Teorema do índice Atiyah-Singer - Atiyah–Singer index theorem
Campo | Geometria diferencial |
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Primeira prova por | Michael Atiyah e Isadore Singer |
Primeira prova em | 1963 |
Consequências |
Teorema de Chern – Gauss – Bonnet Teorema de Grothendieck – Riemann – Roch Teorema de assinatura de Hirzebruch Teorema de Rokhlin |
Em geometria diferencial , o teorema do índice Atiyah – Singer , provado por Michael Atiyah e Isadore Singer (1963), afirma que para um operador diferencial elíptico em uma variedade compacta , o índice analítico (relacionado à dimensão do espaço de soluções) é igual ao índice topológico (definido em termos de alguns dados topológicos). Inclui muitos outros teoremas, como o teorema de Chern-Gauss-Bonnet e o teorema de Riemann-Roch , como casos especiais, e tem aplicações à física teórica .
História
O problema de índice para operadores diferenciais elípticos foi colocado por Israel Gel'fand . Ele percebeu a invariância de homotopia do índice e pediu uma fórmula para ela por meio de invariantes topológicos . Alguns dos exemplos motivadores incluíram o teorema de Riemann-Roch e sua generalização, o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch e o teorema da assinatura de Hirzebruch . Friedrich Hirzebruch e Armand Borel provaram a integralidade do gênero  de uma variedade de spin, e Atiyah sugeriu que essa integralidade poderia ser explicada se fosse o índice do operador Dirac (que foi redescoberto por Atiyah e Singer em 1961).
O teorema Atiyah-Singer foi anunciado em 1963. A prova esboçada neste anúncio nunca foi publicada por eles, embora apareça no livro do Palais. Também aparece no "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" que foi realizado em Paris simultaneamente com o seminário liderado por Richard Palais na Universidade de Princeton . A última palestra em Paris foi de Atiyah sobre múltiplos com limite. Sua primeira prova publicada substituiu a teoria do cobordismo da primeira prova pela teoria K , e eles a usaram para dar provas de várias generalizações em outra seqüência de artigos.
- 1965: Sergey P. Novikov publicou seus resultados sobre a invariância topológica das classes racionais de Pontryagin em variedades suaves.
- Os resultados de Robion Kirby e Laurent C. Siebenmann , combinados com o artigo de René Thom , provaram a existência de classes racionais de Pontryagin em variedades topológicas. As classes racionais de Pontryagin são ingredientes essenciais do teorema do índice em variedades suaves e topológicas.
- 1969: Michael Atiyah define operadores elípticos abstratos em espaços métricos arbitrários. Operadores elípticos abstratos tornaram-se protagonistas na teoria de Kasparov e na geometria diferencial não comutativa de Connes.
- 1971: Isadore Singer propõe um programa abrangente para futuras extensões da teoria do índice.
- 1972: Gennadi G. Kasparov publica seu trabalho sobre a realização da homologia K por operadores elípticos abstratos.
- 1973: Atiyah, Raoul Bott e Vijay Patodi deram uma nova prova do teorema do índice usando a equação do calor , descrita em um artigo de Melrose.
- 1977: Dennis Sullivan estabelece seu teorema sobre a existência e a unicidade de Lipschitz e estruturas quasi-formais em variedades topológicas de dimensão diferente de 4.
- 1983: Ezra Getzler, motivado pelas ideias de Edward Witten e Luis Alvarez-Gaume , deu uma pequena demonstração do teorema do índice local para operadores que são operadores de Dirac local ; isso cobre muitos dos casos úteis.
- 1983: Nicolae Teleman prova que os índices analíticos de operadores de assinatura com valores em feixes de vetores são invariantes topológicos.
- 1984: Teleman estabelece o teorema do índice em variedades topológicas.
- 1986: Alain Connes publica seu artigo fundamental sobre geometria não comutativa .
- 1989: Simon K. Donaldson e Sullivan estudam a teoria de Yang-Mills em variedades quase-formais de dimensão 4. Eles introduzem o operador de assinatura S definido em formas diferenciais de grau dois.
- 1990: Connes e Henri Moscovici provam a fórmula do índice local no contexto da geometria não comutativa.
- 1994: Connes, Sullivan e Teleman provam o teorema do índice para operadores de assinatura em variedades quasi-formais.
Notação
- X é uma variedade lisa compacta (sem limite).
- E e F são lisas fibrados mais de X .
- D é um operador diferencial elíptica a partir de E a F . Assim, em coordenadas locais ele age como um operador diferencial, tendo seções lisas de E para suavizar seções de F .
Símbolo de um operador diferencial
Se D é um operador diferencial em um espaço euclidiano de ordem n em k variáveis , então seu símbolo é a função de 2 k variáveis , dado eliminando todos os termos de ordem menor que ne substituindo por . Logo, o símbolo é homogêneo nas variáveis y , de grau n . O símbolo é bem definido, embora não comute com, porque mantemos apenas os termos de ordem mais alta e os operadores diferenciais comutam "até os termos de ordem inferior". O operador é chamado de elíptico se o símbolo for diferente de zero sempre que pelo menos um y for diferente de zero.
Exemplo: O operador Laplace em variáveis k tem símbolo e, portanto, é elíptico, pois é diferente de zero sempre que algum dos 's é diferente de zero. O operador de onda tem um símbolo , que não é elíptico se , pois o símbolo desaparece para alguns valores diferentes de zero de y s.
O símbolo de um operador diferencial de ordem n em uma variedade lisa X é definido da mesma maneira usando gráficos de coordenadas locais, e é uma função no feixe cotangente de X , homogêneo de grau n em cada espaço cotangente. (Em geral, os operadores diferenciais se transformam de uma maneira bastante complicada nas transformações de coordenadas (ver jet bundle ); no entanto, os termos de ordem mais alta se transformam como tensores, então temos funções homogêneas bem definidas nos espaços cotangentes que são independentes da escolha dos gráficos locais .) em termos mais gerais, o símbolo de um operador diferencial entre dois feixes vector e e F é uma parte do recuo do Hom feixe ( e , F ) para o espaço de co-tangente de X . O operador diferencial é chamado elíptico Se o elemento de Hom ( E x , F x ) é invertível para todos os vectores de cotangente não-zero em qualquer ponto x de X .
Uma propriedade chave dos operadores elípticos é que eles são quase invertíveis; isso está intimamente relacionado ao fato de que seus símbolos são quase invertíveis. Mais precisamente, um operador elíptico D em uma variedade compacta tem uma parametriz (não única) (ou pseudoinverso ) D ′ de modo que DD ′ −1 e D′D −1 são ambos operadores compactos. Uma consequência importante é que o kernel de D é finito-dimensional, porque todos os autoespaços de operadores compactos, exceto o kernel, são finito-dimensionais. (O pseudoinverso de um operador diferencial elíptico quase nunca é um operador diferencial. No entanto, é um operador pseudodiferencial elíptico .)
Índice analítico
Como o operador diferencial elíptico D tem um pseudoinverso, ele é um operador de Fredholm . Qualquer operador de Fredholm tem um índice , definido como a diferença entre a dimensão (finita) do núcleo de D (soluções de Df = 0) e a dimensão (finita) do núcleo de D (as restrições à direita lado de uma equação não homogênea como Df = g , ou equivalentemente o kernel do operador adjunto). Em outras palavras,
- Índice ( D ) = dim Ker (D) - dim Coker ( D ) = dim Ker (D) - dim Ker ( D * ).
Isso às vezes é chamado o índice analítico de D .
Exemplo: Suponha que a variedade seja o círculo (pensado como R / Z ) e D é o operador d / dx - λ para alguma constante complexa λ. (Este é o exemplo mais simples de um operador elíptico.) Então o kernel é o espaço de múltiplos de exp (λ x ) se λ é um múltiplo integral de 2π i e é 0 caso contrário, e o kernel do adjunto é um espaço semelhante com λ substituído por seu conjugado complexo. Portanto, D tem índice 0. Este exemplo mostra que o kernel e o cokernel de operadores elípticos podem saltar descontinuamente conforme o operador elíptico varia, portanto, não há uma fórmula legal para suas dimensões em termos de dados topológicos contínuos. No entanto, os saltos nas dimensões do kernel e do cokernel são os mesmos, então o índice, dado pela diferença de suas dimensões, de fato varia continuamente, e pode ser dado em termos de dados topológicos pelo teorema do índice.
Índice topológico
O índice topológico de um operador diferencial elíptico entre feixes de vetores lisos e em uma variedade compacta dimensional é dado por
em outras palavras, o valor do componente dimensional superior da classe de cohomologia mista na classe de homologia fundamental da variedade . Aqui,
- é a classe de Todd do pacote tangente complexificado de .
-
é igual a , onde
- é o isomorfismo de Thom para o feixe de esferas
- é o personagem Chern
- é o "elemento diferença" em associado a dois feixes de vetores e on e um isomorfismo entre eles no subespaço .
- é o símbolo de
Também se pode definir o índice topológico usando apenas a teoria K (e esta definição alternativa é compatível em certo sentido com a construção do personagem de Chern acima). Se X é uma subvariedade compacta de uma variedade Y, então há um mapa pushforward (ou "guincho") de K ( TX ) para K ( TY ). O índice topológico de um elemento de K ( TX ) é definido como a imagem dessa operação com Y algum espaço euclidiano, para o qual K ( TY ) pode ser identificado naturalmente com os inteiros Z (como consequência da periodicidade de Bott). Este mapa é independente da incorporação de X no espaço euclidiano. Agora, um operador diferencial como acima define naturalmente um elemento de K ( TX ), e a imagem em Z sob este mapa "é" o índice topológico.
Como de costume, D é um operador diferencial elíptica entre o vector de feixes E e F ao longo de um colector compacto X .
O problema índice é o seguinte: calcular o índice (analítica) de D utilizando apenas o símbolo s e topológicos dados derivados a partir do colector e do feixe de vector. O teorema do índice Atiyah-Singer resolve este problema e afirma:
- O índice analítico de D é igual ao seu índice topológico.
Apesar de sua definição formidável, o índice topológico geralmente é simples de avaliar explicitamente. Isso permite avaliar o índice analítico. (O cokernel e kernel de um operador elíptico são, em geral, extremamente difíceis de avaliar individualmente; o teorema do índice mostra que geralmente podemos pelo menos avaliar sua diferença .) Muitos invariantes importantes de uma variedade (como a assinatura) podem ser dados como o índice de operadores diferenciais adequados, então o teorema do índice nos permite avaliar esses invariantes em termos de dados topológicos.
Embora o índice analítico geralmente seja difícil de avaliar diretamente, é pelo menos obviamente um número inteiro. O índice topológico é, por definição, um número racional, mas geralmente não é óbvio pela definição que ele também é integral. Portanto, o teorema do índice Atiyah – Singer implica algumas propriedades de integralidade profunda, pois implica que o índice topológico é integral.
O índice de um operador diferencial elíptico obviamente desaparece se o operador for autoadjunto. Ele também desaparece se a variedade X tiver dimensão ímpar, embora haja operadores elípticos pseudodiferenciais cujo índice não desaparece em dimensões ímpares.
Relação com Grothendieck – Riemann – Roch
O teorema de Grothendieck-Riemann-Roch foi uma das principais motivações por trás do teorema do índice, porque o teorema do índice é a contraparte desse teorema na configuração de variedades reais. Agora, se há um mapa de variedades compactas de forma estável quase complexa, há um diagrama comutativo
se for um ponto, então recuperamos a afirmação acima. Aqui está o grupo Grothendieck de pacotes vetoriais complexos. Este diagrama comutativo é formalmente muito semelhante ao teorema GRR porque os grupos de cohomologia à direita são substituídos pelo anel de Chow de uma variedade suave, e o grupo Grothendieck à esquerda é dado pelo grupo Grothendieck de feixes vetoriais algébricos.
Extensões do teorema do índice Atiyah-Singer
Teorema do índice Teleman
Devido a ( Teleman 1983 ), ( Teleman 1984 ):
- Para qualquer operador elíptico abstrato ( Atiyah 1970 ) em uma variedade topológica fechada, orientada, o índice analítico é igual ao índice topológico.
A prova desse resultado passa por considerações específicas, incluindo a extensão da teoria de Hodge em variedades combinatórias e de Lipschitz ( Teleman 1980 ), ( Teleman 1983 ), a extensão do operador de assinatura de Atiyah – Singer para variedades de Lipschitz ( Teleman 1983 ), K- de Kasparov homologia ( Kasparov 1972 ) e cobordismo topológico ( Kirby & Siebenmann 1977 ).
Este resultado mostra que o teorema do índice não é meramente uma declaração de diferenciabilidade, mas sim uma declaração topológica.
Teorema do índice de Connes-Donaldson-Sullivan-Teleman
Devido a ( Donaldson & Sullivan 1989 ), ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ):
- Para qualquer variedade quasiconformal, existe uma construção local das classes características de Hirzebruch-Thom.
Esta teoria é baseada em um operador de assinatura S , definido em formas diferenciais de grau médio em variedades quase-formais de dimensão par (compare ( Donaldson & Sullivan 1989 )).
Usando o cobordismo topológico e a homologia K pode-se fornecer uma declaração completa de um teorema de índice em variedades quasi-formais (ver página 678 de ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 )). O trabalho ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) "fornece construções locais para classes características baseadas em parentes dimensionais superiores do mapeamento de Riemann mensurável na dimensão dois e a teoria de Yang-Mills na dimensão quatro."
Esses resultados constituem avanços significativos ao longo das linhas do programa Prospects in Mathematics de Singer ( Singer 1971 ). Ao mesmo tempo, eles fornecem, também, uma construção eficaz das classes racionais de Pontrjagin em variedades topológicas. O artigo ( Teleman 1985 ) fornece uma ligação entre a construção original de Thom das classes racionais de Pontrjagin ( Thom 1956 ) e a teoria do índice.
É importante mencionar que a fórmula do índice é uma declaração topológica. As teorias de obstrução devidas a Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan, Donaldson mostram que apenas uma minoria de variedades topológicas possui estruturas diferenciáveis e estas não são necessariamente únicas. O resultado de Sullivan em estruturas Lipschitz e quasiconformais ( Sullivan 1979 ) mostra que qualquer variedade topológica em dimensão diferente de 4 possui tal estrutura que é única (até isotopia próxima à identidade).
As estruturas quasiconformais ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) e mais geralmente as estruturas L p , p > n (n + 1) / 2 , introduzidas por M. Hilsum ( Hilsum 1999 ), são as estruturas analíticas mais fracas em variedades topológicas de dimensão n para a qual se sabe que o teorema do índice é válido.
Outras extensões
- O teorema de Atiyah-Singer se aplica a operadores elípticos pseudodiferenciais da mesma forma que os operadores elípticos diferenciais. Na verdade, por razões técnicas, a maioria das primeiras provas funcionava com operadores pseudodiferenciais em vez de operadores diferenciais: sua flexibilidade extra tornava algumas etapas das provas mais fáceis.
- Em vez de trabalhar com um operador elíptico entre dois pacotes de vetores, às vezes é mais conveniente trabalhar com um complexo elíptico
- de pacotes de vetores. A diferença é que os símbolos agora formam uma seqüência exata (fora da seção zero). No caso em que há apenas dois feixes diferentes de zero no complexo, isso implica que o símbolo é um isomorfismo da seção zero, então um complexo elíptico com 2 termos é essencialmente o mesmo que um operador elíptico entre dois feixes de vetores. Por outro lado, o teorema do índice para um complexo elíptico pode ser facilmente reduzido ao caso de um operador elíptico: os dois pacotes vetoriais são dados pelas somas dos termos pares ou ímpares do complexo, e o operador elíptico é a soma dos operadores de o complexo elíptico e seus anexos, restritos à soma dos feixes pares.
- Se for permitido que a variedade tenha limite, então algumas restrições devem ser colocadas no domínio do operador elíptico para garantir um índice finito. Essas condições podem ser locais (como exigir que as seções no domínio desapareçam na fronteira) ou condições globais mais complicadas (como exigir que as seções no domínio resolvam alguma equação diferencial). O caso local foi elaborado por Atiyah e Bott, mas eles mostraram que muitos operadores interessantes (por exemplo, o operador de assinatura ) não admitem condições de limite locais. Para lidar com esses operadores, Atiyah , Patodi e Singer introduziram condições de contorno globais equivalentes a anexar um cilindro ao coletor ao longo do limite e, em seguida, restringir o domínio às seções que são quadradas integráveis ao longo do cilindro. Este ponto de vista é adotado na prova de Melrose (1993) do teorema do índice Atiyah-Patodi-Singer .
- Em vez de apenas um operador elíptica, pode-se considerar uma família de operadores elípticos parametrizados por algum espaço Y . Nesse caso, o índice é um elemento da teoria K de Y , em vez de um número inteiro. Se os operadores na família são reais, então as mentiras de índice no K-teoria real da Y . Isso fornece um pouco de informação extra, pois o mapa da teoria K real de Y para a teoria K complexa nem sempre é injetiva.
- Se houver uma ação de grupo de um grupo G na variedade compacta X , comutando com o operador elíptico, então substitui-se a teoria K ordinária pela teoria K equivariante . Além disso, obtém-se generalizações do teorema de ponto fixo teorema , com termos provenientes de Subvariedades de ponto fixo do grupo G . Veja também: teorema do índice equivariante .
- Atiyah (1976) mostrou como estender o teorema do índice para algumas variedades não compactas, atuadas por um grupo discreto com quociente compacto. O núcleo do operador elíptico é em geral infinito dimensional neste caso, mas é possível obter um índice finito usando a dimensão de um módulo sobre uma álgebra de von Neumann ; este índice é geralmente real, em vez de um valor inteiro. Esta versão é chamada de teorema do índice L 2 e foi usada por Atiyah & Schmid (1977) para rederir propriedades das representações em série discretas de grupos de Lie semisimples .
- O teorema do índice de Callias é um teorema do índice para um operador de Dirac em um espaço de dimensão ímpar não compactado. O índice Atiyah-Singer é definido apenas em espaços compactos e desaparece quando sua dimensão é ímpar. Em 1978 Constantine Callias , por sugestão de seu Ph.D. o conselheiro Roman Jackiw , usou a anomalia axial para derivar este teorema de índice em espaços equipados com uma matriz Hermitiana chamada de campo de Higgs . O índice do operador Dirac é um invariante topológico que mede o enrolamento do campo de Higgs em uma esfera no infinito. Se U for a matriz unitária na direção do campo de Higgs, então o índice é proporcional à integral de U ( dU ) n −1 sobre a ( n −1) -sfera no infinito. Se n for par, é sempre zero.
- A interpretação topológica deste invariante e sua relação com o índice de Hörmander proposto por Boris Fedosov , generalizado por Lars Hörmander , foi publicada por Raoul Bott e Robert Thomas Seeley .
Exemplos
Característica de Euler
Suponha que M seja uma variedade orientada compacta. Se tomarmos E para ser a soma das potências mesmo exteriores do feixe co-tangente, e F para ser a soma das potências ímpares, definir D = d + d * , considerado como um mapa de E a F . Então, o índice topológico de D é a característica de Euler da cohomologia de Hodge de M , e o índice analítico é a classe de Euler da variedade. A fórmula do índice para este operador produz o teorema de Chern-Gauss-Bonnet .
Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch
Tome X ser um colector de complexo com um vector holomórfica feixe V . Deixamos os pacotes vetoriais E e F serem as somas dos pacotes de formas diferenciais com coeficientes em V do tipo (0, i ) com i par ou ímpar, e deixamos o operador diferencial D ser a soma
restrita a E . Então, o índice analítico de D é a característica holomórfica de Euler de V :
O índice topológico de D é dado por
- ,
o produto do caráter Chern de V e da classe Todd of X avaliado na classe fundamental de X . Equacionando os índices topológicos e analíticos, obtemos o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch . Na verdade temos uma generalização a todos os variedades complexas: a prova de Hirzebruch só trabalhou para projetiva variedades complexas X .
Esta derivação do teorema de Hirzebruch – Riemann – Roch é mais natural se usarmos o teorema do índice para complexos elípticos em vez de operadores elípticos. Podemos considerar o complexo como
com o diferencial dado por . Então o i ' ésimo grupo de cohomologia é apenas o grupo de cohomologia coerente H i ( X , V ), então o índice analítico desse complexo é a característica holomórfica de Euler Σ (−1) i dim (H i ( X , V )). Como antes, o índice topológico é ch ( V ) Td ( X ) [ X ].
Teorema da assinatura de Hirzebruch
O teorema da assinatura de Hirzebruch afirma que a assinatura de uma variedade orientada compacta X de dimensão 4 k é dada pelo gênero L da variedade. Isso segue do teorema do índice Atiyah – Singer aplicado ao seguinte operador de assinatura .
Os pacotes E e F são dados pelos autoespaços +1 e -1 do operador no pacote de formas diferenciais de X , que atua nas formas k como
vezes o operador Hodge * . O operador D é o Hodge Laplacian
restrita a E , onde d é o Cartan derivada exterior e d * é a sua adjunta.
O índice analítico de D é a assinatura da variedade X , e seu índice topológico é o gênero L de X , então esses são iguais.
 gênero e teorema de Rochlin
O  gênero é um número racional definido para qualquer variedade, mas em geral não é um número inteiro. Borel e Hirzebruch mostraram que é integral para variedades de spin e um inteiro par se, além disso, a dimensão for 4 mod 8. Isso pode ser deduzido do teorema do índice, o que implica que o gênero  para variedades de spin é o índice de um Dirac operador. O fator extra de 2 nas dimensões 4 mod 8 vem do fato de que, neste caso, o kernel e o cokernel do operador Dirac têm uma estrutura quaterniônica, então como espaços vetoriais complexos eles têm dimensões pares, então o índice é par.
Na dimensão 4, este resultado implica o teorema de Rochlin de que a assinatura de uma variedade de spin 4-dimensional é divisível por 16: isso ocorre porque na dimensão 4 o gênero  é menos um oitavo da assinatura.
Técnicas de prova
Operadores pseudodiferenciais
Operadores pseudodiferenciais podem ser explicados facilmente no caso de operadores de coeficiente constante no espaço euclidiano. Nesse caso, os operadores diferenciais de coeficiente constante são apenas as transformadas de Fourier de multiplicação por polinômios, e os operadores pseudodiferenciais de coeficiente constante são apenas as transformadas de Fourier de multiplicação por funções mais gerais.
Muitas provas do teorema do índice usam operadores pseudodiferenciais em vez de operadores diferenciais. A razão para isso é que, para muitos propósitos, não existem operadores diferenciais suficientes. Por exemplo, um pseudoinverso de um operador diferencial elíptico de ordem positiva não é um operador diferencial, mas é um operador pseudodiferencial. Além disso, há uma correspondência direta entre os dados que representam os elementos de K (B ( X ), S ( X )) (funções de embreagem) e os símbolos de operadores elípticos pseudodiferenciais.
Os operadores pseudodiferenciais têm uma ordem, que pode ser qualquer número real ou mesmo −∞, e têm símbolos (que não são mais polinômios no espaço cotangente), e os operadores diferenciais elípticos são aqueles cujos símbolos são invertíveis para vetores cotangentes suficientemente grandes. A maioria das versões do teorema do índice pode ser estendida de operadores elípticos diferenciais para operadores elípticos pseudodiferenciais.
Cobordismo
A prova inicial foi baseada no teorema de Hirzebruch – Riemann – Roch (1954), e envolveu a teoria do cobordismo e operadores pseudodiferenciais .
A ideia desta primeira prova é aproximadamente a seguinte. Considere o anel gerado por pares ( X , V ), onde V é um pacote vetorial liso na variedade orientada lisa compacta X , com relações que a soma e o produto do anel nesses geradores são dados por união disjunta e produto de variedades (com as operações óbvias nos pacotes vetoriais), e qualquer limite de uma variedade com pacote vetorial é 0. Isso é semelhante ao anel de cobordismo de variedades orientadas, exceto que as variedades também têm um pacote vetorial. Os índices topológicos e analíticos são ambos reinterpretados como funções desse anel para os inteiros. Em seguida, verifica-se se essas duas funções são, de fato, ambas homomorfismos de anel. Para provar que são iguais, basta então verificar se são iguais num conjunto de geradores deste anel. A teoria do cobordismo de Thom fornece um conjunto de geradores; por exemplo, espaços vetoriais complexos com o pacote trivial junto com certos pacotes em esferas dimensionais pares. Portanto, o teorema do índice pode ser provado verificando-o nesses casos particularmente simples.
Teoria K
A primeira prova publicada de Atiyah e Singer usou a teoria K em vez do cobordismo. Se i for qualquer inclusão de variedades compactas de X a Y , eles definiram uma operação 'pushforward' i ! em operadores elípticos de X para operadores elípticos de Y que preservam o índice. Ao considerar Y como uma esfera na qual X se incorpora, isso reduz o teorema do índice ao caso das esferas. Se Y é uma esfera e X é algum ponto embutido em Y , então qualquer operador elíptico em Y é a imagem sob i ! de algum operador elíptico no ponto. Isso reduz o teorema do índice ao caso de um ponto, onde é trivial.
Equação de calor
Atiyah, Bott e Patodi ( 1973 ) deram uma nova prova do teorema do índice usando a equação do calor , ver, por exemplo , Berline, Getzler & Vergne (1992) . A prova também foi publicada em ( Melrose 1993 ) e ( Gilkey 1994 ).
Se D for um operador diferencial com D * adjunto , então D * D e DD * são operadores autoadjuntos cujos autovalores diferentes de zero têm as mesmas multiplicidades. No entanto, seus autoespaços zero podem ter multiplicidades diferentes, pois essas multiplicidades são as dimensões dos núcleos de D e D * . Portanto, o índice de D é dado por
para qualquer t positivo . O lado direito é dado pelo traço da diferença dos grãos de dois operadores térmicos. Eles têm uma expansão assintótica para t positivo pequeno , que pode ser usado para avaliar o limite quando t tende a 0, dando uma prova do teorema do índice de Atiyah-Singer. As expansões assintóticas para t pequeno parecem muito complicadas, mas a teoria invariante mostra que há enormes cancelamentos entre os termos, o que torna possível encontrar os termos principais explicitamente. Esses cancelamentos foram explicados posteriormente usando supersimetria.
Citações
Referências
Os artigos de Atiyah são reimpressos nos volumes 3 e 4 de suas obras coletadas, (Atiyah 1988a , 1988b )
- Atiyah, MF (1970), "Global Theory of Elliptic Operators", Proc. Int. Conf. on Functional Analysis and Related Topics (Tóquio, 1969) , University of Tokio, Zbl 0193.43601
- Atiyah, MF (1976), "Operadores elípticos, grupos discretos e álgebras de von Neumann", Colloque "Analyze et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) , Asterisque, 32-33, Soc. Matemática. França, Paris, pp. 43-72, MR 0420729
- Atiyah, MF ; Segal, GB (1968), "The Index of Elliptic Operators: II", Annals of Mathematics , Second Series, 87 (3): 531-545, doi : 10.2307 / 1970716 , JSTOR 1970716 Isso reformula o resultado como uma espécie de teorema de ponto fixo de Lefschetz, usando a teoria K equivariante.
- Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1963), "The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds", Bull. Amer. Matemática. Soc. , 69 (3): 422–433, doi : 10.1090 / S0002-9904-1963-10957-X Um anúncio do teorema do índice.
- Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1968a), "The Index of Elliptic Operators I", Annals of Mathematics , 87 (3): 484-530, doi : 10.2307 / 1970715 , JSTOR 1970715 Isso fornece uma prova usando a teoria K em vez da cohomologia.
- Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1968b), "The Index of Elliptic Operators III", Annals of Mathematics , Second Series, 87 (3): 546–604, doi : 10.2307 / 1970717 , JSTOR 1970717 Este artigo mostra como converter da versão da teoria K para uma versão usando cohomologia.
- Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1971a), "The Index of Elliptic Operators IV", Annals of Mathematics , Second Series, 93 (1): 119-138, doi : 10.2307 / 1970756 , JSTOR 1970756 Este artigo estuda famílias de operadores elípticos, onde o índice é agora um elemento da teoria K do espaço parametrizando a família.
- Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1971b), "The Index of Elliptic Operators V", Annals of Mathematics , Second Series, 93 (1): 139-149, doi : 10.2307 / 1970757 , JSTOR 1970757. Isso estuda famílias de operadores elípticos reais (em vez de complexos), quando às vezes é possível extrair um pouco de informação extra.
- Atiyah, MF ; Bott, R. (1966), "A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators", Bull. Sou. Matemática. Soc. , 72 (2): 245–50, doi : 10.1090 / S0002-9904-1966-11483-0. Este afirma um teorema que calcula o número de Lefschetz de um endomorfismo de um complexo elíptico.
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links externos
Links sobre a teoria
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Links de entrevistas
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- RR Seeley e outros (1999) Lembranças dos primeiros dias da teoria do índice e operadores pseudo-diferenciais - Uma transcrição parcial de uma conversa informal pós-jantar durante um simpósio realizado em Roskilde, Dinamarca, em setembro de 1998.