Harmônica cúbica - Cubic harmonic

Harmônicas cúbicas

Em campos como química computacional e física do estado sólido e da matéria condensada, os chamados orbitais atômicos , ou orbitais de spin , conforme aparecem nos livros de física quântica, são frequentemente parcialmente substituídos por harmônicos cúbicos por uma série de razões. Esses harmônicos são geralmente chamados de harmônicos tesserais no campo da física da matéria condensada, em que o nome harmônicos kubic se refere às representações irredutíveis no grupo de pontos cúbicos.

Introdução

Os orbitais atômicos semelhantes ao hidrogênio com número quântico principal e número quântico de momento angular são frequentemente expressos como

em que é a parte radial da função de onda e é a parte dependente angular. O são as harmónicas esféricas , que são soluções do momento angular do operador. Os harmônicos esféricos são representações de funções do grupo de rotação completa SO (3) com simetria rotacional. Em muitos campos da física e da química, esses harmônicos esféricos são substituídos por harmônicos cúbicos porque a simetria rotacional do átomo e seu ambiente são distorcidas ou porque os harmônicos cúbicos oferecem benefícios computacionais.

Simetria e sistema de coordenadas

Em muitos casos, especialmente em química e física do estado sólido e da matéria condensada , o sistema sob investigação não tem simetria rotacional. Freqüentemente, tem algum tipo de simetria inferior , com uma representação especial de grupo de pontos , ou não tem nenhuma simetria espacial . Os sistemas biológicos e bioquímicos , como aminoácidos e enzimas, geralmente pertencem a grupos de pontos de baixa simetria molecular . Os cristais sólidos dos elementos geralmente pertencem aos grupos espaciais e grupos de pontos com alta simetria. (As representações de harmônicas cúbicas são frequentemente listadas e referenciadas em tabelas de grupos de pontos .) O sistema tem pelo menos uma orientação fixa no espaço euclidiano tridimensional . Portanto, o sistema de coordenadas que é usado em tais casos é mais freqüentemente um sistema de coordenadas cartesianas em vez de um sistema de coordenadas esféricas . Em um sistema de coordenadas cartesianas, os orbitais atômicos são frequentemente expressos como

com os harmônicos cúbicos , , como um conjunto de base . Cálculos de LCAO e MO em química computacional ou cálculos de ligação rígida em física de estado sólido usam harmônicos cúbicos como uma base orbital atômica. Os índices lc denotam algum tipo de representação cartesiana.

Transformações de base

Para as representações dos harmônicos esféricos, um sistema de coordenadas esféricas é escolhido com um eixo principal na direção z . Para os harmônicos cúbicos, este eixo também é a escolha mais conveniente. Para estados de maior momento angular, o número quântico e uma dimensão mais alta do número de rotações possíveis ou transformações de base no espaço de Hilbert aumentam e também o número de representações ortogonais possíveis que podem ser construídas com base no conjunto de bases de harmônicas esféricas -dimensional. Há mais liberdade para escolher uma representação que se ajuste à simetria do grupo de pontos do problema. As representações cúbicas listadas na tabela são o resultado das transformações, que são rotações 2D de 45 ° e uma rotação de 90 ° em relação ao eixo real se necessário, como

Um número substancial de harmônicos esféricos está listado na Tabela de harmônicos esféricos .

Benefícios computacionais

Íon ferricianeto , usado para fazer 'Turnbull's blue' com um íon Fe 3+ central octaedricamente rodeado .

Em primeiro lugar, os harmônicos cúbicos são funções reais , enquanto os harmônicos esféricos são funções complexas . Os números complexos são bidimensionais com uma parte real e uma parte imaginária. Os números complexos oferecem ferramentas muito atraentes e eficazes para resolver problemas matemáticos analiticamente, mas não são muito eficazes quando são usados ​​para cálculos numéricos. Ignorar a parte imaginária economiza metade do esforço de cálculo em somas, um fator de quatro em multiplicações e muitas vezes fatores de oito ou até mais quando se trata de cálculos envolvendo matrizes.

Os harmônicos cúbicos freqüentemente se ajustam à simetria do potencial ou ao redor de um átomo. Um entorno comum de átomos em sólidos e complexos químicos é um entorno octaédrico com uma simetria de grupo de ponto cúbico octaédrico . As representações dos harmônicos cúbicos freqüentemente têm uma alta simetria e multiplicidade, de modo que operações como integrações podem ser reduzidas a uma parte limitada ou irredutível do domínio da função que deve ser avaliada. Um problema com a simetria O h octaédrica de 48 vezes pode ser calculado muito mais rápido se alguém limitar um cálculo, como uma integração, à parte irredutível do domínio da função.

Tabela de harmônicos cúbicos

Os orbitais s

Os orbitais s possuem apenas uma parte radial.

n = 1 2 3 4 5 6 7
R n0 S1M0.png S2M0.png S3M0.png S4M0.png S5M0.png S6M0.png S7M0.png

Os orbitais p

Os três orbitais p são orbitais atômicos com um número quântico de momento angular ℓ = 1 . A expressão harmônica cúbica dos orbitais p

com

p z p x p y
P2M0.png P2y.png P2x.png

Os orbitais d

Os cinco orbitais d são orbitais atômicos com um número quântico de momento angular ℓ = 2 . A parte angular dos orbitais d são frequentemente expressos como

A parte angular dos orbitais d são os harmônicos cúbicos

com

d z 2 d xz d yz d xy d x 2 -y 2
D3M0.png D3yz.png D3xz.png D3x2-y2.png D3xy.png

Os orbitais f

Os sete orbitais f são orbitais atômicos com um número quântico de momento angular ℓ = 3 . frequentemente expresso como

A parte angular dos orbitais f são os harmônicos cúbicos . Em muitos casos, diferentes combinações lineares de harmônicas esféricas são escolhidas para construir um conjunto de base orbital f cúbica.

com

f z 3 f xz 2 f yz 2 f xyz f z (x 2 -y 2 ) f x (x 2 -3y 2 ) f y (3x 2 -y 2 )
F4M0.png F4yz2.png F4xz2.png F4z (x2-y2) .png F4xyz.png F4y (3x2-y2) .png F4x (x2-3y2) .png

Veja também

Referências