntos mais complicados

Um conjunto (representado na imagem pela região dentro da curva azul) é Jordan mensurável se e somente se puder ser bem aproximado tanto de dentro quanto de fora por conjuntos simples (seus limites são mostrados em verde escuro e rosa escuro, respectivamente) .

Observe que um conjunto que é um produto de intervalos fechados,

${\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times [a_ {2}, b_ {2}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}]}$

não é um conjunto simples e nem uma bola . Assim, até agora o conjunto de conjuntos mensuráveis ​​de Jordan ainda é muito limitado. A etapa chave é então definir um conjunto limitado para ser Jordan mensurável se for "bem aproximado" por conjuntos simples, exatamente da mesma maneira que uma função é Riemann integrável se for bem aproximada por funções constantes por partes.

Formalmente, para um conjunto limitado B , defina sua medida Jordan interna como

${\ displaystyle m _ {*} (B) = \ sup _ {S \ subconjunto B} m (S)}$

e sua medida externa como

${\ displaystyle m ^ {*} (B) = \ inf _ {S \ supset B} m (S)}$

onde o ínfimo e supremo são tomadas ao longo conjuntos simples S . O conjunto B é considerado Jordan mensurável se a medida interna de B for igual à medida externa. O valor comum das duas medidas é então chamado simplesmente a medida Jordan de B .

Acontece que todos os retângulos (abertos ou fechados), bem como todas as bolas, simplexes , etc., são mensuráveis ​​por Jordan. Além disso, se considerarmos duas funções contínuas , o conjunto de pontos entre os gráficos dessas funções é Jordan mensurável, desde que esse conjunto seja limitado e o domínio comum das duas funções seja Jordan mensurável. Qualquer união finita e interseção de conjuntos mensuráveis ​​de Jordan são mensuráveis ​​de Jordan, bem como a diferença de conjunto de quaisquer dois conjuntos mensuráveis ​​de Jordan. Um conjunto compacto não é necessariamente mensurável por Jordan. Por exemplo, o gordo conjunto Cantor não é. Sua medida de Jordão interna desaparece, pois seu complemento é denso ; entretanto, sua medida do Jordão externo não desaparece, uma vez que não pode ser menor que (de fato, é igual a) sua medida de Lebesgue. Além disso, um conjunto aberto limitado não é necessariamente mensurável por Jordan. Por exemplo, o complemento do conjunto Fat Cantor (dentro do intervalo) não é. Um conjunto limitado é Jordan mensurável se e somente se sua função de indicador é Riemann integrável , e o valor da integral é sua medida de Jordan. [1]

Equivalentemente, para um conjunto limitado B, a medida do Jordão interno de B é a medida de Lebesgue do interior de B e a medida do Jordão externo é a medida de Lebesgue do fechamento . Disto se segue que um conjunto limitado é Jordan mensurável se e somente se seu limite tem medida Lebesgue zero. (Ou, de forma equivalente, se o limite tiver Jordan medida zero; a equivalência se mantém devido à compactação do limite.)

A medida Lebesgue

Esta última propriedade limita muito os tipos de conjuntos que são mensuráveis ​​por Jordan. Por exemplo, o conjunto de números racionais contidos no intervalo [0,1] não é então mensurável por Jordan, pois seu limite é [0,1] que não é da medida Jordan zero. Intuitivamente, porém, o conjunto de números racionais é um conjunto "pequeno", pois é contável , e deve ter "tamanho" zero. Isso é verdade, mas apenas se substituirmos a medida Jordan pela medida Lebesgue . A medida de Lebesgue de um conjunto é a mesma que sua medida de Jordão, desde que esse conjunto tenha uma medida de Jordão. No entanto, a medida de Lebesgue é definida para uma classe muito mais ampla de conjuntos, como o conjunto de números racionais em um intervalo mencionado anteriormente, e também para conjuntos que podem ser ilimitados ou fractais . Além disso, a medida de Lebesgue, ao contrário da medida de Jordan, é uma medida verdadeira , ou seja, qualquer união contável de conjuntos mensuráveis ​​de Lebesgue é mensurável de Lebesgue, enquanto as uniões contáveis ​​de conjuntos mensuráveis ​​de Jordan não precisam ser mensuráveis ​​de Jordan.

Referências

• Emmanuele DiBenedetto (2002). Análise real . Basel, Suíça: Birkhäuser. ISBN   0-8176-4231-5 .
• Richard Courant; Fritz John (1999). Introdução ao Cálculo e Análise Volume II / 1: Capítulos 1–4 (Clássicos da Matemática) . Berlim: Springer. ISBN   3-540-66569-2 .

links externos

• Derwent, John. "Jordan Measure" . MathWorld .
• Terekhin, AP (2001) [1994], "Jordan measure" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press