Fresnel integral - Fresnel integral

Gráficos de S ( x ) e C ( x ) . O máximo de C ( x ) é sobre0,977 451 424 . Se os integrantes de S e C foram definidos usando π/2t ^{2 em} vez de t ² , então a imagem seria dimensionada vertical e horizontalmente (veja abaixo).

As integrais de Fresnel S ( x ) e C ( x ) são duas funções transcendentais nomeadas após Augustin-Jean Fresnel que são usadas em óptica e estão intimamente relacionadas à função de erro ( erf ). Eles surgem na descrição dos fenômenos de difração de Fresnel de campo próximo e são definidos através das seguintes representações integrais :

${\ displaystyle S (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \, dt, \ quad C (x) = \ int _ {0} ^ { x} \ cos \ left (t ^ {2} \ right) \, dt.}$

O gráfico paramétrico simultâneo de S ( x ) e C ( x ) é a espiral de Euler (também conhecida como espiral Cornu ou clotóide).

Definição

Integrais de Fresnel com argumentos π/2t ^{2 em} vez de t ² convergem para1/2 ao invés de 1/2· √π/2.

As integrais de Fresnel admitem as seguintes expansões em série de potência que convergem para todo x :

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} S (x) & = \ int _ {0} ^ {x} \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \, dt && = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {4n + 3}} {(2n + 1)! (4n + 3)}}. \\ [6px] C (x) & = \ int _ {0} ^ {x} \ cos \ left (t ^ {2} \ right) \, dt && = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} { \ frac {x ^ {4n + 1}} {(2n)! (4n + 1)}}. \ end {alinhado}}}$

Algumas tabelas amplamente utilizadas usam π/2t ^{2 em} vez de t ² para o argumento das integrais que definem S ( x ) e C ( x ) . Isso muda seus limites no infinito de1/2· √π/2 para 1/2e o comprimento do arco para a primeira volta espiral de √ 2 π para 2 (em t = 2 ). Essas funções alternativas são geralmente conhecidas como integrais de Fresnel normalizadas .

Espiral de Euler

Espiral de Euler ( x , y ) = ( C ( t ), S ( t )) . A espiral converge para o centro dos orifícios na imagem conforme t tende para o infinito positivo ou negativo.

Animação que retrata a evolução de uma espiral Cornu com o círculo tangencial com o mesmo raio de curvatura da ponta, também conhecido como círculo osculante .

A espiral de Euler , também conhecida como espiral Cornu ou clotóide , é a curva gerada por um gráfico paramétrico de S ( t ) contra C ( t ) . A espiral Cornu foi criada por Marie Alfred Cornu como um nomograma para cálculos de difração em ciência e engenharia.

A partir das definições de integrais de Fresnel, os infinitesimais dx e dy são assim:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} dx & = C '(t) \, dt = \ cos \ left (t ^ {2} \ right) \, dt, \\ dy & = S' (t) \, dt = \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \, dt. \ end {alinhado}}}$

Assim, o comprimento da espiral medido a partir da origem pode ser expresso como

${\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {t_ {0}} {\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {t_ {0}} dt = t_ {0}.}$

Ou seja, o parâmetro t é o comprimento da curva medido a partir da origem (0, 0) , e a espiral de Euler tem comprimento infinito . O vetor (cos ( t ² ), sin ( t ² )) também expressa o vetor tangente unitário ao longo da espiral, dando θ = t ² . Uma vez que t é o comprimento da curva, a curvatura κ pode ser expressa como

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {R}} = {\ frac {d \ theta} {dt}} = 2t.}$

Assim, a taxa de mudança da curvatura em relação ao comprimento da curva é

${\ displaystyle {\ frac {d \ kappa} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = 2.}$

Uma espiral de Euler tem a propriedade de que sua curvatura em qualquer ponto é proporcional à distância ao longo da espiral, medida a partir da origem. Esta propriedade a torna útil como uma curva de transição na engenharia de rodovias e ferrovias: se um veículo segue a espiral em velocidade unitária, o parâmetro t nas derivadas acima também representa o tempo. Consequentemente, um veículo seguindo a espiral em velocidade constante terá uma taxa constante de aceleração angular .

Seções de espirais de Euler são comumente incorporadas na forma de loops de montanha-russa para fazer o que é conhecido como loops clotóides .

Propriedades

• C ( x ) e S ( x ) são funções ímpares de x .
• Os assintóticos das integrais de Fresnel como x → ∞ são dados pelas fórmulas:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} S (x) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ left ({\ frac {\ operatorname {sgn} x} {2}} - \ esquerda [1 + O \ esquerda (x ^ {- 4} \ direita) \ direita] \ esquerda ({\ frac {\ cos \ esquerda (x ^ {2} \ direita)} {x {\ sqrt {2 \ pi }}}} + {\ frac {\ sin \ left (x ^ {2} \ right)} {x ^ {3} {\ sqrt {8 \ pi}}}} \ right) \ right), \\ [ 6px] C (x) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ left ({\ frac {\ operatorname {sgn} x} {2}} + \ left [1 + O \ left (x ^ {- 4} \ right) \ right] \ left ({\ frac {\ sin \ left (x ^ {2} \ right)} {x {\ sqrt {2 \ pi}}}} - {\ frac {\ cos \ left (x ^ {2} \ right)} {x ^ {3} {\ sqrt {8 \ pi}}}} \ right) \ right). \ end {alinhado}}}$

Integral de Fresnel complexo S ( z )

• Usando as expansões da série de potências acima, as integrais de Fresnel podem ser estendidas ao domínio dos números complexos , onde se tornam funções analíticas de uma variável complexa.
• C ( z ) e S ( z ) são funções inteiras da variável complexa z .
• Os integrais de Fresnel podem ser expressos usando a função de erro da seguinte forma:

Integral de Fresnel complexo C ( z )

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} S (z) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1 + i} {4}} \ left [\ operatorname { erf} \ left ({\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} z \ right) -i \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1-i} {\ sqrt {2}} } z \ right) \ right], \\ [6px] C (z) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1-i} {4}} \ left [\ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} z \ right) + i \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1-i} {\ sqrt {2}}} z \ right) \ right]. \ end {alinhado}}}$

ou

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} C (z) + iS (z) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1 + i} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1-i} {\ sqrt {2}}} z \ right), \\ [6px] S (z) + iC (z) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1 + i} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} z \ right ). \ end {alinhado}}}$

Limites quando x se aproxima do infinito

As integrais que definem C ( x ) e S ( x ) não podem ser avaliadas na forma fechada em termos de funções elementares , exceto em casos especiais. Os limites dessas funções conforme x vai ao infinito são conhecidos:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left (t ^ {2} \ right) \, dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin \ left (t ^ { 2} \ right) \, dt = {\ frac {\ sqrt {2 \ pi}} {4}} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {8}}} \ aprox 0,6267.}$

O contorno do setor usado para calcular os limites das integrais de Fresnel

Os limites de C ( x ) e S ( x ) como o argumento x tende ao infinito podem ser encontrados usando vários métodos. Um deles usa uma integral de contorno da função

${\ displaystyle e ^ {- z ^ {2}}}$

em torno do limite da região em forma de setor no plano complexo formado pelo eixo x positivo , a bissetriz do primeiro quadrante y = x com x ≥ 0 e um arco circular de raio R centrado na origem.

Conforme R vai ao infinito, a integral ao longo do arco circular γ ₂ tende a 0

${\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {2}} e ^ {- z ^ {2}} \, dz \ right | = \ left | \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi } {4}} e ^ {- R ^ {2} (\ cos t + i \ sin t) ^ {2}} \, Re ^ {it} dt \ right | \ leq R \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} e ^ {- R ^ {2} \ cos 2t} \, dt \ leq R \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} e ^ {-R ^ {2} \ left (1 - {\ frac {4} {\ pi}} t \ right)} \, dt = {\ frac {\ pi} {4R}} \ left (1-e ^ {-R ^ {2}} \ direita),}$

onde as coordenadas polares z = Re ^que foram usadas e a desigualdade de Jordan foi utilizado para o segundo desigualdade. A integral ao longo do eixo real γ ₁ tende a meia integral gaussiana

${\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {1}} e ^ {- z ^ {2}} \, dz = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \ , dt = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}.}$

Observe também que, como o integrando é uma função inteira no plano complexo, sua integral ao longo de todo o contorno é zero. No geral, devemos ter

${\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {3}} e ^ {- z ^ {2}} \, dz = \ int _ {\ gamma _ {1}} e ^ {- z ^ {2}} \ , dz = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dt,}$

onde γ ₃ denota a bissetriz do primeiro quadrante, como no diagrama. Para avaliar o lado esquerdo, parametrize a bissetriz como

${\ displaystyle z = te ^ {i {\ frac {\ pi} {4}}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i) t}$

onde t varia de 0 a + ∞ . Observe que o quadrado desta expressão é apenas + it ² . Portanto, a substituição dá o lado esquerdo como

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- it ^ {2}} {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i) \, dt.}$

Usando a fórmula de Euler para pegar partes reais e imaginárias de e ^{- é 2} dá isso como

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (\ cos \ left (t ^ {2} \ right) -i \ sin \ left (t ^ {2} \ direita) \ direita) {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i) \, dt \\ [6px] & \ quad = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ cos \ left (t ^ {2} \ right) + \ sin \ left (t ^ {2} \ right) + i \ left (\ cos \ left (t ^ {2} \ right) - \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \ right) \ right] \, dt \\ [6px] & \ quad = {\ frac {\ sqrt {\ pi }} {2}} + 0i, \ end {alinhado}}}$

onde escrevemos 0 i para enfatizar que o valor da integral gaussiana original é completamente real com parte imaginária zero. De locação

${\ displaystyle I_ {C} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left (t ^ {2} \ right) \, dt, \ quad I_ {S} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \, dt}$

e então igualar as partes reais e imaginárias produz o seguinte sistema de duas equações nas duas incógnitas I _C e I _S :

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} I_ {C} + I_ {S} & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}, \\ I_ {C} -I_ {S} & = 0 . \ end {alinhado}}}$

Resolver isso para I _C e I _S dá o resultado desejado.

Generalização

O integral

${\ displaystyle \ int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \, dx = \ int \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {i ^ {l} x ^ { m + nl}} {l!}} \, dx = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {i ^ {l}} {(m + nl + 1)}} {\ frac {x ^ {m + nl + 1}} {l!}}}$

é uma função hipergeométrica confluente e também uma função gama incompleta

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \, dx & = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \, _ {1} F_ {1} \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {m + 1} {n}} \\ 1 + {\ frac {m + 1} {n}} \ end { matriz}} \ mid ix ^ {n} \ right) \\ [6px] & = {\ frac {1} {n}} i ^ {\ frac {m + 1} {n}} \ gamma \ left ({ \ frac {m + 1} {n}}, - ix ^ {n} \ direita), \ end {alinhado}}}$

que se reduz a integrais de Fresnel se partes reais ou imaginárias forem tomadas:

${\ displaystyle \ int x ^ {m} \ sin (x ^ {n}) \, dx = {\ frac {x ^ {m + n + 1}} {m + n + 1}} \, _ {1 } F_ {2} \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {1} {2}} + {\ frac {m + 1} {2n}} \\ {\ frac {3} {2 }} + {\ frac {m + 1} {2n}}, {\ frac {3} {2}} \ end {array}} \ mid - {\ frac {x ^ {2n}} {4}} \ certo)}$.

O principal termo na expansão assintótica é

${\ displaystyle _ {1} F_ {1} \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {m + 1} {n}} \\ 1 + {\ frac {m + 1} {n} } \ end {array}} \ mid ix ^ {n} \ right) \ sim {\ frac {m + 1} {n}} \, \ Gamma \ left ({\ frac {m + 1} {n}} \ right) e ^ {i \ pi {\ frac {m + 1} {2n}}} x ^ {- m-1},}$

e portanto

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \, dx = {\ frac {1} {n}} \, \ Gamma \ left ({ \ frac {m + 1} {n}} \ right) e ^ {i \ pi {\ frac {m + 1} {2n}}}.}$

Para m = 0 , a parte imaginária desta equação em particular é

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin \ left (x ^ {a} \ right) \, dx = \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {a}} \ right ) \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2a}} \ right),}$

com o lado esquerdo convergindo para a > 1 e o lado direito sendo sua extensão analítica para todo o plano menos onde estão os pólos de Γ ( a ⁻¹ ) .

A transformação de Kummer da função hipergeométrica confluente é

${\ displaystyle \ int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \, dx = V_ {n, m} (x) e ^ {ix ^ {n}},}$

com

${\ displaystyle V_ {n, m}: = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \, _ {1} F_ {1} \ left ({\ begin {array} {c } 1 \\ 1 + {\ frac {m + 1} {n}} \ end {array}} \ mid -ix ^ {n} \ right).}$

Aproximação numérica

Para cálculos com precisão arbitrária, a série de potências é adequada para pequenos argumentos. Para grandes argumentos, as expansões assintóticas convergem mais rápido. Métodos de fração contínua também podem ser usados.

Para cálculo de precisão de alvo particular, outras aproximações foram desenvolvidas. Cody desenvolveu um conjunto de aproximações eficientes com base em funções racionais que fornecem erros relativos até2 × 10 ⁻¹⁹ . Uma implementação FORTRAN da aproximação de Cody que inclui os valores dos coeficientes necessários para implementação em outras línguas foi publicada por van Snyder. Boersma desenvolveu uma aproximação com erro menor que1,6 × 10 ⁻⁹ .

Formulários

As integrais de Fresnel foram originalmente usadas no cálculo da intensidade do campo eletromagnético em um ambiente onde a luz se curva em torno de objetos opacos. Mais recentemente, eles têm sido usados ​​no projeto de rodovias e ferrovias, especificamente em suas zonas de transição de curvatura, consulte a curva de transição de trilhos . Outras aplicações são as montanhas - russas ou o cálculo das transições em uma pista de velódromo para permitir a entrada rápida nas curvas e a saída gradual.

Veja também

• Integral de Böhmer
• Zona de Fresnel
• Curva de transição da trilha
• Espiral de Euler
• Placa de zona
• Integral de Dirichlet

Notas

Referências

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links externos

• Cephes , código C ++ / C gratuito / de código aberto para calcular integrais de Fresnel entre outras funções especiais. Usado em SciPy e ALGLIB .
• Pacote Faddeeva , código C ++ / C gratuito / de código aberto para calcular funções de erro complexas (a partir das quais as integrais de Fresnel podem ser obtidas), com wrappers para Matlab, Python e outras linguagens.
• "Integrais de Fresnel" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Formas de loop de montanha-russa" . Arquivado do original em 23 de setembro de 2008 . Página visitada em 2008-08-13 .
• Weisstein, Eric W. "Fresnel Integrals" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Cornu Spiral" . MathWorld .