Modelo interno - Inner model

Em teoria dos conjuntos , um ramo da lógica matemática , um modelo interno para uma teoria T é uma subestrutura de um modelo M de uma teoria dos conjuntos que seja um modelo para T e contém todos os ordinais de M .

Definição

Deixe ser a linguagem da teoria dos conjuntos. Seja S uma teoria de conjuntos particular, por exemplo, os axiomas ZFC e seja T (possivelmente o mesmo que S ) também uma teoria em . ${\ displaystyle L = \ langle \ in \ rangle}$${\ displaystyle L}$

Se M é um modelo para S , e N é uma estrutura tal que ${\ displaystyle L}$

1. N é uma subestrutura de M , ou seja, a interpretação de em N é ${\ displaystyle \ in _ {N}}$${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle {\ in _ {M}} \ cap N ^ {2}}$
2. N é um modelo para T
3. o domínio de N é uma classe transitiva de M
4. N contém todos os ordinais de M

então dizemos que N é um modelo interno de T (em M ). Normalmente T será igual a (ou subsumir) S , de modo que N é um modelo para S 'dentro' do modelo M de S .

Se apenas as condições 1 e 2 preensão, N é chamado um modelo padrão de T (em M ), um submodelo padrão de T (se S  =  T e) N é um conjunto de M . Um modelo N de T em M é chamado de transitivo quando é padrão e a condição 3 é válida. Se o axioma da fundação não for assumido (ou seja, não estiver em S ), todos os três conceitos recebem a condição adicional de que N seja bem fundamentado . Portanto, os modelos internos são transitivos, os modelos transitivos são padrão e os modelos padrão são bem fundamentados.

A suposição de que existe um submodelo padrão de ZFC (em um determinado universo) é mais forte do que a suposição de que existe um modelo. Na verdade, se houver um submodelo padrão, haverá um menor submodelo padrão denominado modelo mínimo contido em todos os submodelos padrão. O submodelo mínimo não contém nenhum submodelo padrão (já que é mínimo), mas (assumindo a consistência de ZFC) ele contém algum modelo de ZFC pelo teorema da completude de Gödel . Este modelo não é necessariamente bem fundamentado, caso contrário, o colapso de Mostowski seria um submodelo padrão. (Não é bem fundado como uma relação no universo, embora satisfaça o axioma da fundação, por isso é "internamente" bem fundado. Ser bem fundado não é uma propriedade absoluta.) Em particular, no submodelo mínimo há um modelo do ZFC, mas não existe um submodelo padrão do ZFC.

Usar

Normalmente, quando alguém fala sobre modelos internos de uma teoria, a teoria que está discutindo é ZFC ou alguma extensão de ZFC (como ZFC +  um cardeal mensurável ). Quando nenhuma teoria é mencionada, geralmente assume-se que o modelo em discussão é um modelo interno de ZFC. No entanto, não é incomum falar sobre modelos internos de subteorias de ZFC (como ZF ou KP ) também. ${\ displaystyle \ existe}$

Ideias Relacionadas

Foi provado por Kurt Gödels que qualquer modelo de ZF tem um modelo interior de menos ZF (que também é um modelo interior de ZFE +  GCH ), chamado o universo construtıvel , ou  L .

Há um ramo da teoria dos conjuntos chamado teoria do modelo interno que estuda maneiras de construir modelos menos internos de teorias que estendem ZF. A teoria do modelo interno levou à descoberta da força de consistência exata de muitas propriedades teóricas de conjuntos importantes.

Veja também

• Modelos transitivos contáveis ​​e filtros genéricos

Referências