Média generalizada - Generalized mean

Em matemática , meios generalizadas (ou de potência média ou Hölder significativo de Otto Hölder ) são uma família de funções de agregação de conjuntos de números. Estes incluem como casos especiais os meios de Pitágoras ( aritméticos , geométrico e harmónicas meio ).

Definição

Se p é um número real diferente de zero e são números reais positivos, então a média generalizada ou média de potência com expoente p desses números reais positivos é:

(Consulte a norma p ). Para p = 0, nós o definimos igual à média geométrica (que é o limite das médias com expoentes se aproximando de zero, conforme demonstrado abaixo):

Além disso, para uma sequência de pesos positivos w i com soma , definimos a média de potência ponderada como:

As médias não ponderadas correspondem a definir todos w i = 1 / n .

Casos especiais

Uma representação visual de alguns dos casos especificados para n = 2 com a = x 1 = M e b = x 2 = M −∞ :
  média harmônica, H = M −1 ( a , b ) ,
  média geométrica, G = M 0 ( a , b )
  média aritmética, A = M 1 ( a , b )
  média quadrática, Q = H 2 ( um , b )

Alguns valores particulares de p rendem casos especiais com seus próprios nomes:

mínimo
média harmônica
média geométrica
média aritmética
raiz quadrada média
ou média quadrática
média cúbica
máximo

Prova de (média geométrica) Podemos reescrever a definição de M p usando a função exponencial

No limite p → 0 , podemos aplicar a regra de L'Hôpital ao argumento da função exponencial. Diferenciando o numerador e o denominador em relação a p , temos

Pela continuidade da função exponencial, podemos substituir de volta na relação acima para obter

como desejado.

Prova de e  -

Suponha (possivelmente depois de renomear e combinar os termos) que . Então

A fórmula para segue de

Propriedades

Seja uma sequência de números reais positivos, as seguintes propriedades são válidas:

  1. .
    Cada média generalizada sempre está entre o menor e o maior dos valores x .
  2. , onde é um operador de permutação.
    Cada média generalizada é uma função simétrica de seus argumentos; permutar os argumentos de uma média generalizada não muda seu valor.
  3. .
    Como a maioria dos meios , a média generalizada é uma função homogênea de seus argumentos x 1 , ..., x n . Ou seja, se b é um número real positivo, então a média generalizada com expoente p dos números é igual ab vezes a média generalizada dos números x 1 , ..., x n .
  4. .
    Como as médias quase aritméticas , o cálculo da média pode ser dividido em cálculos de sub-blocos de tamanhos iguais. Isso permite o uso de um algoritmo de divisão e conquista para calcular as médias, quando desejável.

Desigualdade média generalizada

Prova geométrica sem palavras que max  ( a , b ) > raiz quadrada média ( RMS ) ou média quadrática ( QM ) > média aritmética ( AM ) > média geométrica ( GM ) > média harmônica ( HM ) > min  ( a , b ) de dois números positivos a e b

Em geral, se p  <  q , então

e as duas médias são iguais se e somente se x 1  =  x 2  = ... =  x n .

A desigualdade é verdade para valores reais de p e q , bem como valores infinito positivo e negativo.

Decorre do fato de que, para todo p real ,

o que pode ser provado usando a desigualdade de Jensen .

Em particular, para p em {−1, 0, 1} , a desigualdade média generalizada implica a desigualdade de significa pitagórica, bem como a desigualdade de médias aritméticas e geométricas .

Prova de poder significa desigualdade

Provaremos que o poder ponderado significa desigualdade, para efeito da prova assumiremos o seguinte sem perda de generalidade:

A prova para médias de potência não ponderadas é facilmente obtida substituindo w i = 1 / n .

Equivalência de desigualdades entre meios de sinais opostos

Suponha que uma média entre médias de potência com expoentes p e q seja válida:

aplicando isso, então:

Elevamos ambos os lados à potência de -1 (função estritamente decrescente em reais positivos):

Obtemos a desigualdade para médias com expoentes −p e −q , e podemos usar o mesmo raciocínio ao contrário, provando assim que as desigualdades são equivalentes, o que será usado em algumas das provas posteriores.

Média geométrica

Para qualquer q > 0 e pesos não negativos somando 1, a seguinte desigualdade é válida:

A prova segue da desigualdade de Jensen, valendo- se do fato do logaritmo ser côncavo:

Ao aplicar a função exponencial a ambos os lados e observar que, como uma função estritamente crescente, ela preserva o sinal da desigualdade, obtemos

Tomando q ésimas potências de x i , terminamos para a desigualdade com q positivo ; o caso dos negativos é idêntico.

Desigualdade entre quaisquer dois meios de poder

Devemos provar que, para qualquer p < q, a seguinte desigualdade é válida:

se p for negativo eq for positivo, a desigualdade é equivalente à provada acima:

A prova para p e q positivos é a seguinte: Defina a seguinte função: f  : R +R + . f é uma função de potência, portanto, tem uma segunda derivada:

que é estritamente positivo dentro do domínio de f , uma vez que q > p , então sabemos que f é convexo.

Usando isso, e a desigualdade de Jensen, obtemos:

depois de elevar ambos os lados à potência de 1 / q (uma função crescente, uma vez que 1 / q é positivo), obtemos a desigualdade que deveria ser provada:

Usando a equivalência mostrada anteriormente, podemos provar a desigualdade para p e q negativos substituindo-os por −q e −p , respectivamente.

Generalized f -mean

A média de potência pode ser generalizada ainda mais para a f- média generalizada :

Isso cobre a média geométrica sem usar um limite com f ( x ) = log ( x ) . A média da potência é obtida para f ( x ) = x p .

Formulários

Processamento de sinal

Uma média de potência serve a uma média móvel não linear que é deslocada para valores de sinal pequenos para p pequeno e enfatiza valores de sinal grandes para p grande . Dada uma implementação eficiente de uma média aritmética móvel chamada, smoothpode-se implementar uma média de potência móvel de acordo com o seguinte código Haskell .

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

Veja também

Notas

  1. ^ a b Sýkora, Stanislav (2009). Médias e médias matemáticas: propriedades básicas . 3 . Biblioteca de Stan: Castano Primo, Itália. doi : 10.3247 / SL3Math09.001 .
  2. ^ a b P. S. Bullen: Manual dos meios e de suas desigualdades . Dordrecht, Holanda: Kluwer, 2003, pp. 175-177
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Power Mean" . MathWorld . (recuperado em 17/08/2019)
  4. ^ Thompson, Sylvanus P. (1965). Cálculo fácil . Macmillan International Higher Education. p. 185. ISBN 9781349004874. Página visitada em 5 de julho de 2020 .
  5. ^ Jones, Alan R. (2018). Probabilidade, estatística e outras coisas assustadoras . Routledge. p. 48. ISBN 9781351661386. Página visitada em 5 de julho de 2020 .
  6. ^ Se AC = a e BC = b . OC = AM de um e b , e raio r = QO = OG.
    Usando o teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
    Usando o teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
    Usando triângulos semelhantes , HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC= HM .

Referências e leituras adicionais

  • PS Bullen: Manual de meios e suas desigualdades . Dordrecht, Holanda: Kluwer, 2003, capítulo III (The Power Means), pp. 175-265

links externos