Setor hiperbólico - Hyperbolic sector
Um setor hiperbólico é uma região do plano cartesiano {( x , y )} limitada por raios da origem a dois pontos ( a , 1 / a ) e ( b , 1 / b ) e pela hipérbole retangular xy = 1 ( ou a região correspondente quando esta hipérbole é reescalonada e sua orientação é alterada por uma rotação que deixa o centro na origem, como na hipérbole unitária ). Um setor hiperbólico na posição padrão tem a = 1 e b > 1 .
Os setores hiperbólicos são a base das funções hiperbólicas .
Área
A área de um setor hiperbólico na posição padrão é o logaritmo natural de b .
Prova: integre em 1 / x de 1 a b , adicione o triângulo {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} e subtraia o triângulo {(0, 0), ( b , 0), ( b , 1 / b )}.
Quando na posição padrão, um setor hiperbólico corresponde a um ângulo hiperbólico positivo na origem, sendo a medida deste último definida como a área do primeiro.
Triângulo hiperbólico
Quando na posição padrão, um setor hiperbólico determina um triângulo hiperbólico , o triângulo retângulo com um vértice na origem, com base no raio diagonal y = xe o terceiro vértice na hipérbole
com a hipotenusa sendo o segmento da origem ao ponto ( x, y ) na hipérbole. O comprimento da base deste triângulo é
e a altitude é
onde u é o ângulo hiperbólico apropriado .
A analogia entre as funções circulares e hiperbólicas foi descrita por Augustus De Morgan em seu Trigonometry and Double Algebra (1849). William Burnside usou tais triângulos, projetando-se de um ponto na hipérbole xy = 1 na diagonal principal, em seu artigo "Nota sobre o teorema de adição para funções hiperbólicas".
Logaritmo hiperbólico
Estudantes de cálculo integral sabem que f ( x ) = x p tem uma antiderivada algébrica, exceto no caso de p = –1 correspondente à quadratura da hipérbole. Os outros casos são dados pela fórmula da quadratura de Cavalieri . Enquanto a quadratura da parábola havia sido realizada por Arquimedes no século III aC (em A quadratura da parábola ), a quadratura hiperbólica exigiu a invenção em 1647 de uma nova função: Gregoire de Saint-Vincent abordou o problema de calcular as áreas delimitadas por uma hipérbole. Suas descobertas levaram à função do logaritmo natural, antes chamada de logaritmo hiperbólico , uma vez que é obtida pela integração, ou localização da área, sob a hipérbole.
Antes de 1748 e da publicação da Introdução à Análise do Infinito , o logaritmo natural era conhecido em termos da área de um setor hiperbólico. Leonhard Euler mudou isso quando introduziu funções transcendentais como 10x . Euler identificou e como o valor de b produzindo uma unidade de área (sob a hipérbole ou em um setor hiperbólico na posição padrão). Então, o logaritmo natural pode ser reconhecido como a função inversa da função transcendental e x .
Geometria hiperbólica
Quando Felix Klein escreveu seu livro sobre geometria não euclidiana em 1928, ele forneceu uma base para o assunto por referência à geometria projetiva . Para estabelecer a medida hiperbólica em uma linha, ele observou que a área de um setor hiperbólico fornecia uma ilustração visual do conceito.
Os setores hiperbólicos também podem ser atraídos para a hipérbole . A área de tais setores hiperbólicos foi usada para definir a distância hiperbólica em um livro de geometria.
