Métrica (matemática) - Metric (mathematics)

Uma ilustração comparando a métrica do táxi com a métrica euclidiana no avião: De acordo com a métrica do táxi, os caminhos vermelho, amarelo e azul têm o mesmo comprimento (12). De acordo com a métrica euclidiana, o caminho verde tem comprimento e é o único caminho mais curto.

Em matemática , uma função métrica ou de distância é uma função que fornece uma distância entre cada par de elementos pontuais de um conjunto . Um conjunto com uma métrica é chamado de espaço métrico . Uma métrica induz uma topologia em um conjunto, mas nem todas as topologias podem ser geradas por uma métrica. Um espaço topológico cuja topologia pode ser descrita por uma métrica é denominado metrizável .

Uma fonte importante de métricas na geometria diferencial são os tensores métricos , formas bilineares que podem ser definidas a partir dos vetores tangentes de uma variedade diferenciável em um escalar. Um tensor métrico permite que distâncias ao longo das curvas sejam determinadas por meio da integração e, assim, determina uma métrica.

Definição

Uma métrica em um conjunto X é uma função (chamada função de distância ou simplesmente distância )

onde é o conjunto de números reais não negativos e para todos , os três axiomas a seguir são satisfeitos:

1 identidade de indiscerníveis
2 simetria
3 desigualdade triangular

Uma métrica (conforme definida) é uma função de valor real não negativa. Isso, junto com o axioma 1, fornece uma condição de separação , onde pontos distintos ou separados são precisamente aqueles que têm uma distância positiva entre eles.

O requisito que tem um intervalo de é uma restrição esclarecedora (mas desnecessária) na definição, pois se tivéssemos qualquer função que satisfizesse os mesmos três axiomas, a função poderia ser provada como ainda não negativa como segue (usando os axiomas 1, 3 e 2 nessa ordem):

o que implica .

Uma métrica é chamada de ultramétrica se satisfizer a seguinte versão mais forte da desigualdade do triângulo, onde os pontos nunca podem cair 'entre' outros pontos:

para todos

Uma métrica d em X é chamado intrínseca se quaisquer dois pontos x e y em X podem ser unidos por uma curva com comprimento arbitrariamente perto de d ( x , y ) .

Uma métrica d em um grupo G (escrita multiplicativamente) é considerada invariante à esquerda (resp. Invariante à direita ) se tivermos

[resp. ]

para todos os x , y , e z em L .

Uma métrica em um grupo aditivo comutativo é considerada invariante à translação se para todos ou equivalentemente, se para todos Todo espaço vetorial também é um grupo aditivo comutativo e uma métrica em um espaço vetorial real ou complexo que é induzida por uma norma é sempre translação invariante. Uma métrica em um espaço vetorial real ou complexo é induzida por uma norma se e somente se for invariante à translação e absolutamente homogênea , onde o último significa que para todos os escalares e todos , caso em que a função define uma norma e a métrica canônica induzida por é igual a

Notas

Essas condições expressam noções intuitivas sobre o conceito de distância . Por exemplo, que a distância entre pontos distintos é positiva e a distância de x para y é a mesma que a distância de y para x . A desigualdade do triângulo significa que a distância de x a z via y é pelo menos tão grande quanto de x a z diretamente. Euclides em seu trabalho afirmou que a distância mais curta entre dois pontos é uma linha; essa era a desigualdade do triângulo para sua geometria.

Exemplos

  • A métrica discreta : se x = y, então d ( x , y ) = 0. Caso contrário, d ( x , y ) = 1.
  • A métrica euclidiana é invariante à translação e rotação.
  • A métrica do táxi é invariante à translação.
  • Mais geralmente, qualquer métrica induzida por uma norma é invariante à translação.
  • Se for uma sequência de seminormas definindo um espaço vetorial topológico E ( localmente convexo ) , então
    é uma métrica que define a mesma topologia . (Pode-se substituir por qualquer
    sequência somatória de números estritamente positivos .)
  • O espaço normado é um espaço de Banach , onde o valor absoluto é uma norma na reta real que induz a habitual topologia euclidiano sobre Definir uma métrica em por para todos Assim como  é induzida métrica, a métrica também induz a topologia euclidiano em R . No entanto, não é uma métrica completa porque a sequência definida por uma -Cauchy sequência mas não converge para qualquer ponto de R . Como consequência de não convergir, esta sequência -Cauchy não pode ser uma sequência de Cauchy em (ou seja, não é uma sequência de Cauchy em relação à norma ) porque se fosse -Cauchy, então o fato de ser um espaço de Banach implicaria que ela converge (uma contradição).
  • Métrica de gráfico , uma métrica definida em termos de distâncias em um determinado gráfico.
  • A distância de Hamming na teoria da codificação.
  • Métrica Riemanniana , um tipo de função métrica apropriada para ser imposta a qualquer variedade diferenciável . Para qualquer variedade desse tipo , escolhe-se em cada ponto p uma forma simétrica, definida positiva e bilinear L : T p × T pR no espaço tangente T p em p , fazendo isso de maneira suave. Esta forma determina o comprimento de qualquer vetor tangente v na variedade, por meio da definição . Então, para qualquer caminho diferenciável na variedade, seu comprimento é definido como a integral do comprimento do vetor tangente ao caminho em qualquer ponto, onde a integração é feita em relação ao parâmetro do caminho. Finalmente, para obter uma métrica definida em qualquer par { x , y } de pontos da variedade, toma-se o mínimo, em todos os caminhos de x a y , do conjunto de comprimentos de caminho. Uma variedade lisa equipada com uma métrica Riemanniana é chamada de variedade Riemanniana .
  • A métrica Fubini-Estudo no espaço projetivo complexo . Este é um exemplo de métrica Riemanniana.
  • Métricas de string , como distância de Levenshtein e outras distâncias de edição de string , definem uma métrica sobre strings .
  • A distância de edição do gráfico define uma função de distância entre os gráficos .
  • A métrica de Wasserstein é uma função de distância definida entre duas distribuições de probabilidade .
  • A métrica de Finsler é uma função contínua não negativa F: TM → [0, + ∞) definida no feixe tangente.

Equivalência de métricas

Para um determinado conjunto X , duas métricas d 1 e d 2 são chamadas topologicamente equivalentes ( uniformemente equivalentes ) se o mapeamento de identidade

id: ( X , d 1 ) → ( X , d 2 )

é um homeomorfismo ( isomorfismo uniforme ).

Por exemplo, se é uma métrica, então e são métricas equivalentes a

Métrica induzida por norma

As normas sobre espaços vetoriais são equivalentes a certas métricas, nomeadamente as homogêneas e invariáveis ​​à translação. Em outras palavras, toda norma determina uma métrica e algumas métricas determinam uma norma.

Dado um espaço normado podemos definir uma métrica no chamado métrica induzida por ou simplesmente a norma induzida métrica , por

A métrica é considerada induzida pela norma

Por outro lado, se uma métrica em um espaço vetorial satisfaz as propriedades

  • Invariância de tradução: ;
  • Homogeneidade absoluta : ;

em seguida, uma norma sobre pode ser definido pela

onde a métrica induzida por esta norma é a métrica original fornecida

Da mesma forma, uma seminorma induz uma pseudométrica (veja abaixo), e uma pseudométrica homogênea e invariante à translação induz uma seminorma.

Métricas em multisets

Podemos generalizar a noção de uma métrica de uma distância entre dois elementos para uma distância entre dois multiconjuntos finitos não vazios de elementos. Um multiconjunto é uma generalização da noção de um conjunto de forma que um elemento pode ocorrer mais de uma vez. Defina se é o multiset que consiste nos elementos dos multisets e , ou seja, se ocorre uma vez em e uma vez em , em seguida, ocorre duas vezes em . Uma função de distância no conjunto de multisets finitos não vazios é uma métrica se

  1. se todos os elementos de são iguais e de outra forma ( definição positiva ), ou seja, ( não negatividade mais identidade de indiscerníveis )
  2. é invariante sob todas as permutações de ( simetria )
  3. ( desigualdade triangular )

Observe que a métrica familiar entre dois elementos resulta se o multiconjunto tiver dois elementos em 1 e 2 e os multiconjuntos tiverem um elemento cada em 3. Por exemplo, se consiste em duas ocorrências de , então de acordo com 1.

Um exemplo simples é o conjunto de todos os multisets finitos não vazios de inteiros com . Exemplos mais complexos são distância de informações em multisets; e distância de compressão normalizada (NCD) em multisets.

Métricas generalizadas

Existem inúmeras maneiras de relaxar os axiomas da métrica, dando origem a várias noções de espaços métricos generalizados. Essas generalizações também podem ser combinadas. A terminologia usada para descrevê-los não é totalmente padronizada. Mais notavelmente, na análise funcional, a pseudometria frequentemente vem de seminormas em espaços vetoriais e, portanto, é natural chamá-los de "semimetria". Isso entra em conflito com o uso do termo em topologia .

Métricas estendidas

Alguns autores permitem que a função de distância d atinja o valor ∞, ou seja, as distâncias são números não negativos na reta de número real estendida . Essa função é chamada de métrica estendida ou "∞-métrica". Cada métrica estendida pode ser transformada em uma métrica finita de forma que os espaços métricos sejam equivalentes no que diz respeito às noções de topologia (como continuidade ou convergência ). Isso pode ser feito usando uma função limitada subaditiva monotonicamente crescente que é zero em zero, por exemplo, d ′ ( x , y ) = d ( x , y ) / (1 + d ( x , y )) ou d ″ ( x , y) ) = min (1, d ( x , y )).

O requisito de que a métrica assuma valores em [0, ∞) pode até ser relaxado para considerar métricas com valores em outros conjuntos direcionados . A reformulação dos axiomas, neste caso, leva à construção de espaços uniformes : espaços topológicos com uma estrutura abstrata que permite comparar as topologias locais de diferentes pontos.

Pseudometria

Um pseudométrico em X é uma função que satisfaz os axiomas de uma métrica, exceto que em vez do segundo (identidade de indiscerníveis) apenas d ( x , x ) = 0 para todo x é necessário. Em outras palavras, os axiomas para uma pseudométrica são:

  1. d ( x , y ) ≥ 0
  2. d ( x , x ) = 0 (mas possivelmente d ( x , y ) = 0 para alguns valores distintos xy .)
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )
  4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

Em alguns contextos, a pseudometria é chamada de semimétrica por causa de sua relação com os seminormes .

Quasimetria

Ocasionalmente, um quasimétrico é definido como uma função que satisfaz todos os axiomas de uma métrica com a possível exceção de simetria. O nome dessa generalização não é totalmente padronizado.

  1. d ( x , y ) ≥ 0 ( positividade )
  2. d ( x , y ) = 0 se e somente se   x = y ( definição positiva )
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )( simetria , caiu)
  4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( desigualdade triangular )

A quasimetria é comum na vida real. Por exemplo, dado um conjunto X de aldeias de montanha, os tempos de caminhada típicos entre os elementos de X formam uma quase-metragem porque a subida leva mais tempo do que a descida. Outro exemplo é um táxi geometria topologia com ruas de sentido único, em que um caminho a partir do ponto A para o ponto B compreende um conjunto diferente de ruas do que um caminho de B para A .

Um quasimétrico em reais pode ser definido pela configuração

d ( x , y ) = x - y se xy , e
d ( x , y ) = 1 caso contrário. O 1 pode ser substituído por infinito ou por .

O espaço topológico subjacente a este espaço quasimétrico é a linha Sorgenfrey . Este espaço descreve o processo de lima de uma vara de metal: é fácil reduzir seu tamanho, mas é difícil ou impossível cultivá-la.

Se d é um quasimétrico em X , uma métrica d ' em X pode ser formada tomando

d ' ( x , y ) = 1/2( d ( x , y ) + d ( y , x )).

Metametria

Em uma metamétrica , todos os axiomas de uma métrica são satisfeitos, exceto que a distância entre pontos idênticos não é necessariamente zero. Em outras palavras, os axiomas para uma metamétrica são:

  1. d ( x , y ) ≥ 0
  2. d ( x , y ) = 0 implica x = y (mas não vice-versa).
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )
  4. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

A metametria aparece no estudo dos espaços métricos hiperbólicos de Gromov e seus limites. A metamétrica visual em tal espaço satisfaz d ( x , x ) = 0 para os pontos x na fronteira, mas caso contrário, d ( x , x ) é aproximadamente a distância de x à fronteira. A metametria foi definida pela primeira vez por Jussi Väisälä.

Semimetria

Uma semimétrica em X é uma função que satisfaz os três primeiros axiomas, mas não necessariamente a desigualdade do triângulo:

  1. d ( x , y ) ≥ 0
  2. d ( x , y ) = 0 se e somente se   x = y
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )

Alguns autores trabalham com uma forma mais fraca da desigualdade do triângulo, como:

d ( x , z ) ≤ ρ ( d ( x , y ) + d ( y , z ))  (desigualdade de triângulo relaxado ρ)
d ( x , z ) ≤ ρ max ( d ( x , y ), d ( y , z ))  (desigualdade ρ-inframétrica).

A desigualdade ρ-inframétrica implica a desigualdade do triângulo ρ-relaxado (assumindo o primeiro axioma), e a desigualdade do triângulo ρ-relaxado implica a desigualdade 2ρ-inframétrica. A semimetria que satisfaz essas condições equivalentes às vezes é chamada de "quasimétrica", "quase-métrica" ​​ou inframétrica .

As desigualdades ρ-inframétricas foram introduzidas para modelar tempos de atraso de ida e volta na internet . A desigualdade triangular implica a desigualdade inframétrica 2, e a desigualdade ultramétrica é exatamente a desigualdade inframétrica 1.

Premetrics

Relaxar os três últimos axiomas leva à noção de uma pré - métrica , ou seja, uma função que satisfaça as seguintes condições:

  1. d ( x , y ) ≥ 0
  2. d ( x , x ) = 0

Este não é um termo padrão. Às vezes, é usado para se referir a outras generalizações de métricas, como pseudosemimetria ou pseudometria; nas traduções de livros russos, às vezes aparece como "pramétrico". Uma premétrica que satisfaça a simetria, ou seja, uma pseudosemimétrica, também é chamada de distância.

Qualquer pré-métrica dá origem a uma topologia da seguinte maneira. Para um r real positivo , a bola r centrada em um ponto p é definida como

B r ( p ) = { x | d ( x , p ) <r}.

Um conjunto é denominado aberto se, para qualquer ponto p do conjunto, houver uma bola r centrada em p contida no conjunto. Todo espaço pré-métrico é um espaço topológico e, de fato, um espaço sequencial . Em geral, as próprias r -balls não precisam ser conjuntos abertos com relação a essa topologia. Quanto às métricas, a distância entre os dois conjuntos A e B , é definida como

d ( A , B ) = inf xA , yB d ( x , y ).

Isso define uma pré-métrica no conjunto de potência de um espaço pré-métrico. Se começarmos com um espaço (pseudosemi) métrico, obtemos um espaço pseudo-semimétrico, ou seja, uma pré-métrica simétrica. Qualquer pré-métrica dá origem a um operador de pré - fechamento cl da seguinte forma:

cl ( A ) = { x | d ( x , A ) = 0}.

Pseudoquasimetria

Os prefixos pseudo- , quase e semi- também podem ser combinados, por exemplo, um pseudoquasimétrico (às vezes chamado hemimétrico ) relaxa tanto o axioma de indiscernibilidade quanto o axioma de simetria e é simplesmente uma pré-métrica que satisfaz a desigualdade triangular. Para espaços pseudoquasimétricos, as bolas r abertas formam uma base de conjuntos abertos. Um exemplo muito básico de um espaço pseudoquasimétrico é o conjunto {0,1} com a pré-métrica dada por d (0,1) = 1 e d (1,0) = 0. O espaço topológico associado é o espaço de Sierpiński .

Conjuntos equipados com um pseudoquasimétrico estendido foram estudados por William Lawvere como "espaços métricos generalizados". De um ponto de vista categórico , os espaços pseudométricos estendidos e os espaços pseudoquasimétricos estendidos, junto com seus correspondentes mapas não expansivos, são os mais bem comportados das categorias de espaço métrico. Pode-se tomar produtos e coprodutos arbitrários e formar objetos quocientes dentro de uma determinada categoria. Se alguém descartar "estendido", só poderá pegar produtos e coprodutos finitos. Se abandonarmos o "pseudo", não se poderá tomar quocientes. Os espaços de abordagem são uma generalização dos espaços métricos que mantém essas boas propriedades categóricas.

Distância Łukaszyk-Karmowski

A distância Łukaszyk-Karmowski é uma função que define uma distância entre duas variáveis ​​aleatórias ou dois vetores aleatórios . Os axiomas desta função são:

  1. d ( x , y )> 0
  2. d ( x , y ) = d ( y , x )
  3. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).

Esta função de distância satisfaz a identidade da condição indiscernível se e somente se ambos os argumentos são descritos por funções de distribuição de probabilidade de densidade delta de Dirac idealizadas .

Casos importantes de métricas generalizadas

Na geometria diferencial , considera-se um tensor métrico , que pode ser pensado como uma função métrica quadrática "infinitesimal". Isso é definido como uma forma bilinear simétrica não degenerada no espaço tangente de uma variedade com um requisito de diferenciabilidade apropriado . Embora essas funções não sejam métricas conforme definidas neste artigo, elas induzem o que é chamado de função pseudo-semimétrica pela integração de sua raiz quadrada ao longo de um caminho através da variedade. Se alguém impõe o requisito de definição positiva de um produto interno no tensor métrico, isso se restringe ao caso de uma variedade Riemanniana , e a integração do caminho produz uma métrica.

Na relatividade geral, o conceito relacionado é um tensor métrico (relatividade geral) que expressa a estrutura de uma variedade pseudo-Riemanniana . Embora o termo "métrica" ​​seja usado, a ideia fundamental é diferente porque existem vetores nulos diferentes de zero no espaço tangente dessas variedades, e os vetores podem ter normas quadradas negativas. Essa visão generalizada de "métricas", em que a distância zero não implica identidade, também se infiltrou em alguns escritos matemáticos:

Veja também

Notas

Referências