Fréchet significa - Fréchet mean

Em matemática e estatística , a média de Fréchet é uma generalização de centróides para espaços métricos , dando um único ponto representativo ou tendência central para um agrupamento de pontos. Tem o nome de Maurice Fréchet . Karcher mean é a renomeação da construção Riemannian Center of Mass desenvolvida por Karsten Grove e Hermann Karcher. Em números reais, a média aritmética , mediana , média geométrica , e média harmônica podem ser interpretados como meios Fréchet para diferentes funções de distância.

Definição

Seja ( M , d ) um espaço métrico completo. Vamos x ₁ , x ₂ , ..., x _N ser pontos em M . Para qualquer ponto p em M , defina a variância de Fréchet como a soma das distâncias ao quadrado de p a x _i :

${\ displaystyle \ Psi (p) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} d ^ {2} \ left (p, x_ {i} \ right)}$

As médias de Karcher são então aqueles pontos, m de M , que minimizam localmente Ψ:

${\ displaystyle m = \ mathop {\ text {arg min}} _ {p \ in M} \ sum _ {i = 1} ^ {N} d ^ {2} \ left (p, x_ {i} \ right )}$

Se houver um m de M que minimiza Ψ globalmente, então é a média de Fréchet .

Às vezes, x _i são atribuídos pesos w _i . Então, a variância de Fréchet é calculada como uma soma ponderada,

${\ displaystyle \ Psi (p) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} d ^ {2} \ left (p, x_ {i} \ right), \; \; \; \ ; m = \ mathop {\ text {arg min}} _ {p \ in M} \ sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} d ^ {2} \ left (p, x_ {i} \direito).}$

Exemplos de meios de Fréchet

Média aritmética e mediana

Para números reais, a média aritmética é uma média de Fréchet, usando a distância euclidiana usual como função de distância.

A mediana também é uma média de Fréchet, se a definição da função Ψ for generalizada para a não quadrática

${\ displaystyle \ Psi (p) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} d ^ {\ alpha} \ left (p, x_ {i} \ right),}$

onde , e a distância euclidiana é a função de distância d . Em espaços de dimensões superiores, isso se torna a mediana geométrica . ${\ displaystyle \ alpha = 1}$

Média geométrica

Nos números reais positivos, a função de distância (hiperbólica) pode ser definida. A média geométrica é a média de Fréchet correspondente. Na verdade, é então uma isometria do espaço euclidiano para este espaço "hiperbólico" e deve respeitar a média de Fréchet: a média de Fréchet do é a imagem por do meio de Fréchet (no sentido euclidiano) do , ou seja, deve ser: ${\ displaystyle d (x, y) = | \ log (x) - \ log (y) |}$${\ displaystyle f: x \ mapsto e ^ {x}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (x_ {i})}$

${\ displaystyle f \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f ^ {- 1} \ left (x_ {i} \ right) \ right) = \ exp \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log x_ {i} \ right) = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdots x_ {n}}}}$.

Média harmônica

Nos números reais positivos , a métrica (função de distância):

${\ displaystyle d _ {\ operatorname {H}} (x, y) = \ left | {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {y}} \ right |}$

pode ser definido. A média harmônica é a média de Fréchet correspondente.

Poder significa

Dado um número real diferente de zero , a média de potência pode ser obtida como uma média de Fréchet, introduzindo a métrica ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle d_ {m} \ left (x, y \ right) = \ left | x ^ {m} -y ^ {m} \ right |}$

f-dizer

Dada uma função invertível e contínua , a média f pode ser definida como a média de Fréchet obtida usando a métrica: ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle d_ {f} (x, y) = \ left | f (x) -f (y) \ right |}$

Isso às vezes é chamado de média f generalizada ou média quase aritmética .

Meios ponderados

A definição geral do meio Fréchet que inclui a possibilidade de ponderar observações pode ser usada para derivar versões ponderadas para todos os tipos de meios acima.

Referências