Teoria de Einstein-Cartan - Einstein–Cartan theory

Na física teórica , a teoria de Einstein-Cartan , também conhecida como teoria de Einstein-Cartan-Sciama-Kibble , é uma teoria clássica da gravitação semelhante à relatividade geral . A teoria foi proposta pela primeira vez por Élie Cartan em 1922. A teoria de Einstein-Cartan é a teoria de calibre de Poincaré mais simples .

Visão geral

A teoria de Einstein-Cartan difere da relatividade geral de duas maneiras: (1) é formulada dentro da estrutura da geometria Riemann-Cartan, que possui uma simetria de Lorentz medida localmente, enquanto a relatividade geral é formulada dentro da estrutura da geometria Riemanniana, que não ; (2) é apresentado um conjunto adicional de equações que relacionam a torção ao spin. Essa diferença pode ser fatorada em

relatividade geral (Einstein – Hilbert) → relatividade geral (Palatini) → Einstein – Cartan

primeiro reformulando a relatividade geral em uma geometria Riemann-Cartan, substituindo a ação de Einstein-Hilbert sobre a geometria Riemanniana pela ação Palatini sobre a geometria Riemann-Cartan; e segundo, remover a restrição de torção zero da ação de Palatini, o que resulta no conjunto adicional de equações para spin e torção, bem como a adição de termos extras relacionados ao spin nas próprias equações de campo de Einstein.

A teoria da relatividade geral foi originalmente formulada no cenário da geometria Riemanniana pela ação de Einstein-Hilbert , da qual surgem as equações de campo de Einstein . Na época de sua formulação original, não havia conceito de geometria Riemann-Cartan. Nem houve consciência suficiente do conceito de simetria de calibre para entender que as geometrias Riemannianas não possuem a estrutura necessária para incorporar uma simetria de Lorentz medida localmente , como seria necessária para ser capaz de expressar equações de continuidade e leis de conservação para rotação e impulso simetrias, ou para descrever espinores em geometrias curvas do espaço-tempo. O resultado da adição dessa infraestrutura é uma geometria Riemann-Cartan. Em particular, ser capaz de descrever espinores requer a inclusão de uma estrutura de spin , que é suficiente para produzir tal geometria.

A principal diferença entre uma geometria Riemann-Cartan e a geometria Riemanniana é que na primeira, a conexão afim é independente da métrica, enquanto na última é derivada da métrica como a conexão de Levi-Civita , a diferença entre as duas sendo referido como a contorsão . Em particular, a parte anti-simétrica da conexão (referida como a torção ) é zero para conexões Levi-Civita, como uma das condições definidoras para tais conexões.

Porque a contorção pode ser expressa linearmente em termos de torção, então também é possível traduzir diretamente a ação de Einstein-Hilbert em uma geometria Riemann-Cartan, o resultado sendo a ação Palatini (ver também variação Palatini ). É derivado da reescrita da ação de Einstein-Hilbert em termos da conexão afim e, em seguida, apresentando separadamente uma restrição que força a torção e a contorsão a zero, o que força a conexão afim a ser igual à conexão Levi-Civita. Por ser uma tradução direta das equações de ação e de campo da relatividade geral, expressas em termos da conexão de Levi-Civita, isso pode ser considerado como a própria teoria da relatividade geral, transposta para a estrutura da geometria Riemann-Cartan.

A teoria de Einstein-Cartan relaxa essa condição e, correspondentemente, relaxa a suposição da relatividade geral de que a conexão afim tem uma parte anti-simétrica em desaparecimento ( tensor de torção ). A ação usada é a mesma que a ação Palatini, exceto que a restrição na torção é removida. Isso resulta em duas diferenças da relatividade geral: (1) as equações de campo agora são expressas em termos de conexão afim, ao invés da conexão de Levi-Civita, e assim têm termos adicionais nas equações de campo de Einstein envolvendo a contorção que não estão presentes no equações de campo derivadas da formulação de Palatini; (2) um conjunto adicional de equações estão agora presentes que acoplam a torção ao momento angular intrínseco ( spin ) da matéria, da mesma forma que a conexão afim é acoplada à energia e ao momento da matéria. Na teoria de Einstein-Cartan, a torção é agora uma variável no princípio da ação estacionária que é acoplada a uma formulação de espaço-tempo curva de spin (o tensor de spin ). Essas equações extras expressam a torção linearmente em termos do tensor de spin associado à fonte de matéria, o que implica que a torção geralmente seja diferente de zero dentro da matéria.

Uma consequência da linearidade é que fora da matéria há torção zero, de modo que a geometria exterior permanece a mesma que seria descrita na relatividade geral. As diferenças entre a teoria de Einstein-Cartan e a relatividade geral (formulada em termos da ação de Einstein-Hilbert na geometria Riemanniana ou da ação Palatini na geometria Riemann-Cartan) dependem exclusivamente do que acontece com a geometria dentro das fontes da matéria. Ou seja: "a torção não se propaga". Foram consideradas generalizações da ação de Einstein-Cartan que permitem a propagação da torção.

Como as geometrias Riemann-Cartan têm simetria de Lorentz como uma simetria de calibre local, é possível formular as leis de conservação associadas. Em particular, considerando os tensores métricos e de torção como variáveis ​​independentes dá a generalização correta da lei de conservação para o momento angular total (orbital mais intrínseco) para a presença do campo gravitacional.

História

A teoria foi proposta pela primeira vez por Élie Cartan em 1922 e exposta nos anos seguintes. Albert Einstein afiliou-se à teoria em 1928 durante sua tentativa malsucedida de combinar a torção com o tensor de campo eletromagnético como parte de uma teoria de campo unificado. Essa linha de pensamento o levou à teoria relacionada, mas diferente, do teleparalelismo .

Dennis Sciama e Tom Kibble revisitaram a teoria de forma independente na década de 1960, e uma importante revisão foi publicada em 1976.

A teoria de Einstein-Cartan foi historicamente ofuscada por sua contraparte livre de torção e outras alternativas como a teoria de Brans-Dicke porque a torção parecia adicionar poucos benefícios preditivos às custas da tratabilidade de suas equações. Uma vez que a teoria de Einstein-Cartan é puramente clássica, ela também não aborda totalmente a questão da gravidade quântica . Na teoria de Einstein-Cartan, a equação de Dirac torna-se não linear e, portanto, o princípio de superposição usado nas técnicas usuais de quantização não funcionaria. Recentemente, o interesse na teoria de Einstein-Cartan foi direcionado para implicações cosmológicas , o mais importante, a prevenção de uma singularidade gravitacional no início do universo. A teoria é considerada viável e continua sendo um tópico ativo na comunidade da física.

Equações de campo

As equações de campo de Einstein da relatividade geral podem ser derivadas postulando a ação de Einstein-Hilbert como a verdadeira ação do espaço-tempo e, então, variando essa ação em relação ao tensor métrico. As equações de campo da teoria de Einstein-Cartan vêm exatamente da mesma abordagem, exceto que uma conexão afim assimétrica geral é assumida em vez da conexão simétrica de Levi-Civita (ou seja, o espaço-tempo é assumido como tendo torção além da curvatura ), e então o métrica e torção variam independentemente.

Let representar a densidade Lagrangiana da matéria e representar a densidade Lagrangiana do campo gravitacional. A densidade Lagrangiana para o campo gravitacional na teoria de Einstein-Cartan é proporcional ao escalar de Ricci :

onde é o determinante do tensor métrico, e é uma constante física envolvendo a constante gravitacional e a velocidade da luz . Pelo princípio de Hamilton , a variação da ação total para o campo gravitacional e a matéria desaparece:

A variação em relação ao tensor métrico produz as equações de Einstein:

onde está o tensor de Ricci e é o tensor canônico tensão-energia-momento . O tensor de Ricci não é mais simétrico porque a conexão contém um tensor de torção diferente de zero; portanto, o lado direito da equação também não pode ser simétrico, implicando que deve incluir uma contribuição assimétrica que pode ser mostrada como relacionada ao tensor de spin . Este tensor canônico de energia-momento está relacionado ao tensor simétrico de energia-momento mais familiar pelo procedimento de Belinfante-Rosenfeld .

A variação em relação ao tensor de torção produz as equações de conexão de spin de Cartan

onde está o tensor de spin . Como a equação de torção é uma restrição algébrica em vez de uma equação diferencial parcial , o campo de torção não se propaga como uma onda e desaparece fora da matéria. Portanto, em princípio a torção pode ser eliminada algebricamente da teoria em favor do tensor de spin, que gera uma autointeração não linear "spin-spin" efetiva dentro da matéria.

Evitar singularidades

Teoremas de singularidade que têm como premissa e são formulados dentro do contexto da geometria Riemanniana (por exemplo, teoremas de singularidade de Penrose-Hawking ) não precisam ser válidos na geometria de Riemann-Cartan. Consequentemente, a teoria de Einstein-Cartan é capaz de evitar o problema relativístico geral da singularidade no Big Bang . O acoplamento mínimo entre a torção e os espinores de Dirac gera uma auto-interação spin-spin não linear efetiva, que se torna significativa dentro da matéria fermiônica em densidades extremamente altas. Tal interação é conjecturada para substituir o Big Bang singular por um Big Bounce semelhante a uma cúspide em um fator de escala mínimo, mas finito , antes do qual o universo observável estava se contraindo. Este cenário também explica porque o Universo atual em escalas maiores parece espacialmente plano, homogêneo e isotrópico, fornecendo uma alternativa física para a inflação cósmica . A torção permite que os férmions sejam estendidos espacialmente em vez de "pontuais" , o que ajuda a evitar a formação de singularidades como buracos negros e remove a divergência ultravioleta na teoria quântica de campos. De acordo com a relatividade geral, o colapso gravitacional de uma massa suficientemente compacta forma um buraco negro singular. Na teoria de Einstein-Cartan, em vez disso, o colapso atinge um salto e forma uma ponte Einstein-Rosen regular ( buraco de minhoca ) para um universo novo e crescente do outro lado do horizonte de eventos .

Veja também

Referências

Leitura adicional