Deltahedron - Deltahedron

O maior deltaedro estritamente convexo é o icosaedro regular

Este é um tetraedro truncado com hexágonos subdivididos em triângulos. Esta figura não é um deltaedro estritamente convexo, uma vez que faces coplanares não são permitidas na definição.

Em geometria, um deltaedro ( plural deltaedro ) é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros . O nome é retirado do delta grego maiúsculo (Δ), que tem a forma de um triângulo equilátero. Existem infinitos deltaedras, todos tendo um número par de faces pelo lema do aperto de mão . Destes, apenas oito são convexos , com 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 e 20 faces. O número de faces, arestas e vértices está listado abaixo para cada um dos oito deltaedros convexos.

Os oito deltaedros convexos

Existem apenas oito deltaedros estritamente convexos: três são poliedros regulares e cinco são sólidos de Johnson .

Deltahedra regular
Imagem	Nome	Rostos	Arestas	Vértices	Configurações de vértice	Grupo de simetria
	tetraedro	4	6	4	4 × 3 ³	T _d , [3,3]
	octaedro	8	12	6	6 × 3 ⁴	O _h , [4,3]
	icosaedro	20	30	12	12 × 3 ⁵	I _h , [5,3]
Johnson Deltahedra
Imagem	Nome	Rostos	Arestas	Vértices	Configurações de vértice	Grupo de simetria
	bipiramide triangular	6	9	5	2 × 3 ³ 3 × 3 ⁴	D _3h , [3,2]
	bipirâmide pentagonal	10	15	7	5 × 3 ⁴ 2 × 3 ⁵	D _5h , [5,2]
	snub disphenóide	12	18	8	4 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵	D _2d , [2,2]
	prisma triangular triaugmentado	14	21	9	3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵	D _3h , [3,2]
	bipirâmide quadrada giroelongada	16	24	10	2 × 3 ⁴ 8 × 3 ⁵	D _4d , [4,2]

No deltaedro de 6 faces, alguns vértices têm grau 3 e alguns grau 4. Nos deltaedros de 10, 12, 14 e 16 faces, alguns vértices têm grau 4 e alguns graus 5. Esses cinco deltaedros irregulares pertencem a a classe dos sólidos Johnson : poliedros convexos com polígonos regulares para faces.

O deltahedra mantém sua forma mesmo se as arestas estiverem livres para girar em torno de seus vértices, de modo que os ângulos entre as arestas sejam fluidos. Nem todos os poliedros têm essa propriedade: por exemplo, se você relaxar alguns dos ângulos de um cubo , o cubo pode ser deformado em um prisma quadrado incorreto .

Não há deltaedro convexo de 18 faces. No entanto, o icosaedro com a borda contraída dá um exemplo de um octadecaedro que pode ser convexo com 18 faces triangulares irregulares ou feito com triângulos equiláteros que incluem dois conjuntos coplanares de três triângulos.

Casos não estritamente convexos

Existem infinitamente muitos casos com triângulos coplanares, permitindo seções das infinitas telhas triangulares . Se os conjuntos de triângulos coplanares forem considerados uma única face, um conjunto menor de faces, arestas e vértices pode ser contado. As faces triangulares coplanares podem ser fundidas em faces rômbicas, trapezoidais, hexagonais ou outras faces poligonais equiláteras. Cada face deve ser um convexo polyiamond tais como , , , , , , e , ...

Alguns exemplos menores incluem:

Deltaedra coplanar
Nome	Rostos	Arestas	Vértices	Configurações de vértice	Grupo de simetria
Aumento do octaedro aumentado 1 tet + 1 oct	10	15	7	1 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Aumento do octaedro aumentado 1 tet + 1 oct	4 3	12	7	1 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Aumento do trapézio trigonal 2 tets + 1 out	12	18	8	2 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Aumento do trapézio trigonal 2 tets + 1 out	6	12	8	2 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Aumento 2 tets + 1 out	12	18	8	2 × 3 ³ 1 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Aumento 2 tets + 1 out	2 2 2	11	7	2 × 3 ³ 1 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Aumento do tronco triangular 3 tets + 1 out	14	21	9	3 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Aumento do tronco triangular 3 tets + 1 out	1 3 1	9	6	3 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Aumento de octaedro alongado 2 tets + 2 octs	16	24	10	0 × 3 ³ 4 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Aumento de octaedro alongado 2 tets + 2 octs	4 4	12	6	0 × 3 ³ 4 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Aumento do tetraedro 4 tets + 1 oct	16	24	10	4 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Aumento do tetraedro 4 tets + 1 oct	4	6	4	4 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Aumento 3 tets + 2 octs	18	27	11	1 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 5 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Aumento 3 tets + 2 octs	2 1 2 2	14	9	1 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 5 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Icosaedro contraído na borda	18	27	11	0 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 8 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Icosaedro contraído na borda	12 2	22	10	0 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 8 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Aumento do bifrusto triangular 6 tets + 2 octs	20	30	12	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _3h , [3,2]
Aumento do bifrusto triangular 6 tets + 2 octs	2 6	15	9	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _3h , [3,2]
Cúpula triangular Aumento 4 tets + 3 octs	22	33	13	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Cúpula triangular Aumento 4 tets + 3 octs	3 3 1 1	15	9	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Aumento de bipirâmide triangular 8 tets + 2 octs	24	36	14	2 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 9 × 3 ⁶	D _3h , [3]
Aumento de bipirâmide triangular 8 tets + 2 octs	6	9	5	2 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 9 × 3 ⁶	D _3h , [3]
Antiprisma hexagonal	24	36	14	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _6d , [12,2 ⁺ ]
Antiprisma hexagonal	12 2	24	12	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _6d , [12,2 ⁺ ]
Tetraedro truncado Aumento 6 tets + 4 octs	28	42	16	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Tetraedro truncado Aumento 6 tets + 4 octs	4 4	18	12	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Cuboctaedro Tetrakis Octaedro Aumento 8 tets + 6 octs	32	48	18	0 × 3 ³ 12 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	O _h , [4,3]
Cuboctaedro Tetrakis Octaedro Aumento 8 tets + 6 octs	8	12	6	0 × 3 ³ 12 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	O _h , [4,3]

Formas não convexas

Existe um número infinito de formas não convexas.

Alguns exemplos de deltaedra que se cruzam com a face:

Grande icosaedro - um sólido Kepler-Poinsot , com 20 triângulos que se cruzam

Outros deltaedros não convexos podem ser gerados adicionando pirâmides equiláteras às faces de todos os 5 poliedros regulares:

triakis tetraedro	hexaedro de tetraquis	triakis octaedro ( stella octangula )	pentakis dodecaedro	triakis icosaedro

12 triângulos	24 triângulos		60 triângulos

Outros aumentos do tetraedro incluem:

Exemplos: tetraedros aumentados
8 triângulos	10 triângulos	12 triângulos

Também adicionando pirâmides invertidas aos rostos:

Dodecaedro escavado

60 triângulos	48 triângulos
Dodecaedro escavado	Um deltaedro toroidal

Veja também

Politopo Simplicial - politopos com todas as facetas simplex

Referências

Leitura adicional

Rausenberger, O. (1915), "Konvexe pseudoreguläre Polyeder", Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht , 46 : 135-142.
Cundy, H. Martyn (dezembro de 1952), "Deltahedra", Mathematical Gazette , 36 : 263–266, doi : 10.2307 / 3608204 , JSTOR 3608204.
Cundy, H. Martyn ; Rollett, A. (1989), "3.11. Deltahedra", Mathematical Models (3rd ed.), Stradbroke, England: Tarquin Pub., Pp. 142-144.
Gardner, Martin (1992), Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations from Scientific American , New York: WH Freeman, pp. 40, 53 e 58-60.
Pugh, Anthony (1976), Polyhedra: A visual approach , Califórnia: University of California Press Berkeley, ISBN 0-520-03056-7 pp. 35-36

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