Constante gravitacional gaussiana - Gaussian gravitational constant

Carl Friedrich Gauss apresentou sua constante ao mundo em seu Theoria Motus de 1809 .

A descoberta de Ceres por Piazzi , descrita em seu livro a descoberta de um novo planeta Ceres Ferdinandea , demonstrou a utilidade da constante de gravitação gaussiana em prever as posições de objetos dentro do Sistema Solar.

A constante gravitacional gaussiana (símbolo $k$ ) é um parâmetro usado na mecânica orbital do sistema solar . Relaciona o período orbital ao semieixo maior da órbita e à massa do corpo orbital em massas solares .

O valor de $k$ expressa historicamente a velocidade angular média do sistema Terra + Lua e o Sol considerado como um problema de dois corpos , com um valor de cerca de 0,986 graus por dia , ou cerca de 0,0172 radianos por dia. Como consequência da lei da gravitação e da terceira lei de Kepler , $k$ é diretamente proporcional à raiz quadrada do parâmetro gravitacional padrão do Sol , e seu valor em radianos por dia segue pelo estabelecimento do semieixo maior da Terra (a unidade astronômica , au ) à unidade, $k$ : (rad / d) = ( $G$ M _☉ ) ^0,5 · au ^−1,5 .

Um valor de $k$ = 0,017 202 098 95 rad / dia foi determinado por Carl Friedrich Gauss em seu trabalho de 1809 Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientum ("Teoria do Movimento dos Corpos Celestiais Movendo-se em torno do Sol em Seções Cônicas"). O valor de Gauss foi introduzido como um valor fixo definido pelo IAU (adotado em 1938, formalmente definido em 1964), que o destacou de sua representação imediata da velocidade angular média (observável) do sistema Sol-Terra. Em vez disso, a unidade astronômica agora se tornou uma quantidade mensurável ligeiramente diferente da unidade. Isso foi útil na mecânica celeste do século 20 para evitar a adaptação constante dos parâmetros orbitais aos valores medidos atualizados, mas veio às custas da intuitividade, já que a unidade astronômica, aparentemente uma unidade de comprimento, agora dependia da medição do força da força gravitacional .

A IAU abandonou o valor definido de $k$ em 2012 em favor de um valor definido da unidade astronômica de 1,495 978 707 × 10 ¹¹ m exatamente, enquanto a intensidade da força gravitacional deve agora ser expressa no parâmetro gravitacional padrão separado $G$ M _☉ , medido em unidades SI de m ³ ⋅s ⁻² .

Discussão

A constante de Gauss é derivada da aplicação da terceira lei de Kepler ao sistema Terra + Lua e o Sol considerado como um problema de dois corpos , relacionando o período de revolução ( $P$ ) ao semieixo maior da órbita ( $a$ ) e a massa total dos corpos orbitais ( $M$ ). Seu valor numérico foi obtido definindo o semieixo maior e a massa do Sol na unidade e medindo o período em dias solares médios:

k

= 2

π

/ (

P

√

a

√

M

) ≈ 0,0172021 [rad], onde:

P

≈ 365,256 [dias],

M

= ( M _☉ + M _⊕ + M _☾ ) ≈ 1,00000304 [ M _☉ ], e

a

= 1 por definição.

O valor representa o movimento angular médio do sistema Terra-Sol, em radianos por dia , equivalente a um valor logo abaixo de um grau (a divisão do círculo em 360 graus na astronomia da Babilônia provavelmente se destinava a aproximar o número de dias em um ano solar). A correção devido à divisão pela raiz quadrada de $M$ reflete o fato de que o sistema Terra-Lua não está orbitando o Sol em si, mas o centro de massa do sistema.

O próprio Isaac Newton determinou um valor dessa constante que concordava com o valor de Gauss em seis dígitos significativos. Gauss (1809) deu o valor com nove dígitos significativos, como 3548,18761 segundos de arco .

Uma vez que todos os parâmetros envolvidos, o período orbital , a razão de massa Terra-Sol , o semieixo maior e o comprimento do dia solar médio , estão sujeitos a medições cada vez mais refinadas, o valor preciso da constante teria que ser revisado hora extra. Mas, uma vez que a constante está envolvida na determinação dos parâmetros orbitais de todos os outros corpos no sistema solar, foi considerado mais conveniente defini-la como um valor fixo, por definição, implicando que o valor de $a$ desviaria da unidade. O valor fixo de $k$ = 0,01720209895 [rad] foi considerado o definido por Gauss (convertido de graus para radianos ), de modo que $a$ = 4 $π$ ² :( $k$ ² $P$ ² $M$ ) ≈ 1.

O valor da constante de Gauss de 1809 foi então usado como um valor de referência oficial para a mecânica orbital do sistema solar por dois séculos. Desde sua introdução até 1938 foi considerada uma grandeza medida, e de 1938 até 2012 foi utilizada como uma grandeza definida, com a incerteza de medição delegada ao valor da unidade astronômica . O valor definido de $k$ foi abandonado pelo IAU em 2012, e o uso de $k$ foi descontinuado, sendo substituído por um valor fixo da unidade astronômica, e a quantidade (medida) do parâmetro gravitacional padrão $G$ M _☉ .

Papel como uma constante definidora da dinâmica do Sistema Solar

O próprio Gauss declarou a constante em segundos de arco , com nove dígitos significativos, como $k$ = 3548 ″ .187 61 . No final do século 19, esse valor foi adotado e convertido para radianos por Simon Newcomb , como $k$ = 0,017 202 098 95 . e a constante aparece nesta forma em suas Tables of the Sun , publicadas em 1898.

O trabalho de Newcomb foi amplamente aceito como o melhor então disponível e seus valores das constantes foram incorporados a uma grande quantidade de pesquisas astronômicas. Por causa disso, ficou difícil separar as constantes da pesquisa; novos valores das constantes iriam, pelo menos parcialmente, invalidar um grande corpo de trabalho. Portanto, após a formação da União Astronômica Internacional em 1919, certas constantes passaram a ser gradualmente aceitas como "fundamentais": constantes definidoras das quais todas as outras eram derivadas. Em 1938, a VI Assembleia Geral da IAU declarou,

Adotamos para a constante de Gauss, o valor

$k$ = 0,01720 20989 50000

a unidade de tempo é o dia solar médio de 1900,0

No entanto, nenhum esforço adicional para estabelecer um conjunto de constantes foi feito até 1950. Um simpósio da IAU sobre o sistema de constantes foi realizado em Paris em 1963, parcialmente em resposta aos recentes desenvolvimentos na exploração espacial. Os participantes finalmente decidiram, naquele momento, estabelecer um conjunto consistente de constantes. Resolução 1 afirmou que

O novo sistema deve ser definido por um conjunto não redundante de constantes fundamentais e por relações explícitas entre estas e as constantes derivadas delas.

Resolução 4 recomendada

que o grupo de trabalho deve tratar as seguintes quantidades como constantes fundamentais (no sentido da Resolução nº 1).

Incluído na lista de constantes fundamentais estava

Constante gaussiana de gravitação, conforme definida pela VI Assembleia Geral da IAU em 1938, tendo o valor 0,017202098950000.

Essas resoluções foram adotadas por um grupo de trabalho da IAU, que em seu relatório recomendou duas constantes de definição, uma das quais era

Constante gravitacional gaussiana, definindo au $k$ = 0,01720209895

Pela primeira vez, o papel da constante gaussiana na escala do Sistema Solar foi oficialmente reconhecido. As recomendações do grupo de trabalho foram aceitas na XII Assembleia Geral da IAU em Hamburgo, Alemanha, em 1964.

Definição da unidade astronômica

Gauss pretendia que sua constante fosse definida usando uma distância média da Terra ao Sol de 1 unidade astronômica com precisão. Com a aceitação das resoluções de 1964, o IAU, com efeito, fez o oposto: definiu a constante como fundamental, e a unidade astronômica como derivada, sendo as outras variáveis da definição já fixas: massa (do Sol) e tempo (o dia de 86 400 segundos). Isso transferiu a incerteza da constante gravitacional para a incerteza no semi-eixo maior do sistema Terra-Sol, que não era mais exatamente um au (sendo o au definido como dependendo do valor da constante gravitacional). A unidade astronômica tornou-se assim uma quantidade medida, em vez de uma quantidade fixa e definida.

Em 1976, a IAU reconfirmou o status da constante gaussiana na XVI Assembleia Geral em Grenoble, declarando-a uma constante definidora, e que

A unidade astronômica de comprimento é aquele comprimento ( $A$ ) para o qual a constante gravitacional gaussiana ( $k$ ) assume o valor 0,017 202 098 95 quando as unidades de medida são as unidades astronômicas de comprimento, massa e tempo. As dimensões de $k 2$ são as da constante de gravitação ( $G$ ), ou seja, L ³ M ⁻¹ T ⁻² . O termo "distância unitária" também é usado para o comprimento ( $A$ ).

A partir desta definição, a distância média da Terra ao Sol funciona para 1.000 000 03 au , mas com perturbações pelos outros planetas, que não chegam a zero ao longo do tempo, a distância média é 1,000 0002 au .

Abandono

Em 2012, o IAU, como parte de um novo conjunto autoconsistente de unidades e padrões numéricos para uso na astronomia dinâmica moderna, redefiniu a unidade astronômica como

uma unidade convencional de comprimento igual a 149 597 870 700 m exatamente, ... ... considerando que a precisão das medições de alcance modernas torna desnecessário o uso de relações de distância

e, portanto, abandonou a constante de Gauss como uma definição indireta de escala no Sistema Solar, recomendando

que a constante gravitacional gaussiana $k$ seja excluída do sistema de constantes astronômicas.

O valor de k com base no valor definido para a unidade astronômica estaria agora sujeito à incerteza de medição do parâmetro gravitacional padrão , ${\ displaystyle k = {\ sqrt {GM _ {\ odot}}} \ cdot {\ text {au}} ^ {- 1,5} \ cdot {\ text {d}} = {1.32712440018 (9)} ^ {0,5} \ cdot 1,495978707 ^ {- 1,5} \ cdot 8,64 \ cdot 10 ^ {- 2,5} = 0,0172020989484 (6).}$

Unidades e dimensões

$k$ é dado como uma fração sem unidade da ordem de 1,7%, mas pode ser considerado equivalente à raiz quadrada da constante gravitacional , caso em que tem as unidades de au ^³^⁄^₂ ⋅d ⁻¹ ⋅ M _☉^-^¹^/^₂ , onde

au é a distância para a qual

k

assume seu valor conforme definido por Gauss - a distância da órbita circular não perturbada de um corpo hipotético sem massa, cujo período orbital é

.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 2π / k

dias,

d é o dia solar médio (86.400 segundos),

M _☉ é a massa do Sol .

Portanto, as dimensões de $k$ são

comprimento ^³^/^₂ tempo ^-1 massa ^-^¹^/^₂ ou

G

3

/

2

T

-1

H

-

1

/

2

.

​

Apesar disso, $k$ é conhecido com uma precisão muito maior do que $G$ (ou a raiz quadrada de $G$ ). O valor absoluto de $G$ é conhecido com uma precisão de cerca de 10 ⁻⁴ , mas o produto $G M ☉$ (o parâmetro gravitacional do Sol) é conhecido com uma precisão melhor que 10 ⁻¹⁰ .

Derivação

Original de Gauss

Gauss começa sua Teoria Motus apresentando, sem provas, várias leis relativas ao movimento dos corpos em torno do Sol. Mais adiante no texto, ele menciona que Pierre-Simon Laplace trata disso em detalhes em sua Mécanique Céleste . As duas últimas leis de Gauss são as seguintes:

A área varrida por uma linha que une um corpo e o Sol dividido pelo tempo em que é varrida fornece um quociente constante . Esta é Kepler 's segunda lei do movimento planetário .
O quadrado desse quociente é proporcional ao parâmetro (isto é, o latus reto ) da órbita e a soma da massa do Sol e do corpo. Esta é uma forma modificada da terceira lei de Kepler .

Ele a seguir define:

$2 p$ como o parâmetro (ou seja, o reto latus ) da órbita de um corpo,
$μ$ como a massa do corpo, onde a massa do Sol = 1,
$1 / 2 g$ como a área varrida por uma linha que une o Sol e o corpo,
$t$ como o tempo em que esta área é varrida,

e declara que

{\ displaystyle {\ frac {g} {t {\ sqrt {p}} {\ sqrt {1+ \ mu}}}}}

é "constante para todos os corpos celestes". Ele continua, "não importa qual corpo usamos para determinar esse número" e, portanto, usa a Terra, definindo

distância unitária = distância média da Terra (ou seja, seu semieixo maior ) do Sol,
tempo unitário = um dia solar .

Ele afirma que a área varrida pela Terra em sua órbita "será evidentemente" $π \sqrt p$ , e usa isso para simplificar sua constante para

{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {t {\ sqrt {1+ \ mu}}}}.}

Aqui, ele nomeia a constante $ke$ conectando alguns valores medidos, $t$ = 365,256 3835 dias, $μ$ = 1 / 354 710 massas solares, atinge o resultado $k$ = 0,017 202 098 95 .

Em termos modernos

Gauss é famoso por omitir detalhes, e essa derivação não é exceção. É aqui repetido em termos modernos, preenchendo alguns dos detalhes.

Definir sem prova

{\ displaystyle h = 2 {\ frac {dA} {dt}},}

Onde

$dA / dt$ é a taxa de tempo de varredura de área por um corpo em sua órbita , uma constante de acordo com a segunda lei de Kepler , e
$h$ é o momento angular específico , uma das constantes do movimento de dois corpos .

Próxima definição

{\ displaystyle h ^ {2} = \ mu p,}

Onde

μ = G ( M + m ) , um parâmetro gravitacional , onde
- $G$ é a constante gravitacional de Newton ,
- $M$ é a massa do corpo primário (ou seja, o Sol ),
- $m$ é a massa do corpo secundário (ou seja, um planeta ), e
$p$ é o semiparâmetro (o reto semi-latus ) da órbita do corpo.

Observe que cada variável nas equações acima é uma constante para o movimento de dois corpos. Combinando essas duas definições,

{\ displaystyle \ left (2 {\ frac {dA} {dt}} \ right) ^ {2} = G (M + m) p,}

que é o que Gauss estava descrevendo com a última de suas leis. Tirando a raiz quadrada ,

{\ displaystyle 2 {\ frac {dA} {dt}} = {\ sqrt {G}} {\ sqrt {M + m}} {\ sqrt {p}},}

e resolvendo para $\sqrt G$ ,

{\ displaystyle {\ sqrt {G}} = {\ frac {2dA} {dt {\ sqrt {M + m}} {\ sqrt {p}}}}.}

Neste ponto, definem $k \equiv \sqrt L$ . Deixe $dA$ ser toda a área varrida pelo corpo como orbita, portanto, $dA = π ab$ , a área de uma elipse , em que $uma$ é o semi-eixo maior e $b$ representa o eixo semi-menor . Seja $dt = P$ , o tempo para o corpo completar uma órbita. Desse modo,

{\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi ab} {P {\ sqrt {M + m}} {\ sqrt {p}}}}.}

Aqui, Gauss decide usar a Terra para resolver para $k$ . Da geometria de uma elipse , $p = b 2 / uma$ . Definindo o semieixo maior da Terra, $a = 1$ , $p$ reduz para $b 2$ e $\sqrt p = b$ . Substituindo, a área da elipse "é evidentemente" $π \sqrt p$ , ao invés de $π ab$ . Colocando isso no numerador da equação para $k$ e reduzindo,

{\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {P {\ sqrt {M + m}}}}.}

Observe que Gauss, normalizando o tamanho da órbita, o eliminou completamente da equação. Normalizando ainda mais, defina a massa do Sol para 1,

{\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {P {\ sqrt {1 + m}}}},}

onde agora $m$ está em massas solares . O que resta são duas quantidades: $P$ , o período da órbita da Terra ou do ano sideral , uma quantidade conhecida precisamente por medição ao longo dos séculos, e $m$ , a massa do sistema Terra-Lua. Novamente conectando os valores medidos como eram conhecidos na época de Gauss, $P$ = 365,256 3835 dias, $m$ = 1 / 354 710 massas solares, produzindo o resultado $k$ = 0,017 202 098 95 .

Constante de Gauss e terceira lei de Kepler

A constante de Gauss está intimamente relacionada à terceira lei do movimento planetário de Kepler , e uma é facilmente derivada da outra. Começando com a definição completa da constante de Gauss,

{\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi ab} {P {\ sqrt {M + m}} {\ sqrt {p}}}},}

Onde

$a$ é o semi-eixo maior da órbita elíptica ,
$b$ é o semi-eixo menor da órbita elíptica,
$P$ é o período orbital ,
$M$ é a massa do corpo primário,
$m$ é a massa do corpo secundário, e
$p$ é o reto semi-latus da órbita elíptica.

A partir da geometria de uma elipse , o recto semi-latus, $p$ pode ser expressa em termos de $um$ e $b$ da seguinte forma: $P = b 2 / uma$ . Portanto,

{\ displaystyle {\ sqrt {p}} = {\ frac {b} {\ sqrt {a}}}.}

Substituindo e reduzindo, a constante de Gauss torna-se

{\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {P}} {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {M + m}}}.}

Da mecânica orbital , $2π / P$ é apenas $n$ , o movimento médio do corpo em sua órbita. Por isso,

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} k & = n {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {M + m}}}, \\ [8pt] k ^ {2} & = {\ frac {n ^ {2} a ^ {3}} {M + m}}, \\ [8pt] k ^ {2} (M + m) & = n ^ {2} a ^ {3}, \ end {alinhado} }}

que é a definição da terceira lei de Kepler. Nessa forma, é frequentemente vista com $G$ , a constante gravitacional newtoniana no lugar de $k 2$ .

Definir $um = 1$ , $M = 1$ , $m « H$ , e $n$ em radianos por dia resulta em $k \approx n$ , também em unidades de radianos por dia, sobre o qual ver a secção relevante do significativo movimento artigo.

Outras definições

O valor da constante de Gauss, exatamente como ele o derivou, era usado desde a época de Gauss porque era considerado uma constante fundamental, conforme descrito acima. A massa solar , o dia solar médio e o ano sideral com os quais Gauss definiu sua constante estão mudando lentamente de valor. Se os valores modernos foram inseridos na equação definidora, um valor de Resultaria 0,017 202 097 89 .

Também é possível definir a constante gravitacional, a massa do Sol e a unidade astronômica como 1. Isso define uma unidade de tempo com a qual o período da órbita resultante é igual a $2π$ . Freqüentemente, são chamadas de unidades canônicas .

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

Brumfiel, Geoff (14 de setembro de 2012). "A unidade astronômica fica fixa: a distância Terra-Sol muda de uma equação escorregadia para um único número" . Nature . doi : 10.1038 / nature.2012.11416 . Retirado em 14 de setembro de 2012 .
Seares, Frederick H. (fevereiro de 1899). “A Constante da Atração” . Publicações da Astronomical Society of the Pacific . 11 (66). Bibcode : 1899PASP ... 11 ... 22S . doi : 10.1086 / 121298 .

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Conteúdo

Discussão

Papel como uma constante definidora da dinâmica do Sistema Solar

Definição da unidade astronômica

Abandono

Unidades e dimensões

Derivação

Original de Gauss

Em termos modernos

Constante de Gauss e terceira lei de Kepler

Outras definições

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

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