Em matemática , meios generalizadas (ou de potência média ou Hölder significativo de Otto Hölder ) são uma família de funções de agregação de conjuntos de números. Estes incluem como casos especiais os meios de Pitágoras ( aritméticos , geométrico e harmónicas meio ).
Definição
Se p é um número real diferente de zero e são números reais positivos, então a média generalizada ou média de potência com expoente p desses números reais positivos é:
(Consulte a norma p ). Para p = 0, nós o definimos igual à média geométrica (que é o limite das médias com expoentes se aproximando de zero, conforme demonstrado abaixo):
Além disso, para uma sequência de pesos positivos w i com soma , definimos a média de potência ponderada como:
As médias não ponderadas correspondem a definir todos w i = 1 / n .
Casos especiais
Uma representação visual de alguns dos casos especificados para
n = 2 com
a = x 1 = M ∞ e
b = x 2 = M −∞ :
média harmônica, H = M −1 ( a , b ) ,
média geométrica, G = M 0 ( a , b )
média aritmética, A = M 1 ( a , b )
média quadrática, Q = H 2 ( um , b )
Alguns valores particulares de p rendem casos especiais com seus próprios nomes:
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mínimo
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média harmônica
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média geométrica
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média aritmética
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raiz quadrada média ou média quadrática
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média cúbica
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máximo
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Prova de (média geométrica) Podemos reescrever a definição de M p usando a função exponencial
No limite p → 0 , podemos aplicar a regra de L'Hôpital ao argumento da função exponencial. Diferenciando o numerador e o denominador em relação a p , temos
Pela continuidade da função exponencial, podemos substituir de volta na relação acima para obter
como desejado.
Prova de e -
Suponha (possivelmente depois de renomear e combinar os termos) que . Então
A fórmula para segue de
Propriedades
Seja uma sequência de números reais positivos, as seguintes propriedades são válidas:
-
.
Cada média generalizada sempre está entre o menor e o maior dos valores x .
-
, onde é um operador de permutação.
Cada média generalizada é uma função simétrica de seus argumentos; permutar os argumentos de uma média generalizada não muda seu valor.
-
.
Como a maioria dos
meios , a média generalizada é uma
função homogênea de seus argumentos
x 1 , ..., x n . Ou seja, se
b é um número real positivo, então a média generalizada com expoente
p dos números é igual
ab vezes a média generalizada dos números x 1 , ..., x n .
-
.
Desigualdade média generalizada
Em geral, se p < q , então
e as duas médias são iguais se e somente se x 1 = x 2 = ... = x n .
A desigualdade é verdade para valores reais de p e q , bem como valores infinito positivo e negativo.
Decorre do fato de que, para todo p real ,
o que pode ser provado usando a desigualdade de Jensen .
Em particular, para p em {−1, 0, 1} , a desigualdade média generalizada implica a desigualdade de significa pitagórica, bem como a desigualdade de médias aritméticas e geométricas .
Prova de poder significa desigualdade
Provaremos que o poder ponderado significa desigualdade, para efeito da prova assumiremos o seguinte sem perda de generalidade:
A prova para médias de potência não ponderadas é facilmente obtida substituindo w i = 1 / n .
Equivalência de desigualdades entre meios de sinais opostos
Suponha que uma média entre médias de potência com expoentes p e q seja válida:
aplicando isso, então:
Elevamos ambos os lados à potência de -1 (função estritamente decrescente em reais positivos):
Obtemos a desigualdade para médias com expoentes −p e −q , e podemos usar o mesmo raciocínio ao contrário, provando assim que as desigualdades são equivalentes, o que será usado em algumas das provas posteriores.
Média geométrica
Para qualquer q > 0 e pesos não negativos somando 1, a seguinte desigualdade é válida:
A prova segue da desigualdade de Jensen, valendo- se do fato do logaritmo ser côncavo:
Ao aplicar a função exponencial a ambos os lados e observar que, como uma função estritamente crescente, ela preserva o sinal da desigualdade, obtemos
Tomando q ésimas potências de x i , terminamos para a desigualdade com q positivo ; o caso dos negativos é idêntico.
Desigualdade entre quaisquer dois meios de poder
Devemos provar que, para qualquer p < q, a seguinte desigualdade é válida:
se p for negativo eq for positivo, a desigualdade é equivalente à provada acima:
A prova para p e q positivos é a seguinte: Defina a seguinte função: f : R + → R + . f é uma função de potência, portanto, tem uma segunda derivada:
que é estritamente positivo dentro do domínio de f , uma vez que q > p , então sabemos que f é convexo.
Usando isso, e a desigualdade de Jensen, obtemos:
depois de elevar ambos os lados à potência de 1 / q (uma função crescente, uma vez que 1 / q é positivo), obtemos a desigualdade que deveria ser provada:
Usando a equivalência mostrada anteriormente, podemos provar a desigualdade para p e q negativos substituindo-os por −q e −p , respectivamente.
Generalized f -mean
A média de potência pode ser generalizada ainda mais para a f- média generalizada :
Isso cobre a média geométrica sem usar um limite com f ( x ) = log ( x ) . A média da potência é obtida para f ( x ) = x p .
Formulários
Processamento de sinal
Uma média de potência serve a uma média móvel não linear que é deslocada para valores de sinal pequenos para p pequeno e enfatiza valores de sinal grandes para p grande . Dada uma implementação eficiente de uma média aritmética móvel chamada, smooth
pode-se implementar uma média de potência móvel de acordo com o seguinte código Haskell .
powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)
Veja também
Notas
-
^ a b
Sýkora, Stanislav (2009). Médias e médias matemáticas: propriedades básicas . 3 . Biblioteca de Stan: Castano Primo, Itália. doi : 10.3247 / SL3Math09.001 .
-
^ a b P. S. Bullen: Manual dos meios e de suas desigualdades . Dordrecht, Holanda: Kluwer, 2003, pp. 175-177
-
^ Weisstein, Eric W. "Power Mean" . MathWorld . (recuperado em 17/08/2019)
-
^ Thompson, Sylvanus P. (1965). Cálculo fácil . Macmillan International Higher Education. p. 185. ISBN 9781349004874. Página visitada em 5 de julho de 2020 .
-
^ Jones, Alan R. (2018). Probabilidade, estatística e outras coisas assustadoras . Routledge. p. 48. ISBN 9781351661386. Página visitada em 5 de julho de 2020 .
-
^ Se AC = a e BC = b . OC = AM de um e b , e raio r = QO = OG.
Usando o teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Usando o teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
Usando triângulos semelhantes ,
HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC= HM .
Referências e leituras adicionais
- PS Bullen: Manual de meios e suas desigualdades . Dordrecht, Holanda: Kluwer, 2003, capítulo III (The Power Means), pp. 175-265
links externos