Universo Grothendieck - Grothendieck universe

Em matemática , um universo de Grothendieck é um conjunto U com as seguintes propriedades:

1. Se X é um elemento de L e, se y é um elemento de X , então Y também é um elemento de L . ( U é um conjunto transitivo ).
2. Se X e Y são ambos os elementos de L , em seguida, é um elemento de L .${\ displaystyle \ {x, y \}}$
3. Se X é um elemento de U , então P ( x ), o conjunto de alimentação de x , é também um elemento de L .
4. Se é uma família de elementos de U , e se I é um elemento de L , então a união é um elemento de U .${\ displaystyle \ {x _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in I}}$${\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in I} x _ {\ alpha}}$

Um universo de Grothendieck se destina a fornecer um conjunto no qual toda a matemática pode ser executada. (Na verdade, incontáveis ​​universos de Grothendieck fornecem modelos de teoria dos conjuntos com a relação ∈ natural, operação de conjunto de poderes natural etc.). Os elementos de um universo Grothendieck às vezes são chamados de pequenos conjuntos . A idéia de universos é devido a Alexander Grothendieck , que os usavam como uma forma de evitar classes próprias em geometria algébrica .

A existência de um universo de Grothendieck não trivial vai além dos axiomas usuais da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel ; em particular, implicaria na existência de cardeais fortemente inacessíveis . A teoria dos conjuntos de Tarski-Grothendieck é um tratamento axiomático da teoria dos conjuntos, usado em alguns sistemas de prova automática, em que cada conjunto pertence a um universo de Grothendieck. O conceito de um universo Grothendieck também pode ser definido em um topos .

Propriedades

Como exemplo, provaremos uma proposição fácil.

Proposição . Se e , então .${\ displaystyle x \ in U}$${\ displaystyle y \ subseteq x}$${\ displaystyle y \ in U}$

Prova. porque . porque , então .${\ displaystyle y \ in P (x)}$${\ displaystyle y \ subseteq x}$${\ displaystyle P (x) \ in U}$${\ displaystyle x \ in U}$${\ displaystyle y \ in U}$

É igualmente fácil provar que qualquer universo de Grothendieck U contém:

• Todos os singletons de cada um de seus elementos,
• Todos os produtos de todas as famílias de elementos de U indexados por um elemento de U ,
• Todas as uniões disjuntas de todas as famílias de elementos de U indexados por um elemento de U ,
• Todas as interseções de todas as famílias de elementos de U indexados por um elemento de U ,
• Todas as funções entre quaisquer dois elementos de U , e
• Todos os subconjuntos de U cuja cardeal é um elemento de U .

Em particular, segue do último axioma que se U não for vazio, ele deve conter todos os seus subconjuntos finitos e um subconjunto de cada cardinalidade finita. Também se pode provar imediatamente a partir das definições que a interseção de qualquer classe de universos é um universo.

Universos de Grothendieck e cardeais inacessíveis

Existem dois exemplos simples de universos Grothendieck:

• O conjunto vazio, e
• O conjunto de todos os conjuntos hereditariamente finitos .${\ displaystyle V _ {\ omega}}$

Outros exemplos são mais difíceis de construir. Em termos gerais, isso ocorre porque os universos de Grothendieck são equivalentes a cardeais fortemente inacessíveis . Mais formalmente, os dois axiomas a seguir são equivalentes:

(L) Para cada conjunto X , existe uma Grothendieck universo L de tal modo que x ∈ L .

(C) Para cada cardinal κ, existe um cardinal fortemente inacessível λ que é estritamente maior que κ.

Para provar esse fato, introduzimos a função c ( U ). Definir:

${\ displaystyle \ mathbf {c} (U) = \ sup _ {x \ in U} | x |}$

por onde | x | queremos dizer a cardinalidade de x . Então, para qualquer universo U , c ( U ) é zero ou fortemente inacessível. Assumindo que é diferente de zero, que é um forte cardinal limite, porque o conjunto de alimentação de qualquer elemento de L é um elemento de L e cada elemento de U é um subconjunto de L . Para ver que é regular, suponha que c _λ é uma coleção de cardinais indexados por I , onde a cardinalidade de I e de cada c _λ é menor que c ( U ). Em seguida, pela definição de C ( L ), I e cada c _λ pode ser substituída por um elemento de L . A união de elementos de U indexados por um elemento de U é um elemento de U , então a soma de c _λ tem a cardinalidade de um elemento de U , portanto, é menor que c ( U ). Invocando o axioma da fundação, de que nenhum conjunto está contido em si mesmo, pode-se mostrar que c ( U ) é igual a | U |; quando o axioma da fundação não é assumido, existem contra-exemplos (podemos tomar por exemplo U como o conjunto de todos os conjuntos finitos de conjuntos finitos etc. dos conjuntos x _α onde o índice α é qualquer número real, e x _α = { x _α } para cada α . Então U tem a cardinalidade do continuum, mas todos os seus membros têm cardinalidade finita e, portanto  ; veja o artigo de Bourbaki para mais detalhes). ${\ displaystyle \ mathbf {c} (U) = \ aleph _ {0}}$

Seja κ um cardeal fortemente inacessível. Digamos que um conjunto S seja estritamente do tipo κ se para qualquer sequência s _n ∈ ... ∈ s ₀ ∈ S , | s _n | < κ . ( O próprio S corresponde à sequência vazia.) Então o conjunto u ( κ ) de todos os conjuntos estritamente do tipo κ é um universo de Grothendieck de cardinalidade κ. A prova desse fato é longa, portanto, para mais detalhes, nos referimos novamente ao artigo de Bourbaki, listado nas referências.

Para mostrar que o grande axioma cardinal (C) implica o axioma do universo (U), escolha um conjunto x . Seja x ₀ = x , e para cada n , seja x _{n +1} = x _n a união dos elementos de x _n . Seja y = x _n . Por (C), existe um cardeal fortemente inacessível κ tal que | y | <κ. Seja u ( κ ) o universo do parágrafo anterior. x é estritamente do tipo κ, então x ∈ u ( κ ). Para mostrar que o axioma do universo (U) implica o grande axioma cardinal (C), escolha um cardinal κ. κ é um conjunto, por isso é um elemento de um Grothendieck universo U . A cardinalidade de U é fortemente inacessível e estritamente maior do que a de κ. ${\ displaystyle \ bigcup}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {n}}$

Na verdade, qualquer universo de Grothendieck tem a forma u ( κ ) para algum κ. Isso dá outra forma de equivalência entre universos de Grothendieck e cardeais fortemente inacessíveis:

Para qualquer universo Grothendieck U , | U | é zero, ou um cardeal fortemente inacessível. E se κ for zero, ou um cardeal fortemente inacessível, então existe um universo de Grothendieck u (κ). Além disso, u (| U |) = U , e | u ( κ ) | = κ .${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Uma vez que a existência de cardeais fortemente inacessíveis não pode ser provada a partir dos axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZFC), a existência de outros universos além do conjunto vazio e não pode ser provada a partir de ZFC. No entanto, cardeais fortemente inacessíveis estão na extremidade inferior da lista de cardeais grandes ; assim, a maioria das teorias de conjuntos que usam cardeais grandes (como "ZFC mais há um cardeal mensurável ", "ZFC mais há infinitos cardeais de Woodin ") provarão que os universos de Grothendieck existem. ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$

Veja também

• Universo construtível
• Universo (matemática)
• Universo Von Neumann

Notas

Referências

• Bourbaki, Nicolas (1972). "Univers" . Em Michael Artin ; Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Notas de aula em matemática 269 ) (em francês). Berlim; Nova York: Springer-Verlag . pp. 185–217.