Colisão elástica - Elastic collision

Enquanto a radiação de corpo negro (não mostrada) não escapar de um sistema, os átomos em agitação térmica sofrem colisões essencialmente elásticas. Em média, dois átomos se recuperam um do outro com a mesma energia cinética de antes de uma colisão. Cinco átomos são coloridos de vermelho para que seus caminhos de movimento sejam mais fáceis de ver.

Uma colisão elástica é um encontro entre dois corpos em que a energia cinética total dos dois corpos permanece a mesma. Em uma colisão ideal e perfeitamente elástica, não há conversão líquida de energia cinética em outras formas, como calor, ruído ou energia potencial.

Durante a colisão de pequenos objetos, a energia cinética é primeiro convertida em energia potencial associada a uma força repulsiva ou atrativa entre as partículas (quando as partículas se movem contra essa força, ou seja, o ângulo entre a força e a velocidade relativa é obtuso), então isso a energia potencial é convertida de volta em energia cinética (quando as partículas se movem com essa força, ou seja, o ângulo entre a força e a velocidade relativa é agudo).

As colisões de átomos são elásticas, por exemplo, retroespalhamento de Rutherford .

Um caso especial útil de colisão elástica é quando os dois corpos têm massa igual, caso em que eles simplesmente trocarão seus momentos.

As moléculas - como distintas dos átomos - de um gás ou líquido raramente experimentam colisões perfeitamente elásticas porque a energia cinética é trocada entre o movimento de translação das moléculas e seus graus internos de liberdade com cada colisão. Em qualquer momento, metade das colisões são, em uma extensão variável, colisões inelásticas (o par possui menos energia cinética em seus movimentos translacionais após a colisão do que antes), e metade poderia ser descrita como "superelástica" (possuindo mais energia cinética após a colisão do que antes). Na média de toda a amostra, as colisões moleculares podem ser consideradas essencialmente elásticas, desde que a lei de Planck proíba que a energia seja carregada pelos fótons de corpo negro.

No caso de corpos macroscópicos, colisões perfeitamente elásticas são um ideal nunca totalmente realizado, mas aproximado pelas interações de objetos como bolas de bilhar.

Ao considerar as energias, a possível energia rotacional antes e / ou depois de uma colisão também pode desempenhar um papel.

Equações

Newtoniano unidimensional

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Professor Walter Lewin explicando as colisões elásticas unidimensionais

Em uma colisão elástica, tanto o momento quanto a energia cinética são conservados. Considere as partículas 1 e 2 com massas m ₁ , m ₂ e velocidades u ₁ , u ₂ antes da colisão, v ₁ , v ₂ após a colisão. A conservação do momento total antes e depois da colisão é expressa por:

${\ displaystyle m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} \ = \ m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2}.}$

Da mesma forma, a conservação da energia cinética total é expressa por:

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} u_ {1} ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} m_ {2} u_ {2} ^ {2} \ = \ {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2}.}$

Essas equações podem ser resolvidas diretamente para descobrir quando são conhecidas: ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} v_ {1} & = & {\ dfrac {m_ {1} -m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {1} + {\ dfrac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {2} \\ [. 5em] v_ {2} & = & {\ dfrac {2m_ {1}} {m_ { 1} + m_ {2}}} u_ {1} + {\ dfrac {m_ {2} -m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {2} \ end {array}} }$

Se ambas as massas são iguais, temos uma solução trivial:

${\ displaystyle v_ {1} = u_ {2}}$

${\ displaystyle v_ {2} = u_ {1}.}$

Isso simplesmente corresponde aos corpos trocando suas velocidades iniciais entre si.

Como pode ser esperado, a solução é invariante ao adicionar uma constante a todas as velocidades ( relatividade galileana ), que é como usar um referencial com velocidade de translação constante. De fato, para derivar as equações, pode-se primeiro alterar o quadro de referência de modo que uma das velocidades conhecidas seja zero, determinar as velocidades desconhecidas no novo quadro de referência e converter de volta ao quadro de referência original.

Exemplos

Bola 1: massa = 3 kg, velocidade = 4 m / s

Bola 2: massa = 5 kg, velocidade = −6 m / s

Após a colisão:

Bola 1: velocidade = −8,5 m / s

Bola 2: velocidade = 1,5 m / s

Outra situação:

Colisão elástica de massas desiguais.

O seguinte ilustra o caso de massa igual ,. ${\ displaystyle m_ {1} = m_ {2}}$

Colisão elástica de massas iguais

Colisão elástica de massas em um sistema com um quadro de referência móvel

No caso limite em que é muito maior do que , como uma raquete de pingue-pongue acertando uma bola de pingue-pongue ou um SUV acertando uma lata de lixo, a massa mais pesada dificilmente muda de velocidade, enquanto a massa mais leve rebate, revertendo sua velocidade mais aproximadamente o dobro do pesado. ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$

No caso de um grande , o valor de é pequeno se as massas forem aproximadamente as mesmas: atingir uma partícula muito mais leve não muda muito a velocidade, atingir uma partícula muito mais pesada faz com que a partícula rápida salte de volta em alta velocidade. É por isso que um moderador de nêutrons (um meio que desacelera nêutrons rapidamente , transformando-os em nêutrons térmicos capazes de sustentar uma reação em cadeia ) é um material cheio de átomos com núcleos leves que não absorvem facilmente nêutrons: os núcleos mais leves têm cerca de mesma massa de um nêutron . ${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle v_ {1}}$

Derivação da solução

Para derivar as equações acima para , reorganize as equações de energia cinética e momento: ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$

${\ displaystyle m_ {1} (v_ {1} ^ {2} -u_ {1} ^ {2}) = m_ {2} (u_ {2} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}) }$

${\ displaystyle m_ {1} (v_ {1} -u_ {1}) = m_ {2} (u_ {2} -v_ {2})}$

Dividindo cada lado da equação superior por cada lado da equação inferior, e usando , obtém-se: ${\ displaystyle {\ tfrac {a ^ {2} -b ^ {2}} {(ab)}} = a + b}$

${\ displaystyle v_ {1} + u_ {1} = u_ {2} + v_ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad v_ {1} -v_ {2} = u_ {2} -u_ {1}}$.

Ou seja, a velocidade relativa de uma partícula em relação à outra é revertida pela colisão.

Agora, as fórmulas acima resultam da resolução de um sistema de equações lineares para , considerando como constantes: ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}, u_ {1}, u_ {2}}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcrcc} v_ {1} & - & v_ {2} & = & u_ {2} -u_ {1} \\ m_ {1} v_ {1} & + & m_ {2} v_ {2} & = & m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}. \ End {array}} \ right.}$

Uma vez determinado, pode ser encontrado por simetria. ${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$

Quadro do centro de massa

Com relação ao centro de massa, ambas as velocidades são revertidas pela colisão: uma partícula pesada se move lentamente em direção ao centro de massa e salta de volta com a mesma velocidade baixa, e uma partícula leve se move rapidamente em direção ao centro de massa e salta de volta com a mesma alta velocidade.

A velocidade do centro de massa não muda com a colisão. Para ver isso, considere o centro de massa no momento antes da colisão e após a colisão: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t '}$

${\ displaystyle {\ bar {x}} (t) = {\ frac {m_ {1} x_ {1} (t) + m_ {2} x_ {2} (t)} {m_ {1} + m_ { 2}}}}$

${\ displaystyle {\ bar {x}} (t ') = {\ frac {m_ {1} x_ {1} (t') + m_ {2} x_ {2} (t ')} {m_ {1} + m_ {2}}}.}$

Portanto, as velocidades do centro de massa antes e depois da colisão são:

${\ displaystyle v _ {\ bar {x}} = {\ frac {m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${\ displaystyle v _ {\ bar {x}} '= {\ frac {m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}$

Os numeradores de e são os momentos totais antes e depois da colisão. Uma vez que o momentum é conservado, nós o conservamos . ${\ displaystyle v _ {\ bar {x}}}$${\ displaystyle v _ {\ bar {x}} '}$${\ displaystyle v _ {\ bar {x}} = v _ {\ bar {x}} '}$

Relativística unidimensional

De acordo com a relatividade especial ,

${\ displaystyle p = {\ frac {mv} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$

onde p denota o momento de qualquer partícula com massa, v denota velocidade e c é a velocidade da luz.

No centro do quadro de momento, onde o momento total é igual a zero,

${\ displaystyle p_ {1} = - p_ {2}}$

${\ displaystyle p_ {1} ^ {2} = p_ {2} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {m_ {1} ^ {2} c ^ {4} + p_ {1} ^ {2} c ^ {2}}} + {\ sqrt {m_ {2} ^ {2} c ^ {4} + p_ {2} ^ {2} c ^ {2}}} = E}$

${\ displaystyle p_ {1} = \ pm {\ frac {\ sqrt {E ^ {4} -2E ^ {2} m_ {1} ^ {2} c ^ {4} -2E ^ {2} m_ {2 } ^ {2} c ^ {4} + m_ {1} ^ {4} c ^ {8} -2m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2} c ^ {8} + m_ {2 } ^ {4} c ^ {8}}} {2cE}}}$

${\ displaystyle u_ {1} = - v_ {1}.}$

Aqui representam as massas de repouso dos dois corpos em colisão, representam suas velocidades antes da colisão, suas velocidades após a colisão, seus momentos, é a velocidade da luz no vácuo e denota a energia total, a soma das massas de repouso e energias cinéticas dos dois corpos. ${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle E}$

Uma vez que a energia total e o momento do sistema são conservados e suas massas de repouso não mudam, é mostrado que o momento do corpo em colisão é decidido pelas massas de repouso dos corpos em colisão, energia total e o momento total. Em relação ao centro da estrutura de momentum , o momentum de cada corpo em colisão não muda a magnitude após a colisão, mas inverte sua direção de movimento.

Comparando com a mecânica clássica , que dá resultados precisos lidando com objetos macroscópicos que se movem muito mais devagar do que a velocidade da luz , o momento total dos dois corpos em colisão depende do quadro. No centro do quadro de momentum , de acordo com a mecânica clássica,

${\ displaystyle m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} = {0} \, \!}$

${\ displaystyle m_ {1} u_ {1} ^ {2} + m_ {2} u_ {2} ^ {2} = m_ {1} v_ {1} ^ {2} + m_ {2} v_ {2} ^ {2} \, \!}$

${\ displaystyle {\ frac {(m_ {2} u_ {2}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {(m_ {2} u_ {2}) ^ {2}} { 2m_ {2}}} = {\ frac {(m_ {2} v_ {2}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {(m_ {2} v_ {2}) ^ { 2}} {2m_ {2}}} \, \!}$

${\ displaystyle (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {2} u_ {2}) ^ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {2} v_ {2}) ^ {2} \, \!}$

${\ displaystyle u_ {2} = - v_ {2} \, \!}$

${\ displaystyle {\ frac {(m_ {1} u_ {1}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {(m_ {1} u_ {1}) ^ {2}} { 2m_ {2}}} = {\ frac {(m_ {1} v_ {1}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {(m_ {1} v_ {1}) ^ { 2}} {2m_ {2}}} \, \!}$

${\ displaystyle (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {1} u_ {1}) ^ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {1} v_ {1}) ^ {2} \, \!}$

${\ displaystyle u_ {1} = - v_ {1} \, \!}$

Isso está de acordo com o cálculo relativístico , apesar de outras diferenças. ${\ displaystyle u_ {1} = - v_ {1}}$

Um dos postulados da Relatividade Especial afirma que as leis da física, como a conservação do momento, devem ser invariantes em todos os referenciais inerciais. Em um referencial inercial geral, onde o momento total pode ser arbitrário,

${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} \; u_ {1}} {\ sqrt {1-u_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + {\ frac {m_ {2} \; u_ {2}} {\ sqrt {1-u_ {2} ^ {2} / c ^ {2}}}} = {\ frac {m_ {1} \; v_ {1}} {\ sqrt { 1-v_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + {\ frac {m_ {2} \; v_ {2}} {\ sqrt {1-v_ {2} ^ {2} / c ^ {2}}}} = p_ {T}}$

${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} c ^ {2}} {\ sqrt {1-u_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + {\ frac {m_ {2} c ^ {2}} {\ sqrt {1-u_ {2} ^ {2} / c ^ {2}}}} = {\ frac {m_ {1} c ^ {2}} {\ sqrt {1-v_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + {\ frac {m_ {2} c ^ {2}} {\ sqrt {1-v_ {2} ^ {2} / c ^ {2 }}}} = E}$

Podemos olhar para os dois corpos em movimento como um sistema em que o momento total é , a energia total é e sua velocidade é a velocidade de seu centro de massa. Em relação ao centro do referencial do momento, o momento total é igual a zero. Pode ser mostrado que é dado por: ${\ displaystyle p_ {T}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle v_ {c}}$${\ displaystyle v_ {c}}$

${\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {p_ {T} c ^ {2}} {E}}}$

Agora, as velocidades antes da colisão no centro da moldura de momento e são: ${\ displaystyle u_ {1} '}$${\ displaystyle u_ {2} '}$

${\ displaystyle u_ {1} '= {\ frac {u_ {1} -v_ {c}} {1 - {\ frac {u_ {1} v_ {c}} {c ^ {2}}}}}}$

${\ displaystyle u_ {2} '= {\ frac {u_ {2} -v_ {c}} {1 - {\ frac {u_ {2} v_ {c}} {c ^ {2}}}}}}$

${\ displaystyle v_ {1} '= - u_ {1}'}$

${\ displaystyle v_ {2} '= - u_ {2}'}$

${\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {v_ {1} '+ v_ {c}} {1 + {\ frac {v_ {1}' v_ {c}} {c ^ {2}}}}} }$

${\ displaystyle v_ {2} = {\ frac {v_ {2} '+ v_ {c}} {1 + {\ frac {v_ {2}' v_ {c}} {c ^ {2}}}}} }$

Quando e , ${\ displaystyle u_ {1} \ ll c}$${\ displaystyle u_ {2} \ ll c}$

${\ displaystyle p_ {T}}$ ≈ ${\ displaystyle m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}}$

${\ displaystyle v_ {c}}$ ≈ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${\ displaystyle u_ {1} '}$≈ ≈${\ displaystyle u_ {1} -v_ {c}}$${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {1} -m_ {1} u_ {1} -m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = {\ frac {m_ {2} (u_ {1} -u_ {2})} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${\ displaystyle u_ {2} '}$ ≈ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} (u_ {2} -u_ {1})} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${\ displaystyle v_ {1} '}$ ≈ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {2} (u_ {2} -u_ {1})} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${\ displaystyle v_ {2} '}$ ≈ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} (u_ {1} -u_ {2})} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${\ displaystyle v_ {1}}$≈ ≈${\ displaystyle v_ {1} '+ v_ {c}}$${\ displaystyle {\ frac {m_ {2} u_ {2} -m_ {2} u_ {1} + m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = {\ frac {u_ {1} (m_ {1} -m_ {2}) + 2m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${\ displaystyle v_ {2}}$ ≈ ${\ displaystyle {\ frac {u_ {2} (m_ {2} -m_ {1}) + 2m_ {1} u_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

Portanto, o cálculo clássico é verdadeiro quando a velocidade de ambos os corpos em colisão é muito menor do que a velocidade da luz (~ 300 milhões de m / s).

Derivação relativística usando funções hiperbólicas

Usamos o chamado parâmetro de velocidade (geralmente chamado de rapidez ) para obter: ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle v / c = \ tanh (s)}$

daí nós pegamos

${\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = \ operatorname {sech} (s)}$

A energia relativística e o momento são expressos da seguinte forma:

${\ displaystyle E = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = mc ^ {2} \ cosh (s)}$

${\ displaystyle p = {\ frac {mv} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = mc \ sinh (s)}$

Equações soma da energia e quantidade de movimento massas que colidem e , (velocidades , , , correspondem aos parâmetros de velocidade , , , ), depois dividindo por energia adequada são os seguintes: ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle s_ {2}}$${\ displaystyle s_ {3}}$${\ displaystyle s_ {4}}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle m_ {1} \ cosh (s_ {1}) + m_ {2} \ cosh (s_ {2}) = m_ {1} \ cosh (s_ {3}) + m_ {2} \ cosh (s_ {4})}$

${\ displaystyle m_ {1} \ sinh (s_ {1}) + m_ {2} \ sinh (s_ {2}) = m_ {1} \ sinh (s_ {3}) + m_ {2} \ sinh (s_ {4})}$

e a equação dependente, a soma das equações acima:

${\ displaystyle m_ {1} e ^ {s_ {1}} + m_ {2} e ^ {s_ {2}} = m_ {1} e ^ {s_ {3}} + m_ {2} e ^ {s_ {4}}}$

subtraia os quadrados das equações de ambos os lados "momentum" de "energia" e use a identidade , após simplicidade obtemos: ${\ displaystyle \ cosh ^ {2} (s) - \ sinh ^ {2} (s) = 1}$

${\ displaystyle 2m_ {1} m_ {2} (\ cosh (s_ {1}) \ cosh (s_ {2}) - \ sinh (s_ {2}) \ sinh (s_ {1})) = 2m_ {1 } m_ {2} (\ cosh (s_ {3}) \ cosh (s_ {4}) - \ sinh (s_ {4}) \ sinh (s_ {3}))}$

para massa diferente de zero, usando a identidade trigonométrica hiperbólica cosh ( a - b ) = cosh ( a ) cosh ( b ) - sinh ( b ) sinh ( a ), obtemos:

${\ displaystyle \ cosh (s_ {1} -s_ {2}) = \ cosh (s_ {3} -s_ {4})}$

como funções é mesmo, temos duas soluções: ${\ displaystyle \ cosh (s)}$

${\ displaystyle s_ {1} -s_ {2} = s_ {3} -s_ {4}}$

${\ displaystyle s_ {1} -s_ {2} = - s_ {3} + s_ {4}}$

da última equação, levando a uma solução não trivial, resolvemos e substituímos na equação dependente, obtemos e então , temos: ${\ displaystyle s_ {2}}$${\ displaystyle e ^ {s_ {1}}}$${\ displaystyle e ^ {s_ {2}}}$

${\ displaystyle e ^ {s_ {1}} = e ^ {s_ {4}} {\ frac {m_ {1} e ^ {s_ {3}} + m_ {2} e ^ {s_ {4}}} {m_ {1} e ^ {s_ {4}} + m_ {2} e ^ {s_ {3}}}}}$

${\ displaystyle e ^ {s_ {2}} = e ^ {s_ {3}} {\ frac {m_ {1} e ^ {s_ {3}} + m_ {2} e ^ {s_ {4}}} {m_ {1} e ^ {s_ {4}} + m_ {2} e ^ {s_ {3}}}}}$

É uma solução para o problema, mas expressa pelos parâmetros de velocidade. A substituição de retorno para obter a solução para as velocidades é:

${\ displaystyle v_ {1} / c = \ tanh (s_ {1}) = {\ frac {e ^ {s_ {1}} - e ^ {- s_ {1}}} {e ^ {s_ {1} } + e ^ {- s_ {1}}}}}$

${\ displaystyle v_ {2} / c = \ tanh (s_ {2}) = {\ frac {e ^ {s_ {2}} - e ^ {- s_ {2}}} {e ^ {s_ {2} } + e ^ {- s_ {2}}}}}$

Substitua as soluções anteriores e substitua: e , após longa transformação, com substituição: obtemos: ${\ displaystyle e ^ {s_ {3}} = {\ sqrt {\ frac {c + u_ {1}} {c-u_ {1}}}}}$${\ displaystyle e ^ {s_ {4}} = {\ sqrt {\ frac {c + u_ {2}} {c-u_ {2}}}}}$${\ textstyle Z = {\ sqrt {\ left (1-u_ {1} ^ {2} / c ^ {2} \ right) \ left (1-u_ {2} ^ {2} / c ^ {2} \direito)}}}$

${\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} u_ {2} Z + 2m_ {2} ^ {2} c ^ {2} u_ {2} - ( m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) u_ {1} u_ {2} ^ {2} + (m_ {1} ^ {2} -m_ {2} ^ {2}) c ^ {2} u_ {1}} {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} Z-2m_ {2} ^ {2} u_ {1} u_ {2} - (m_ {1} ^ { 2} -m_ {2} ^ {2}) u_ {2} ^ {2} + (m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) c ^ {2}}}}$

${\ displaystyle v_ {2} = {\ frac {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} u_ {1} Z + 2m_ {1} ^ {2} c ^ {2} u_ {1} - ( m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) u_ {1} ^ {2} u_ {2} + (m_ {2} ^ {2} -m_ {1} ^ {2}) c ^ {2} u_ {2}} {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} Z-2m_ {1} ^ {2} u_ {1} u_ {2} - (m_ {2} ^ { 2} -m_ {1} ^ {2}) u_ {1} ^ {2} + (m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) c ^ {2}}}}$.

Bidimensional

Para o caso de dois corpos colidindo não girando em duas dimensões, o movimento dos corpos é determinado pelas três leis de conservação do momento, energia cinética e momento angular. A velocidade geral de cada corpo deve ser dividida em duas velocidades perpendiculares: uma tangente às superfícies normais comuns dos corpos em colisão no ponto de contato, a outra ao longo da linha de colisão. Uma vez que a colisão só transmite força ao longo da linha de colisão, as velocidades que são tangentes ao ponto de colisão não mudam. As velocidades ao longo da linha de colisão podem então ser usadas nas mesmas equações de uma colisão unidimensional. As velocidades finais podem então ser calculadas a partir das duas novas velocidades do componente e dependerão do ponto de colisão. Estudos de colisões bidimensionais são conduzidos para muitos corpos na estrutura de um gás bidimensional .

Colisão elástica bidimensional

Em um referencial de centro de momento a qualquer momento, as velocidades dos dois corpos estão em direções opostas, com magnitudes inversamente proporcionais às massas. Em uma colisão elástica, essas magnitudes não mudam. As direções podem mudar dependendo das formas dos corpos e do ponto de impacto. Por exemplo, no caso de esferas, o ângulo depende da distância entre os caminhos (paralelos) dos centros dos dois corpos. Qualquer mudança de direção diferente de zero é possível: se esta distância for zero, as velocidades são revertidas na colisão; se estiver próximo da soma dos raios das esferas, os dois corpos são apenas ligeiramente desviados.

Assumindo que a segunda partícula está em repouso antes da colisão, os ângulos de deflexão das duas partículas, e , estão relacionados ao ângulo de deflexão no sistema do centro de massa por ${\ displaystyle \ vartheta _ {1}}$${\ displaystyle \ vartheta _ {2}}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ tan \ vartheta _ {1} = {\ frac {m_ {2} \ sin \ theta} {m_ {1} + m_ {2} \ cos \ theta}}, \ qquad \ vartheta _ {2} = {\ frac {{\ pi} - {\ theta}} {2}}.}$

As magnitudes das velocidades das partículas após a colisão são:

${\ displaystyle v '_ {1} = v_ {1} {\ frac {\ sqrt {m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2} + 2m_ {1} m_ {2} \ cos \ teta}} {m_ {1} + m_ {2}}}, \ qquad v '_ {2} = v_ {1} {\ frac {2m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}.}$

Colisão bidimensional com dois objetos em movimento

Os componentes finais das velocidades xey da primeira bola podem ser calculados como:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} v '_ {1x} & = {\ frac {v_ {1} \ cos (\ theta _ {1} - \ varphi) (m_ {1} -m_ {2}) + 2m_ {2} v_ {2} \ cos (\ theta _ {2} - \ varphi)} {m_ {1} + m_ {2}}} \ cos (\ varphi) + v_ {1} \ sin (\ theta _ {1} - \ varphi) \ cos (\ varphi + {\ tfrac {\ pi} {2}}) \\ [0.8em] v '_ {1y} & = {\ frac {v_ {1} \ cos (\ theta _ {1} - \ varphi) (m_ {1} -m_ {2}) + 2m_ {2} v_ {2} \ cos (\ theta _ {2} - \ varphi)} {m_ {1} + m_ {2}}} \ sin (\ varphi) + v_ {1} \ sin (\ theta _ {1} - \ varphi) \ sin (\ varphi + {\ tfrac {\ pi} {2}}) \ fim {alinhado}}}$

onde v ₁ e v ₂ são os tamanhos escalares das duas velocidades originais dos objectos, m ₁ e m ₂ são as suas massas, θ ₁ e θ ₂ são os seus ângulos de movimento, ou seja, (ou seja, movendo-se directamente para baixo para a direita está um ângulo de −45 ° ou um ângulo de 315 °), e phi minúsculo ( φ ) é o ângulo de contato. (Para obter as velocidades xey da segunda bola, é necessário trocar todos os subscritos '1' por '2' subscritos.) ${\ displaystyle v_ {1x} = v_ {1} \ cos \ theta _ {1}, \; v_ {1y} = v_ {1} \ sin \ theta _ {1}}$

Esta equação é derivada do fato de que a interação entre os dois corpos é facilmente calculada ao longo do ângulo de contato, o que significa que as velocidades dos objetos podem ser calculadas em uma dimensão girando os eixos xey paralelos ao ângulo de contato do objetos e, em seguida, girados de volta para a orientação original para obter os componentes xey verdadeiros das velocidades

Numa representação livre angular, as velocidades alterados são calculados usando os centros x ₁ e x ₂ , no momento de contacto tão

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {v} '_ {1} & = \ mathbf {v} _ {1} - {\ frac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2} }} \ {\ frac {\ langle \ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2}, \, \ mathbf {x} _ {1} - \ mathbf {x} _ {2} \ rangle} {\ | \ mathbf {x} _ {1} - \ mathbf {x} _ {2} \ | ^ {2}}} \ (\ mathbf {x} _ {1} - \ mathbf {x} _ {2}), \\\ mathbf {v} '_ {2} & = \ mathbf {v} _ {2} - {\ frac {2m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}} } \ {\ frac {\ langle \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1}, \, \ mathbf {x} _ {2} - \ mathbf {x} _ {1} \ rangle} {\ | \ mathbf {x} _ {2} - \ mathbf {x} _ {1} \ | ^ {2}}} \ (\ mathbf {x} _ {2} - \ mathbf {x} _ {1}) \ end {alinhado}}}$

onde os colchetes indicam o produto interno (ou produto escalar ) de dois vetores.

Veja também

• Colisão
• Colisão inelástica
• Coeficiente de restituição

Referências

Referências gerais

• Raymond, David J. "10.4.1 Elastic collisions". Uma abordagem radicalmente moderna à física introdutória: Volume 1: Princípios fundamentais . Socorro, NM: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.

links externos

• Resolução de colisão de corpo rígido em três dimensões, incluindo uma derivação usando as leis de conservação
• VNE Rigid Body Collision Simulation Pequeno motor 3D de código aberto com implementação fácil de entender de colisões elásticas em C
• Visualize a simulação 2-D Collision Free de colisão de 2 partículas com coeficiente de restituição ajustável pelo usuário e velocidades de partícula (requer Adobe Shockwave)
• Colisões elásticas bidimensionais sem trigonometria Explicação de como calcular colisões elásticas bidimensionais usando vetores
• Bouncescope Simulador gratuito de colisões elásticas de dezenas de objetos configuráveis ​​pelo usuário
• Gerenciando colisão bola vs bola com script Flash Flash para gerenciar colisões elásticas entre qualquer número de esferas
• Derivação de colisão elástica
• Derivação da fórmula de colisão elástica se a velocidade de uma das bolas for 0