Princípio máximo de Hausdorff - Hausdorff maximal principle

Em matemática , o princípio máximo de Hausdorff é uma formulação alternativa e anterior do lema de Zorn provado por Felix Hausdorff em 1914 (Moore 1982: 168). Ele afirma que, em qualquer conjunto parcialmente ordenado , todo subconjunto totalmente ordenado está contido em um subconjunto totalmente ordenado máximo.

O princípio máximo de Hausdorff é uma das muitas afirmações equivalentes ao axioma da escolha sobre ZF ( teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel sem o axioma da escolha). O princípio também é chamado de teorema da maximalidade de Hausdorff ou lema de Kuratowski (Kelley 1955: 33).

Demonstração

O princípio maximal de Hausdorff afirma que, em qualquer conjunto parcialmente ordenado , todo subconjunto totalmente ordenado está contido em um subconjunto totalmente ordenado máximo (um subconjunto totalmente ordenado que, se ampliado de alguma forma, não permanece totalmente ordenado). Em geral, pode haver muitos subconjuntos maximais totalmente ordenados contendo um dado subconjunto totalmente ordenado.

Uma forma equivalente do princípio máximo de Hausdorff é que em cada conjunto parcialmente ordenado existe um subconjunto máximo totalmente ordenado. Para provar que essa declaração segue da forma original, seja A um conjunto parcialmente ordenado. Então é um subconjunto totalmente ordenado de A , portanto, existe um subconjunto totalmente ordenado máximo contendo , portanto, em particular, A contém um subconjunto totalmente ordenado máximo. Para o sentido inverso, deixar Um ser um conjunto parcialmente ordenada e t um subconjunto totalmente ordenado de um . Então

é parcialmente ordenado por inclusão de conjunto , portanto, contém um subconjunto P máximo totalmente ordenado . Então, o conjunto satisfaz as propriedades desejadas.

A prova de que o princípio máximo de Hausdorff é equivalente ao lema de Zorn é muito semelhante a esta prova.

Exemplos

EXEMPLO 1. Se A é qualquer colecção de conjuntos, a relação "é um subconjunto apropriado de" é uma ordem estrita parcial em A . Suponha que A seja a coleção de todas as regiões circulares (interiores dos círculos) no plano. Uma subcoleção máxima totalmente ordenada de A consiste em todas as regiões circulares com centros na origem. Outra subcoleção máxima totalmente ordenada consiste em todas as regiões circulares delimitadas por círculos tangentes da direita ao eixo y na origem.

EXEMPLO 2. Se (x 0 , y 0 ) e (x 1 , y 1 ) são dois pontos do plano ℝ 2 , defina (x 0 , y 0 ) <(x 1 , y 1 )

se y 0 = y 1 e x 0 <x 1 . Esta é uma ordenação parcial de ℝ 2 sob a qual dois pontos são comparáveis ​​apenas se estiverem na mesma linha horizontal. Os conjuntos máximos totalmente ordenados são linhas horizontais em ℝ 2 .

Referências

  • John Kelley (1955), Topologia geral , Von Nostrand.
  • Gregory Moore (1982), axioma de escolha de Zermelo , Springer.
  • James Munkres (2000), Topology , Pearson.