Período gaussiano - Gaussian period

Em matemática , na área da teoria dos números , um período gaussiano é um certo tipo de soma das raízes da unidade . Os períodos permitem cálculos explícitos em campos ciclotômicos ligados à teoria de Galois e à análise harmônica ( transformada discreta de Fourier ). Eles são básicos na teoria clássica chamada ciclotomia . Intimamente relacionada está a soma de Gauss , um tipo de soma exponencial que é uma combinação linear de períodos.

História

Como o nome sugere, os períodos foram introduzidos por Gauss e foram a base para sua teoria da construção de compasso e régua . Por exemplo, a construção do heptadecágono (uma fórmula que promoveu sua reputação) dependeu da álgebra de tais períodos, dos quais

${\ displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {17}} \ right) = \ zeta + \ zeta ^ {16} \,}$

é um exemplo envolvendo a décima sétima raiz da unidade

${\ displaystyle \ zeta = \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {17}} \ right).}$

Definição geral

Dado um número inteiro n > 1, seja H qualquer subgrupo do grupo multiplicativo

${\ displaystyle G = (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$

de resíduos invertíveis módulo n , e deixe

${\ displaystyle \ zeta = \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {n}} \ right).}$

Um período de Gauss P é a soma das primitivas n-ésima raízes de unidade , onde é executado através de todos os elementos de uma fixo coset de H em L . ${\ displaystyle \ zeta ^ {a}}$${\ displaystyle a}$

A definição de P também pode ser expressa em termos do traço de campo . Nós temos

${\ displaystyle P = \ operatorname {Tr} _ {\ mathbb {Q} (\ zeta) / L} (\ zeta ^ {j})}$

para algum subcampo L de Q (ζ) e algum coprime j para n . Isso corresponde à definição anterior, identificando G e H com os grupos de Galois de Q (ζ) / Q e Q (ζ) / L , respectivamente. A escolha de j determina a escolha do coset de H em G na definição anterior.

Exemplo

A situação é mais simples quando n é um número primo p > 2. Nesse caso G é cíclico de ordem p - 1, e tem um subgrupo H de ordem d para cada fator d de p - 1. Por exemplo, podemos tomar H do índice dois. Nesse caso, H consiste nos resíduos quadráticos módulo p . Correspondendo a este H , temos o período Gaussiano

${\ displaystyle P = \ zeta + \ zeta ^ {4} + \ zeta ^ {9} + \ cdots}$

somados em ( p - 1) / 2 resíduos quadráticos, e o outro período P * somados em ( p - 1) / 2 não resíduos quadráticos. É fácil ver que

${\ displaystyle P + P ^ {*} = - 1}$

desde o lado esquerdo adiciona todos o primitivo p raízes -ésimo de 1. Também sabemos, a partir da definição de rastreamento, que P encontra-se em uma extensão quadrática Q . Portanto, como Gauss sabia, P satisfaz uma equação quadrática com coeficientes inteiros. A avaliação do quadrado da soma P está ligada ao problema de contar quantos resíduos quadráticos entre 1 ep - 1 são sucedidos por resíduos quadráticos. A solução é elementar (como diríamos agora, ela calcula uma função zeta local , para uma curva que é uma cônica ). Um tem

( P - P *) ² = p ou - p , para p = 4 m + 1 ou 4 m + 3 respectivamente.

Isso, portanto, nos dá a informação precisa sobre qual campo quadrático está em Q (ζ). (Isso também pode ser derivado por argumentos de ramificação na teoria algébrica dos números ; consulte o campo quadrático .)

Como Gauss finalmente mostrou, para avaliar P - P *, a raiz quadrada correta a ser obtida é a positiva (resp. I vezes real positivo), nos dois casos. Assim, o valor explícito do período P é dado por

${\ displaystyle P = {\ begin {cases} {\ frac {-1 + {\ sqrt {p}}} {2}}, & {\ text {if}} p = 4m + 1, \\ [6pt] {\ frac {-1 + i {\ sqrt {p}}} {2}}, & {\ text {if}} p = 4m + 3. \ end {cases}}}$

Somas de Gauss

Como é discutido em mais detalhes abaixo, os períodos gaussianos estão intimamente relacionados a outra classe de somas de raízes de unidade, agora geralmente chamadas de somas de Gauss (às vezes somas de Gauss ). A quantidade P - P * apresentada acima é uma soma quadrática de Gauss mod p , o exemplo não trivial mais simples de uma soma de Gauss. Observa-se que P - P * também pode ser escrito como

${\ displaystyle \ sum \ chi (a) \ zeta ^ {a}}$

onde aqui representa o símbolo de Legendre ( a / p ), e a soma é obtida sobre as classes residuais módulo p . De forma mais geral, dado um caractere de Dirichlet χ mod n , o modo de soma de Gauss n associado a χ é ${\ displaystyle \ chi (a)}$

${\ displaystyle G (k, \ chi) = \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ chi (m) \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi imk} {n}} \ right). }$

Para o caso especial do diretor caráter de Dirichlet , a soma Gauss reduz à soma Ramanujan : ${\ displaystyle \ chi = \ chi _ {1}}$

${\ displaystyle G (k, \ chi _ {1}) = c_ {n} (k) = \ sum _ {m = 1; (m, n) = 1} ^ {n} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi imk} {n}} \ right) = \ sum _ {d | (n, k)} d \ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}$

onde μ é a função de Möbius .

As somas de Gauss são onipresentes na teoria dos números; por exemplo, eles ocorrem de forma significativa nas equações funcionais de L-funções . (As somas de Gauss são, em certo sentido, os análogos do campo finito da função gama .) ${\ displaystyle G (k, \ chi)}$

Relação de períodos Gaussianos e somas de Gauss

Os períodos de Gauss estão relacionados com as somas de Gauss para as quais o carácter χ é trivial em H . Tais χ ter o mesmo valor para todos os elementos um em uma classe lateral fixa de H em L . Por exemplo, o caractere quadrático mod p descrito acima assume o valor 1 em cada resíduo quadrático e assume o valor -1 em cada não resíduo quadrático. A soma de Gauss pode, portanto, ser escrita como uma combinação linear de períodos gaussianos (com coeficientes χ ( a )); o inverso também é verdadeiro, como consequência das relações de ortogonalidade para o grupo ( Z / n Z ) ^× . Em outras palavras, os períodos Gaussianos e as somas de Gauss são as transformadas de Fourier um do outro . Os períodos gaussianos geralmente ficam em campos menores, pois, por exemplo, quando n é um p primo , os valores χ ( a ) são ( p - 1) -ésima raiz da unidade. Por outro lado, as somas de Gauss têm propriedades algébricas mais agradáveis. ${\ displaystyle G (1, \ chi)}$${\ displaystyle G (1, \ chi)}$

Referências

• H. Davenport, HL Montgomery (2000). Teoria dos números multiplicativos . Springer. p. 18. ISBN   0-387-95097-4 .