Rotação irracional - Irrational rotation

Sequência de Sturmian gerada por rotação irracional com teta = 0,2882748715208621 ex = 0,078943143

Na teoria matemática dos sistemas dinâmicos , uma rotação irracional é um mapa

${\ displaystyle T _ {\ theta}: [0,1] \ rightarrow [0,1], \ quad T _ {\ theta} (x) \ triangleq x + \ theta \ mod 1}$

onde θ é um número irracional . Sob a identificação de um círculo com R / Z , ou com o intervalo [0, 1] com os pontos de fronteira colados, este mapa torna-se uma rotação de um círculo por uma proporção θ de uma revolução completa (ou seja, um ângulo de 2 πθ radianos). Como θ é irracional, a rotação tem ordem infinita no grupo de círculos e o mapa T _θ não tem órbitas periódicas .

Alternativamente, podemos usar a notação multiplicativa para uma rotação irracional, introduzindo o mapa

${\ displaystyle T _ {\ theta}: S ^ {1} \ to S ^ {1}, \ quad \ quad \ quad T _ {\ theta} (x) = xe ^ {2 \ pi i \ theta}}$

A relação entre as notações aditiva e multiplicativa é o isomorfismo de grupo

${\ displaystyle \ varphi: ([0,1], +) \ to (S ^ {1}, \ cdot) \ quad \ varphi (x) = xe ^ {2 \ pi i \ theta}}$.

Pode-se mostrar que φ é uma isometria .

Há uma forte distinção nas rotações do círculo que depende se θ é racional ou irracional. Rotações racionais são exemplos menos interessantes de sistemas dinâmicos porque se e , então, quando . Também pode ser mostrado que quando . ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {a} {b}}}$${\ displaystyle \ gcd (a, b) = 1}$${\ displaystyle T _ {\ theta} ^ {b} (x) = x}$${\ displaystyle x \ in [0,1]}$${\ displaystyle T _ {\ theta} ^ {i} (x) \ neq x}$${\ displaystyle 1 \ leq i <b}$

Significado

As rotações irracionais constituem um exemplo fundamental na teoria dos sistemas dinâmicos . De acordo com o teorema de Denjoy , todo C ² -diffeomorfismo do círculo que preserva a orientação com um número de rotação irracional θ é topologicamente conjugado com T _θ . Uma rotação irracional é uma transformação ergódica que preserva a medida , mas não é uma mistura . O mapa de Poincaré para o sistema dinâmico associado à foliação de Kronecker em um toro com ângulo θ é a rotação irracional por θ . As álgebras C * associadas a rotações irracionais, conhecidas como álgebras de rotação irracionais , têm sido amplamente estudadas.

Propriedades

• Se θ for irracional, então a órbita de qualquer elemento de [0,1] sob a rotação T _θ é densa em [0,1] . Portanto, as rotações irracionais são topologicamente transitivas .
• Rotações irracionais (e racionais) não se misturam topologicamente .
• As rotações irracionais são exclusivamente ergódicas , com a medida de Lebesgue servindo como a única medida de probabilidade invariante.
• Suponha [ a , b ] ⊂ [0,1] . Como T _θ é ergódico ,.
  ${\ displaystyle {\ text {lim}} _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} \ chi _ {[a, b )} (T _ {\ theta} ^ {n} (t)) = ba}$

Generalizações

• As rotações do círculo são exemplos de traduções de grupos .
• Para uma orientação geral preservando o homomorfismo f de S ¹ para si mesmo, chamamos de homeomorfismo um levantamento de f se onde .${\ displaystyle F: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ pi \ circ F = f \ circ \ pi}$${\ displaystyle \ pi (t) = t {\ bmod {1}}}$
• A rotação do círculo pode ser pensada como uma subdivisão de um círculo em duas partes, que são trocadas uma com a outra. Uma subdivisão em mais de duas partes, que são então permutadas uma na outra, é chamada de transformação de troca de intervalo .
• As rotações rígidas de grupos compactos efetivamente se comportam como rotações circulares; a medida invariante é a medida de Haar .

Formulários

• Produtos enviesados ​​sobre as rotações do círculo: Em 1969, William A. Veech construiu exemplos de sistemas dinâmicos mínimos e não exclusivamente ergódicos como segue: "Pegue duas cópias do círculo unitário e marque o segmento J de comprimento 2 πα no sentido anti-horário em cada um um com ponto final em 0. Agora tome θ irracional e considere o seguinte sistema dinâmico. Comece com um ponto p , digamos, no primeiro círculo. Gire no sentido anti-horário por 2 πθ até a primeira vez que a órbita pousar em J ; em seguida, mude para o ponto correspondente no segundo círculo, gire 2 πθ até a primeira vez que o ponto pousar em J ; volte para o primeiro círculo e assim por diante. Veech mostrou que se θ é irracional, então existe α irracional para o qual este sistema é mínimo e o A medida de Lebesgue não é exclusivamente ergódica. "

Veja também

• Mapa de Bernoulli
• Aritmética modular
• Disco de Siegel
• Álgebra de Toeplitz
• Bloqueio de fase (mapa circular)

Referências

Leitura adicional

• CE Silva, Invitation to ergodic theory , Student Mathematical Library, vol 42, American Mathematical Society , 2008 ISBN  978-0-8218-4420-5