Essencialmente único - Essentially unique

Em matemática , o termo essencialmente único é usado para descrever uma forma mais fraca de exclusividade, onde um objeto que satisfaz uma propriedade é "único" apenas no sentido de que todos os objetos que satisfazem a propriedade são equivalentes uns aos outros. A noção de unicidade essencial pressupõe alguma forma de "mesmice", que muitas vezes é formalizada usando uma relação de equivalência .

Uma noção relacionada é uma propriedade universal , onde um objeto não é apenas essencialmente único, mas único até um isomorfismo único (o que significa que tem um grupo de automorfismo trivial ). Em geral, pode haver mais de um isomorfismo entre exemplos de um objeto essencialmente único.

Exemplos

Teoria de conjuntos

No nível mais básico, existe um conjunto essencialmente único de qualquer cardinalidade , quer se rotule os elementos ou . Nesse caso, a não exclusividade do isomorfismo (por exemplo, corresponder 1 a ou 1 a ) é refletida no grupo simétrico . ${\ displaystyle \ {1,2,3 \}}$${\ displaystyle \ {a, b, c \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c}$

Por outro lado, há uma essencialmente único ordenado conjunto de qualquer cardinalidade finita: se alguém escreve e , em seguida, o único isomorfismo de preservação da ordem é aquele que mapeia 1 a , 2 a , e 3 a .${\ displaystyle \ {1 <2 <3 \}}$${\ displaystyle \ {a <b <c \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

Teoria dos Números

O teorema fundamental da aritmética estabelece que a fatoração de qualquer número inteiro positivo em números primos é essencialmente única, ou seja, única até a ordem dos fatores primos.

Teoria do grupo

No contexto da classificação de grupos , existe um grupo essencialmente único contendo exatamente 2 elementos. Da mesma forma, há também um grupo essencialmente único contendo exatamente 3 elementos: o grupo cíclico de ordem três. Na verdade, independentemente de como alguém escolha escrever os três elementos e denotar a operação do grupo, todos esses grupos podem ser considerados isomórficos entre si e, portanto, são "iguais".

Por outro lado, não existe um grupo essencialmente único com exatamente 4 elementos, pois neste caso existem dois grupos não isomórficos no total: o grupo cíclico de ordem 4 e o grupo Klein quatro .

Teoria da medida

Existe uma medida essencialmente única que é a translação - invariante , estritamente positiva e localmente finita na linha real . Na verdade, qualquer medida desse tipo deve ser um múltiplo constante da medida de Lebesgue , especificando que a medida do intervalo da unidade deve ser 1 - antes de determinar a solução exclusivamente.

Topologia

Existe uma variedade essencialmente única bidimensional, compacta e simplesmente conectada : a esfera 2 . Nesse caso, é exclusivo até o homeomorfismo .

Na área da topologia conhecida como teoria dos nós , existe um análogo do teorema fundamental da aritmética: a decomposição de um nó em uma soma de nós primos é essencialmente única.

Teoria da mentira

Um subgrupo compacto máximo de um grupo de Lie semissimples pode não ser único, mas é único até a conjugação.

Teoria da categoria

Um objeto que é o limite ou colimite sobre um dado diagrama é essencialmente único, pois existe um isomorfismo único para qualquer outro objeto limitante / colimitador.

Teoria da codificação

Dada a tarefa de usar palavras de 24 bits para armazenar 12 bits de informação de forma que erros de 7 bits possam ser detectados e erros de 3 bits possam ser corrigidos, a solução é essencialmente única: o código binário estendido de Golay .

Veja também

• Teorema de classificação
• Módulo , um termo matemático relativo à equivalência de objetos
• Propriedade universal
• Até

Referências