Atribuição cardeal de von Neumann - von Neumann cardinal assignment

A atribuição cardinal de von Neumann é uma atribuição cardinal que usa números ordinais . Para um conjunto U bem ordenável , definimos seu número cardinal como o menor número ordinal equinumerário a U , usando a definição de von Neumann de um número ordinal. Mais precisamente:

onde ON é a classe de ordinais. Esse ordinal também é chamado de ordinal inicial do cardinal.

Que tal ordinal existe e é único é garantido pelo fato de que U é bem ordenado e que a classe dos ordinais é bem ordenada, usando o axioma da substituição . Com o axioma completo de escolha , cada conjunto é bem ordenado, portanto, cada conjunto tem um cardinal; ordenamos os cardinais usando a ordem herdada dos números ordinais. Isso é facilmente encontrado para coincidir com a ordenação por meio de ≤ c . Esta é uma boa ordenação dos números cardinais.

Ordinal inicial de um cardeal

Cada ordinal tem um cardinal associado , sua cardinalidade, obtida simplesmente pelo esquecimento da ordem. Qualquer conjunto bem ordenado que tenha aquele ordinal como seu tipo de pedido tem a mesma cardinalidade. O menor ordinal tendo um determinado cardinal como cardinalidade é chamado de ordinal inicial desse cardinal. Cada ordinal finito ( número natural ) é inicial, mas a maioria dos ordinais infinitos não é inicial. O axioma da escolha é equivalente à afirmação de que todo conjunto pode ser bem ordenado, ou seja, que todo cardinal tem um ordinal inicial. Nesse caso, é tradicional identificar o número cardinal com seu ordinal inicial e dizemos que o ordinal inicial é um cardinal.

O -ésimo ordinal inicial infinito é escrito . Sua cardinalidade é escrita (o -ésimo número aleph ). Por exemplo, a cardinalidade de seja , que também é a cardinalidade de , , e (todos são contáveis ordinais). Assim, nos identificamos com , exceto que a notação é usada para escrever cardinais e para escrever ordinais. Isso é importante porque a aritmética em cardinais é diferente da aritmética em ordinais , por exemplo  =  enquanto  >  . Além disso, é o menor ordinal incontável (para ver se ele existe, considere o conjunto de classes de equivalência de bem-ordenação dos números naturais; cada uma dessas ordenações define um ordinal contável e é o tipo de ordem desse conjunto), é o menor ordinal cuja cardinalidade é maior que , e assim por diante, e é o limite de para números naturais (qualquer limite de cardinais é um cardinal, portanto, esse limite é de fato o primeiro cardinal depois de todos os ).

Ordinais iniciais infinitos são ordinais de limite. Usando aritmética ordinal, implica , e 1 ≤ αβ implica α  · ω β = ω β , e 2 ≤ αβ implica α ω β = ω β . Usando a hierarquia de Veblen , β ≠ 0 e αβ implicam e Γ ω β = ω β . Na verdade, pode-se ir muito além disso. Portanto, como ordinal, um ordinal inicial infinito é um tipo de limite extremamente forte.

Veja também

Referências

  • YN Moschovakis Notes on Set Theory (1994 Springer) p. 198