Ordem densa - Dense order

Em matemática , uma ordem parcial ou total <em um conjunto é dita como densa se, para todos e em para os quais , existe um em tal que . Ou seja, para quaisquer dois elementos, um a menos que o outro, existe outro elemento entre eles. Para ordens totais, podemos dizer isso mais simplesmente como "para quaisquer dois elementos distintos, há outro elemento entre eles", uma vez que a totalidade implica que dois elementos distintos estão relacionados por , mas isso é falso em geral para ordens parciais porque elementos distintos podem ser incomparável . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x <z <y}$${\ displaystyle <}$

Exemplo

Os números racionais como um conjunto ordenado linearmente são um conjunto densamente ordenado neste sentido, assim como os números algébricos , os números reais , os racionais diádicos e as frações decimais . Na verdade, cada extensão de anel ordenada arquimediana dos inteiros é um conjunto densamente ordenado. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$

Por outro lado, a ordem linear dos inteiros não é densa.

Exclusividade para pedidos densos totais sem endpoints

Georg Cantor provou que cada dois conjuntos contáveis densos totalmente ordenados não vazios sem limites inferior ou superior são isomórficos de ordem . Isso torna a teoria das ordens lineares densas sem limites um exemplo de uma teoria categórica ω onde ω é o menor limite ordinal . Por exemplo, existe um isomorfismo de ordem entre os números racionais e outros conjuntos contáveis ​​densamente ordenados, incluindo os racionais diádicos e os números algébricos . As provas desses resultados usam o método de ida e volta .

A função de ponto de interrogação de Minkowski pode ser usada para determinar os isomorfismos de ordem entre os números algébricos quadráticos e os números racionais , e entre os racionais e os racionais diádicos .

Generalizações

Qualquer binário relação R é dito ser denso se, para todos os R -relacionados x e y , existe um z tais que x e z e, também z e y são R relacionados com. Formalmente:

${\ displaystyle \ forall x \ \ forall y \ xRy \ Rightarrow (\ exists z \ xRz \ land zRy).}$Em alternativa, em termos de composição de R com a própria, a condição denso pode ser expressa como R ⊆ R ° R .

Condições suficientes para uma relação binária R em um conjunto X ser densa são:

• R é reflexivo ;
• R é coreflexivo ;
• R é quase - reflexivo ;
• R é euclidiano esquerdo ou direito ; ou
• R é simétrico e semiconexão e X tem pelo menos 3 elementos.

Nenhum deles é necessário . Por exemplo, existe uma relação R que não é reflexiva, mas densa. Uma relação não vazia e densa não pode ser antitransitiva .

Uma ordem parcial estrita <é uma ordem densa se e somente se <é uma relação densa. Uma relação densa que também é transitiva é considerada idempotente .

Veja também

• Conjunto denso - um subconjunto de um espaço topológico cujo fechamento é todo o espaço
• Denso em si mesmo - um subconjunto de um espaço topológico que não contém um ponto isolado${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$
• Semântica de Kripke - uma relação densa de acessibilidade corresponde ao axioma${\ displaystyle \ Box \ Box A \ rightarrow \ Box A}$

Referências

Leitura adicional

• David Harel , Dexter Kozen , Jerzy Tiuryn, Dynamic logic , MIT Press, 2000, ISBN  0-262-08289-6 , p. 6ff