Cálculo icósico - Icosian calculus

O cálculo icosiano é uma estrutura algébrica não comutativa descoberta pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton em 1856. Em termos modernos, ele fez uma apresentação de grupo do grupo de rotação icosaédrica por geradores e relações.

A descoberta de Hamilton derivou de suas tentativas de encontrar uma álgebra de "trigêmeos" ou três tuplas que ele acreditava refletir os três eixos cartesianos . Os símbolos do cálculo icosiano podem ser comparados a movimentos entre vértices em um dodecaedro . O trabalho de Hamilton nesta área resultou indiretamente nos termos circuito hamiltoniano e caminho hamiltoniano na teoria dos grafos. Ele também inventou o jogo icosian como forma de ilustrar e popularizar sua descoberta.

Definição informal

Projeção estereográfica do dodecaedro usado para o jogo icosiano de Hamilton

A álgebra é baseada em três símbolos que são raízes da unidade , em que a aplicação repetida de qualquer um deles produz o valor 1 após um determinado número de etapas. Eles são:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ iota ^ {2} & = 1, \\\ kappa ^ {3} & = 1, \\\ lambda ^ {5} & = 1. \ end {alinhado}}}

Hamilton também fornece uma outra relação entre os símbolos:

{\ displaystyle \ lambda = \ iota \ kappa.}

(Em termos modernos, este é o grupo de triângulos (2,3,5) .)

A operação é associativa, mas não comutativa . Eles geram um grupo de ordem 60, isomorfo ao grupo de rotações de um icosaedro regular ou dodecaedro e, portanto, ao grupo alternado de grau cinco.

Embora a álgebra exista como uma construção puramente abstrata, ela pode ser mais facilmente visualizada em termos de operações nas arestas e vértices de um dodecaedro. O próprio Hamilton usou um dodecaedro achatado como base para seu jogo de instrução.

Imagine um inseto rastejando ao longo de uma determinada borda do dodecaedro rotulado de Hamilton em uma determinada direção, digamos de para . Podemos representar essa borda direcionada por . ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle BC}$

Ilustração geométrica da operação iota no cálculo icosiano

O símbolo icosiano equivale à mudança de direção em qualquer borda, então o inseto rasteja de para (seguindo a borda direcionada ). ${\ displaystyle \ iota}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle CB}$
O símbolo icosiano equivale a girar a viagem atual do inseto no sentido anti-horário em torno do ponto final. Em nosso exemplo, isso significaria mudar a direção inicial para se tornar . ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle BC}$ ${\ displaystyle DC}$
O símbolo icosiano equivale a fazer uma curva à direita no ponto final, movendo-se de para . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle BC}$ ${\ displaystyle CD}$