Número real definível - Definable real number

A raiz quadrada de 2 é igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com pernas de comprimento 1 e é, portanto, um número construtível

Informalmente, um número real definível é um número real que pode ser especificado exclusivamente por sua descrição. A descrição pode ser expressa como uma construção ou como uma fórmula de uma linguagem formal . Por exemplo, a raiz quadrada positiva de 2,, pode ser definida como a única solução positiva para a equação e pode ser construída com um compasso e régua.

Diferentes escolhas de uma linguagem formal ou sua interpretação dão origem a diferentes noções de definibilidade. Variedades específicas de números definíveis incluem os números construtíveis da geometria, os números algébricos e os números computáveis . Como as linguagens formais só podem ter muitas fórmulas contáveis , toda noção de números definíveis tem, no máximo, muitos números reais definíveis contáveis. No entanto, pelo argumento diagonal de Cantor , existem incontáveis ​​muitos números reais, então quase todos os números reais são indefiníveis.

Números construtíveis

Uma maneira de especificar um número real usa técnicas geométricas. Um número real é um número construtível se houver um método para construir um segmento de linha de comprimento usando uma bússola e régua, começando com um segmento de linha fixa de comprimento 1.

Cada número inteiro positivo e cada número racional positivo podem ser construídos. A raiz quadrada positiva de 2 é construtível. No entanto, a raiz cúbica de 2 não é construtível; isso está relacionado à impossibilidade de dobrar o cubo .

Números algébricos reais

Números algébricos no plano complexo coloridos por graus (vermelho = 1, verde = 2, azul = 3, amarelo = 4)

Um número real é chamado de número algébrico real se houver um polinômio , com apenas coeficientes inteiros, de modo que seja uma raiz de , isto é ,. Cada número algébrico real pode ser definido individualmente usando a relação de ordem dos reais. Por exemplo, se um polinômio tem 5 raízes reais, a terceira pode ser definida como única tal que e tal que haja dois números distintos menores do que em que é zero.

Todos os números racionais são algébricos e todos os números construtíveis são algébricos. Existem números, como a raiz cúbica de 2, que são algébricos, mas não construtíveis.

Os números algébricos reais formam um subcampo dos números reais. Isto significa que 0 e 1 são números algébricos e, além disso, se e são números algébricos, em seguida, por isso são , , e, se for diferente de zero, .

Os números algébricos reais também têm a propriedade, que vai além de ser um subcampo dos reais, de que para cada número inteiro positivo e cada número algébrico real , todas as raízes desses números reais também são algébricas.

Existem apenas muitos números algébricos contáveis , mas existem muitos números reais, portanto, no sentido de cardinalidade, a maioria dos números reais não são algébricos. Esta prova não construtiva de que nem todos os números reais são algébricos foi publicada pela primeira vez por Georg Cantor em seu artigo de 1874 " Sobre uma propriedade da coleção de todos os números algébricos reais ".

Os números não algébricos são chamados de números transcendentais . Os números transcendentais mais conhecidos são π e e .

Números reais computáveis

Um número real é um número computável se houver um algoritmo que, dado um número natural , produz uma expansão decimal para o número com precisão de casas decimais. Essa noção foi introduzida por Alan Turing em 1936.

Os números computáveis ​​incluem os números algébricos junto com muitos números transcendentais, incluindo e . Como os números algébricos, os números computáveis ​​também formam um subcampo dos números reais, e os números computáveis ​​positivos são fechados tomando as raízes para cada positivo .

Nem todos os números reais são computáveis. Exemplos específicos de números reais não computáveis ​​incluem os limites das sequências de Specker e números reais aleatórios por algoritmos , como os números Ω de Chaitin .

Definibilidade em aritmética

Outra noção de definibilidade vem das teorias formais da aritmética, como a aritmética de Peano . A linguagem da aritmética tem símbolos para 0, 1, a operação sucessora, adição e multiplicação, destinados a serem interpretados da maneira usual sobre os números naturais . Como nenhuma variável dessa linguagem ultrapassa os números reais , um tipo diferente de definibilidade é necessário para se referir a números reais. Um número real é definível na linguagem da aritmética (ou aritmética ) se seu corte Dedekind pode ser definido como um predicado nessa linguagem; ou seja, se houver uma fórmula de primeira ordem na linguagem da aritmética, com três variáveis ​​livres, de modo que

Aqui m , n e p variam em números inteiros não negativos.

A linguagem da aritmética de segunda ordem é a mesma que a linguagem de primeira ordem, exceto que variáveis ​​e quantificadores podem variar em conjuntos de naturais. Um real definível de segunda ordem na linguagem da aritmética é denominado analítico .

Todo número real computável é aritmético, e os números aritméticos formam um subcampo dos reais, assim como os números analíticos. Todo número aritmético é analítico, mas nem todo número analítico é aritmético. Como há apenas muitos números analíticos contáveis, a maioria dos números reais não é analítica e, portanto, também não é aritmética.

Todo número computável é aritmético, mas nem todo número aritmético é computável. Por exemplo, o limite de uma sequência Specker é um número aritmético que não é computável.

As definições de reais aritméticos e analíticos podem ser estratificados em hierarquia aritmética e hierarquia analítica . Em geral, um real é computável se e somente se seu corte Dedekind estiver no nível da hierarquia aritmética, um dos níveis mais baixos. Da mesma forma, os reais com cortes aritméticos de Dedekind formam o nível mais baixo da hierarquia analítica.

Definibilidade em modelos de ZFC

Um número real é definível de primeira ordem na linguagem da teoria dos conjuntos, sem parâmetros , se houver uma fórmula na linguagem da teoria dos conjuntos , com uma variável livre , tal que é o único número real tal que se mantém. Essa noção não pode ser expressa como uma fórmula na linguagem da teoria dos conjuntos.

Todos os números analíticos e, em particular, todos os números computáveis, são definíveis na linguagem da teoria dos conjuntos. Assim, os números reais definíveis na linguagem da teoria dos conjuntos incluem todos os números reais familiares, tais como 0 , 1 , , , et cetera, juntamente com todos os números algébricos. Supondo que eles formem um conjunto no modelo, os números reais definíveis na linguagem da teoria dos conjuntos sobre um modelo particular de ZFC formam um campo.

Cada modelo de conjunto da teoria de conjuntos ZFC que contém incontáveis ​​números reais deve conter números reais que não são definíveis internamente (sem parâmetros). Isso decorre do fato de que existem apenas contáveis ​​muitas fórmulas e, portanto, apenas contáveis ​​muitos elementos de podem ser definíveis . Assim, se houver incontáveis ​​números reais, pode-se provar "de fora" que nem todo número real de é definível over .

Esse argumento se torna mais problemático se for aplicado a modelos de classe de ZFC, como o universo de von Neumann . A afirmação "o número real é definível sobre o modelo de classe " não pode ser expressa como uma fórmula de ZFC. Da mesma forma, a questão de saber se o universo de von Neumann contém números reais que ele não pode definir não pode ser expressa como uma frase na linguagem de ZFC. Além disso, existem modelos contáveis ​​de ZFC em que todos os números reais, todos os conjuntos de números reais, funções sobre os reais, etc. são definíveis.

Veja também

Referências