Estrutura do grupo e o axioma da escolha - Group structure and the axiom of choice

Ernst Zermelo em 1904 provou o teorema da ordenação usando o que viria a ser conhecido como o axioma da escolha .

Em matemática, um grupo é um conjunto junto com uma operação binária no conjunto chamada multiplicação que obedece aos axiomas do grupo . O axioma de escolha é um axioma da teoria dos conjuntos ZFC , que de uma forma afirma que cada conjunto pode ser bem ordenado .

Na teoria dos conjuntos ZF , ou seja, ZFC sem o axioma de escolha, as seguintes afirmações são equivalentes:

Para cada conjunto não vazio $X$ existe uma operação binária $•$ tal que $(X, •)$ é um grupo.
O axioma da escolha é verdadeiro.

Uma estrutura de grupo implica o axioma da escolha

Nesta seção, assume-se que todo conjunto $X$ pode ser dotado de uma estrutura de grupo $(X, •)$ .

Seja $X$ um conjunto. Deixe $ℵ (X)$ ser o número de hartogs de $X$ . Este é o mínimo número cardinal de tal modo que não há nenhuma injecção de $ℵ (X)$ em $X$ . Ele existe sem o pressuposto do axioma da escolha. Suponha aqui, para simplicidade técnica da prova, que $X$ não tem ordinal . Seja $• a$ multiplicação no grupo $(X \cup ℵ (X), •)$ .

Para qualquer $x \in X$ existe um $α \in ℵ (X)$ tal que $x • α \in ℵ (X)$ . Suponha que não. Então existe um $y \in X$ tal que $y • α \in X$ para todo $α \in ℵ (X)$ . Mas, pela teoria elementar dos grupos , os $y • α$ são todos diferentes, pois α varia em $ℵ (X)$ ( i ). Assim, um tal $y$ dá uma injecção de $ℵ (X)$ em $X$ . Esta é impossível desde $ℵ (X)$ é um cardinal de tal modo que nenhuma injecção em $X$ existe.

Agora defina um mapa $j$ de $X$ em $ℵ (X) \times ℵ (X)$ dotado de ordenação lexicográfica enviando $x \in X$ para o mínimo $(α, β) \in ℵ (X) \times ℵ (X)$ tal que $x • α = β$ . Pelo raciocínio acima, o mapa $j$ existe e é único, uma vez que menos elementos de subconjuntos de conjuntos bem ordenados são únicos. É, pela teoria elementar do grupo, injetivo.

Finalmente, defina uma ordenação em $X$ por $x < y$ se $j (x) < j (y)$ . Segue-se que todo conjunto $X$ pode ser bem ordenado e, portanto, o axioma da escolha é verdadeiro.

Para que a propriedade crucial expressa em ( i ) acima seja válida e, portanto, toda a prova, é suficiente que $X$ seja um magma cancelativo , por exemplo, um quase-grupo . A propriedade de cancelamento é suficiente para garantir que $y • α$ sejam todos diferentes.

O axioma da escolha implica uma estrutura de grupo

Qualquer conjunto finito não vazio possui uma estrutura de grupo como um grupo cíclico gerado por qualquer elemento. Partindo do pressuposto do axioma da escolha, todo conjunto infinito $X$ é equipotente com um número cardinal único | $X$ | que é igual a um aleph . Usando o axioma de escolha, pode-se mostrar que para qualquer família $S$ de conjuntos $| ⋃ S | \leq | S | \times sup {| s | : s \in S}$ ( A ). Além disso, pelo teorema de Tarski sobre a escolha , outro equivalente do axioma da escolha, $| X | n = | X |$ para todo $n$ finito ( B ).

Deixe $X$ ser um conjunto infinito e deixe $F$ denotar o conjunto de todos os subconjuntos finitos de $X$ . Há uma multiplicação naturais $•$ on $F$ . Para $f, g \in F$ , seja $f • g = f Δ g$ , onde $Δ$ denota a diferença simétrica . Isso transforma $(F, •)$ em um grupo com o conjunto vazio, $Ø$ , sendo a identidade e cada elemento sendo seu próprio inverso; $f Δ f = Ø$ . A propriedade associativa , isto é $(f Δ g) Δ h = f Δ (g Δ h)$ é verificada usando propriedades básicas de união e diferença de conjunto . Assim, $F$ é um grupo com multiplicação $Δ$ .

Qualquer conjunto que pode ser colocado em bijeção com um grupo torna-se um grupo por meio da bijeção. Será mostrado que $| X | = | F |$ e, portanto $,$ existe uma correspondência um a um entre $X$ e o grupo $(F, •)$ . Para $n = 0,1,2, ...$ , seja $F n$ o subconjunto de $F$ consistindo em todos os subconjuntos de cardinalidade exatamente $n$ . Então $F$ é a união disjunta de $F n$ . O número de subconjuntos de $X$ de cardinalidade $n$ é no máximo $| X | n$ porque cada subconjunto com $n$ elementos é um elemento do $n$ vezes de produto cartesiano $X N$ de $X$ . Então $| F n | \leq | X | n = | X |$ para todo $n$ ( C ) por ( B ).

Colocando esses resultados juntos, percebe-se que $| F | = | ⋃ n \in ω F n | \leq ℵ 0 \cdot | X | = | X |$ por ( A ) e ( C ). Além disso, $| F | \geq | X |$ , uma vez que $F$ contém todos os singletons. Portanto, $| X | \leq | F |$ e $| F | \leq | X |$ , então, pelo teorema de Schröder – Bernstein , $| F | = | X |$ . Este meio precisamente que existe uma bijeç~ao $j$ entre $X$ e $M$ . Finalmente, para $x, y \in X$ defina $x • y = j -1 (j (x) Δ j (y))$ . Isso transforma $(X, •)$ em um grupo. Portanto, todo conjunto admite uma estrutura de grupo.

Um conjunto ZF sem estrutura de grupo

Existem modelos de ZF nos quais o axioma da escolha falha. Nesse modelo, existem conjuntos que não podem ser bem ordenados (chame esses conjuntos de "não ordenáveis"). Seja $X$ qualquer um desses conjuntos. Agora considere o conjunto $Y = X \cup ℵ (X)$ . Se $Y$ tivesse uma estrutura de grupo, então, pela construção na primeira seção, $X$ pode ser bem ordenado. Esta contradição mostra que não há nenhuma estrutura de grupo em conjunto $Y$ .

Se um conjunto é tal que não pode ser dotado de uma estrutura de grupo, ele é necessariamente não ordenável. Caso contrário, a construção na segunda seção produz uma estrutura de grupo. No entanto, essas propriedades não são equivalentes. Nomeadamente, é possível que conjuntos que não podem ser bem ordenados tenham uma estrutura de grupo.

Por exemplo, se for qualquer conjunto, então terá uma estrutura de grupo, com diferença simétrica como a operação de grupo. Claro, se não pode ser bem ordenado, então também não pode . Um exemplo interessante de conjuntos que não podem carregar uma estrutura de grupo são os conjuntos com as duas propriedades a seguir: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X}$ é um conjunto infinito finito de Dedekind . Em outras palavras, não tem subconjunto infinito contável. ${\ displaystyle X}$
Se for particionado em conjuntos finitos, então todos, exceto finitamente muitos deles, são singletons. ${\ displaystyle X}$

Para ver que a combinação desses dois não pode admitir uma estrutura de grupo, observe que dada qualquer permutação de tal conjunto deve ter apenas órbitas finitas, e quase todas elas são necessariamente singletons, o que implica que a maioria dos elementos não são movidos pela permutação. Agora considere as permutações dadas por , para as quais não é o elemento neutro, existem infinitas tais que , então pelo menos uma delas também não é o elemento neutro. Multiplicar por dá esse é de fato o elemento de identidade, o que é uma contradição. ${\ displaystyle x \ mapsto a \ cdot x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a \ cdot x = x}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle a}$

A existência de tal conjunto é consistente, por exemplo dado no primeiro modelo de Cohen. Surpreendentemente, no entanto, ser um conjunto finito de Dedekind infinito não é suficiente para descartar uma estrutura de grupo, pois é consistente que existem conjuntos finitos de Dedekind infinitos com conjuntos de poder finitos de Dedekind. ${\ displaystyle X}$

Notas

Referências

Hajnal, A .; Kertész, A. (1972). "Alguns novos equivalentes algébricos do axioma da escolha". Publ. Matemática. Debrecen . 19 : 339–340.
Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (julho de 1985). Equivalentes do Axioma da Escolha II . North Holland / Elsevier. ISBN 0-444-87708-8 .
Jech, Thomas (2002). Teoria dos conjuntos, terceira edição do milênio (revisada e ampliada) . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
Cohen, Paul J. (1966). Teoria dos conjuntos e a hipótese do Continuum . Benjamin, Nova York.
Adkins; Weintraub (1992). Álgebra . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 136 . Springer.

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