Disco (matemática) - Disk (mathematics)

Disco com circunferência (C) em preto, diâmetro (D) em ciano, raio (R) em vermelho e centro (O) em magenta.

Em geometria , um disco (também escrito disco ) é a região em um plano delimitado por um círculo . Diz- se que um disco está fechado se contém o círculo que constitui seu limite e aberto se não contém .

Fórmulas

Em coordenadas cartesianas , o disco aberto de centro e raio R é dado pela fórmula ${\ displaystyle (a, b)}$

${\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in {\ mathbb {R} ^ {2}} :( xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} <R ^ {2} \}}$

enquanto o disco fechado do mesmo centro e raio é dado por

${\ displaystyle {\ overline {D}} = \ {(x, y) \ in {\ mathbb {R} ^ {2}} :( xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} \ leq R ^ {2} \}.}$

A área de um disco fechado ou aberto de raio R é π R ² (ver área de um disco ).

Propriedades

O disco tem simetria circular .

O disco aberto e o disco fechado não são topologicamente equivalentes (ou seja, não são homeomórficos ), pois têm propriedades topológicas diferentes entre si. Por exemplo, todo disco fechado é compacto enquanto todo disco aberto não é compacto. No entanto, do ponto de vista da topologia algébrica, eles compartilham muitas propriedades: ambos são contráteis e, portanto, são homotópicos equivalentes a um único ponto. Isto implica que os seus grupos fundamentais são triviais, e todos os grupos de homologia são triviais exceto o 0, que é isomorfo a Z . A característica de Euler de um ponto (e, portanto, também de um disco fechado ou aberto) é 1.

Todo mapa contínuo do disco fechado para si mesmo tem pelo menos um ponto fixo (não exigimos que o mapa seja bijetivo ou mesmo sobrejetivo ); este é o caso n = 2 do teorema do ponto fixo de Brouwer . A afirmação é falsa para o disco aberto:

Considere, por exemplo, a função que mapeia cada ponto do disco da unidade aberta para outro ponto no disco da unidade aberta à direita daquele dado. Mas para o disco da unidade fechada, ele fixa todos os pontos do semicírculo${\ displaystyle f (x, y) = \ left ({\ frac {x + {\ sqrt {1-y ^ {2}}}} {2}}, y \ right)}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1, x> 0.}$

Veja também

• Disco unitário , um disco com raio um
• Anel (matemática) , a região entre dois círculos concêntricos
• Bola (matemática) , o termo usual para o análogo tridimensional de um disco
• Álgebra de disco , um espaço de funções em um disco
• Disco ortocentroidal , contendo certos centros de um triângulo

Referências