Forma quadrática definida - Definite quadratic form

Em matemática , uma forma quadrática definitiva é uma forma quadrática sobre algum verdadeiro espaço vetorial $V$ que tem o mesmo sinal (sempre positivos ou sempre negativos) para cada vector diferente de zero de $V$ . De acordo com esse sinal, a forma quadrática é chamada de definida positiva ou definida negativa .

Uma forma quadrática semidefinida (ou semidefinida ) é definida da mesma maneira, exceto que "sempre positivo" e "sempre negativo" são substituídos por "sempre não negativo" e "sempre não positivo", respectivamente. Em outras palavras, pode assumir valores zero.

Uma forma quadrática indefinida assume valores positivos e negativos e é chamada de forma quadrática isotrópica .

De forma mais geral, essas definições se aplicam a qualquer espaço vetorial em um campo ordenado .

Forma bilinear simétrica associada

As formas quadráticas correspondem um a um a formas bilineares simétricas no mesmo espaço. Uma forma bilinear simétrica também é descrita como definida , semidefinida , etc. de acordo com sua forma quadrática associada. Uma forma quadrática $Q$ e sua forma bilinear simétrica associada $B$ são relacionadas pelas seguintes equações:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} Q (x) & = B (x, x) \\ B (x, y) & = B (y, x) = {\ frac {1} {2}} (Q (x + y) -Q (x) -Q (y)) \ end {alinhado}}}

A última fórmula surge da expansão . ${\ displaystyle Q (x + y) = B (x + y, x + y)}$

Exemplos

Como exemplo, deixe e considere a forma quadrática ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {2}}$

{\ displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2}}

onde $x = (x 1, x 2)$ e $c$ $1$ e $c$ $2$ são constantes. Se $c$ $1$ $> 0$ e $c$ $2$ $> 0$ , a forma quadrática $Q$ é definida positiva, então Q avalia como um número positivo sempre que uma das constantes for positiva e a outra é 0, então $Q$ é semidefinida positiva e sempre avaliada como 0 ou um número positivo. Se $c$ $1$ $> 0$ e $c$ $2$ $<0$ , ou vice-versa, então $Q$ é indefinido e às vezes é avaliado como um número positivo e às vezes negativo. Se $c$ $1$ $<0$ e $c$ $2$ $<0$ , a forma quadrática é definida negativa e sempre avaliada como um número negativo sempre que E se uma das constantes for negativa e a outra 0, então $Q$ é semidefinida negativa e sempre avaliada como 0 ou um número negativo. ${\ displaystyle \ in V}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0).}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0).}$

Em geral, uma forma quadrática em duas variáveis também envolverá um termo de produto cruzado em x ₁x ₂ :

{\ displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2} + 2c_ {3} x_ {1} x_ {2} .}

Esta forma quadrática é definida positiva se e negativa definitiva se e e indefinida se É semidefinite positivo ou negativo se com o sinal da coincidindo semidefiniteness com o sinal da ${\ displaystyle c_ {1}> 0}$ ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}> 0,}$ ${\ displaystyle c_ {1} <0}$ ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}> 0,}$ ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} <0.}$ ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0,}$ ${\ displaystyle c_ {1}.}$

Esta forma quadrática bivariada aparece no contexto de seções cônicas centradas na origem. Se a forma quadrática geral acima for igualada a 0, a equação resultante é a de uma elipse se a forma quadrática for positiva ou definida negativa, uma hipérbole se for indefinida e uma parábola se ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0.}$

O quadrado da norma euclidiana no espaço n- dimensional, a medida de distância mais comumente usada, é

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}.}

Em duas dimensões, isso significa que a distância entre dois pontos é a raiz quadrada da soma das distâncias quadradas ao longo do eixo e do eixo. ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$

Forma de matriz

Uma forma quadrática pode ser escrita em termos de matrizes como

{\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Ax}

onde x é qualquer n × 1 cartesiano vector em que nem todos os elementos são 0, sobrescrito ^T denota uma transposição , e um é um n × n matriz simétrica . Se A for diagonal, isso é equivalente a uma forma não matricial contendo apenas termos envolvendo variáveis quadradas; mas se A tiver qualquer elemento diferente de zero fora da diagonal, a forma não matricial também conterá alguns termos envolvendo produtos de duas variáveis diferentes. ${\ displaystyle (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) ^ {\ text {T}}}$

Definitividade positiva ou negativa ou semi-definição, ou indefinição, desta forma quadrática é equivalente à mesma propriedade de A , que pode ser verificada considerando todos os autovalores de A ou verificando os sinais de todos os seus menores principais .

Otimização

Formas quadráticas definidas se prestam prontamente a problemas de otimização . Suponha que a forma quadrática da matriz seja aumentada com termos lineares, como

{\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Ax + 2b ^ {\ text {T}} x,}

onde b é um vetor n × 1 de constantes. As condições de primeira ordem para um máximo ou mínimo são encontradas definindo a derivada da matriz para o vetor zero:

{\ displaystyle 2Ax + 2b = 0,}

dando

{\ displaystyle x = -A ^ {- 1} b}

presumindo que A não seja singular . Se a forma quadrática, e portanto A , é definida positiva, as condições de segunda ordem para um mínimo são satisfeitas neste ponto. Se a forma quadrática for definida negativa, as condições de segunda ordem para um máximo são satisfeitas.

Um exemplo importante de tal otimização surge na regressão múltipla , na qual um vetor de parâmetros estimados é buscado que minimiza a soma dos desvios quadrados de um ajuste perfeito dentro do conjunto de dados.

Veja também

Notas

Referências

Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas quadráticas . Cambridge Tracts in Mathematics. 106 . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 .
Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (quarta impressão corrigida, terceira edição revisada), Nova York: Springer-Verlag, p. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineares simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .

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