Seção transversal (física) - Cross section (physics)

Na física, a seção transversal é uma medida da probabilidade de que um processo específico ocorra quando algum tipo de excitação radiante (por exemplo, um feixe de partícula, onda sonora, luz ou um raio-X) cruza um fenômeno localizado (por exemplo, uma partícula ou flutuação de densidade). Por exemplo, a seção transversal de Rutherford é uma medida de probabilidade de que uma partícula alfa seja desviada por um determinado ângulo durante uma colisão com um núcleo atômico . A seção transversal é normalmente denotada por σ ( sigma ) e é expressa em unidades de área, mais específica em celeiros . De certa forma, pode ser pensado como o tamanho do objeto que a excitação deve atingir para que o processo ocorra, mas, mais exatamente, é um parâmetro de um processo estocástico .

Na física clássica , essa probabilidade muitas vezes converge para uma proporção determinística da energia de excitação envolvida no processo, de modo que, por exemplo, com o espalhamento da luz de uma partícula, a seção transversal especifica a quantidade de potência óptica espalhada da luz de uma determinada irradiância (potência por área). É importante notar que embora a seção transversal tenha as mesmas unidades que a área, a seção transversal pode não corresponder necessariamente ao tamanho físico real do alvo dado por outras formas de medição. Não é incomum que a área da seção transversal real de um objeto de dispersão seja muito maior ou menor do que a seção transversal em relação a algum processo físico. Por exemplo, as nanopartículas plasmônicas podem ter seções transversais de espalhamento de luz para frequências específicas que são muito maiores do que suas áreas transversais reais.

Quando duas partículas discretas interagem na física clássica, sua seção transversal mútua é a área transversal ao seu movimento relativo dentro da qual elas devem se encontrar para se espalharem . Se as partículas são esferas inelásticas duras que interagem apenas no contato, sua seção transversal de espalhamento está relacionada ao seu tamanho geométrico. Se as partículas interagem por meio de alguma força de ação à distância, como eletromagnetismo ou gravidade , sua seção transversal de espalhamento é geralmente maior do que seu tamanho geométrico.

Quando uma seção transversal é especificada como o limite diferencial de uma função de alguma variável de estado final, como ângulo de partícula ou energia, é chamada de seção transversal diferencial (consulte a discussão detalhada abaixo). Quando uma seção transversal é integrada sobre todos os ângulos de espalhamento (e possivelmente outras variáveis), é chamada de seção transversal total ou seção transversal total integrada . Por exemplo, no espalhamento Rayleigh , a intensidade espalhada nos ângulos para frente e para trás é maior do que a intensidade espalhada lateralmente, então a seção transversal de espalhamento diferencial direto é maior do que a seção transversal diferencial perpendicular e adicionando todas as seções transversais infinitesimais sobre toda a gama de ângulos com cálculo integral, podemos encontrar a seção transversal total.

Seções transversais de espalhamento podem ser definidas em física nuclear , atômica e de partículas para colisões de feixes acelerados de um tipo de partícula com alvos (estacionários ou móveis) de um segundo tipo de partícula. A probabilidade de qualquer reação ocorrer é proporcional à sua seção transversal. Assim, especificar a seção transversal para uma dada reação é um proxy para declarar a probabilidade de que um dado processo de espalhamento ocorrerá.

A taxa de reação medida de um determinado processo depende fortemente de variáveis ​​experimentais, como a densidade do material alvo, a intensidade do feixe, a eficiência de detecção do aparelho ou o ajuste do ângulo do aparelho de detecção. No entanto, essas quantidades podem ser fatoradas, permitindo a medição da seção transversal colisional de duas partículas subjacente.

As seções transversais de espalhamento diferencial e total estão entre as quantidades mensuráveis ​​mais importantes em física nuclear , atômica e de partículas .

Colisão entre partículas de gás

Figura 1. Em um gás de partículas de diâmetro individual 2 r , a seção transversal σ , para colisões, está relacionada com a densidade do número de partículas n , e o caminho livre médio entre as colisões λ .

Em um gás de partículas de tamanho finito, há colisões entre as partículas que dependem de seu tamanho de seção transversal. A distância média que uma partícula percorre entre as colisões depende da densidade das partículas de gás. Essas quantidades são relacionadas por

Onde

σ é a seção transversal de uma colisão de duas partículas (unidades SI : m 2 ),
λ é o caminho livre médio entre as colisões (unidades SI: m),
n é a densidade numérica das partículas alvo (unidades SI: m −3 ).

Se as partículas no gás podem ser tratadas como esferas duras de raio r que interagem por contato direto, conforme ilustrado na Figura 1, então a seção transversal efetiva para a colisão de um par é

Se as partículas no gás interagirem por uma força com um alcance maior do que seu tamanho físico, então a seção transversal é uma área efetiva maior que pode depender de uma variedade de variáveis, como a energia das partículas.

As seções transversais podem ser calculadas para colisões atômicas, mas também são usadas no domínio subatômico. Por exemplo, na física nuclear um "gás" de nêutrons de baixa energia colide com núcleos em um reator ou outro dispositivo nuclear, com uma seção transversal que é dependente de energia e, portanto, também com um caminho livre médio bem definido entre as colisões.

Atenuação de um feixe de partículas

Se um feixe de partículas entrar em uma camada fina de material de espessura d z , o fluxo Φ do feixe diminuirá em d Φ de acordo com

onde σ é a seção transversal total de todos os eventos, incluindo espalhamento , absorção ou transformação para outra espécie. A densidade numérica dos centros de espalhamento é designada por n . Resolver esta equação exibe a atenuação exponencial da intensidade do feixe:

onde Φ 0 é o fluxo inicial e z é a espessura total do material. Para a luz, isso é chamado de lei Beer-Lambert .

Seção transversal diferencial

Considere uma medição clássica em que uma única partícula é espalhada por uma única partícula alvo estacionária. Convencionalmente, um sistema de coordenadas esféricas é usado, com o alvo colocado na origem e o eixo z deste sistema de coordenadas alinhado com o feixe incidente. O ângulo θ é o ângulo de espalhamento , medido entre o feixe incidente e o feixe espalhado, e o φ é o ângulo azimutal .

Seção transversal diferencial.svg

O parâmetro de impacto b é o deslocamento perpendicular da trajetória da partícula de entrada e a partícula de saída emerge em um ângulo θ . Para uma dada interação ( colombiana , magnética , gravitacional , contato, etc.), o parâmetro de impacto e o ângulo de espalhamento têm uma dependência funcional definida um para um do outro. Geralmente, o parâmetro de impacto não pode ser controlado nem medido de evento para evento e assume-se que assume todos os valores possíveis ao calcular a média de muitos eventos de espalhamento. O tamanho diferencial da seção transversal é o elemento de área no plano do parâmetro de impacto, ou seja, d σ = b d φ d b . A faixa angular diferencial da partícula espalhada no ângulo θ é o elemento de ângulo sólido d Ω = sen θ d θ d φ . A seção transversal diferencial é o quociente dessas quantidades, d σ/d Ω.

É uma função do ângulo de espalhamento (e, portanto, também do parâmetro de impacto), além de outros observáveis, como o momento da partícula que chega. A seção transversal diferencial é sempre considerada positiva, embora parâmetros de impacto maiores geralmente produzam menos deflexão. Em situações de simetria cilíndrica (em torno do eixo do feixe), o ângulo azimutal φ não é alterado pelo processo de espalhamento, e a seção transversal diferencial pode ser escrita como

.

Em situações em que o processo de espalhamento não é azimutalmente simétrico, como quando o feixe ou partículas alvo possuem momentos magnéticos orientados perpendicularmente ao eixo do feixe, a seção transversal diferencial também deve ser expressa em função do ângulo azimutal.

Para o espalhamento de partículas de fluxo incidente F inc fora de um alvo estacionário que consiste em muitas partículas, a seção transversal diferenciald σ/d Ωem um ângulo ( θ , φ ) está relacionado ao fluxo de detecção de partículas dispersas F out ( θ , φ ) em partículas por unidade de tempo por

Aqui Δ Ω é o tamanho angular finito do detector (unidade SI: sr ), n é a densidade numérica das partículas alvo (unidades SI: m −3 ) e t é a espessura do alvo estacionário (unidades SI: m ) Esta fórmula assume que o alvo é fino o suficiente para que cada partícula do feixe interaja com no máximo uma partícula alvo.

A seção transversal total σ pode ser recuperada integrando a seção transversal diferenciald σ/d Ωsobre o ângulo sólido completo ( esteradianos):

É comum omitir o qualificador “diferencial” quando o tipo de seção transversal pode ser inferido a partir do contexto. Nesse caso, σ pode ser referido como a seção transversal integral ou a seção transversal total . O último termo pode ser confuso em contextos onde vários eventos estão envolvidos, uma vez que "total" também pode se referir à soma das seções transversais de todos os eventos.

A seção transversal diferencial é uma quantidade extremamente útil em muitos campos da física, pois medi-la pode revelar uma grande quantidade de informações sobre a estrutura interna das partículas alvo. Por exemplo, a seção transversal diferencial do espalhamento de Rutherford forneceu fortes evidências da existência do núcleo atômico.

Em vez do ângulo sólido, a transferência de momento pode ser usada como a variável independente das seções transversais diferenciais.

As seções transversais diferenciais no espalhamento inelástico contêm picos de ressonância que indicam a criação de estados metaestáveis ​​e contêm informações sobre sua energia e tempo de vida.

Espalhamento quântico

No formalismo independente do tempo de espalhamento quântico , a função de onda inicial (antes do espalhamento) é considerada uma onda plana com momento definido k :

onde z e r são as coordenadas relativas entre o projétil e o alvo. A seta indica que isso apenas descreve o comportamento assintótico da função de onda quando o projétil e o alvo estão muito distantes um do outro para que a interação tenha qualquer efeito.

Depois que o espalhamento ocorre, espera-se que a função de onda assuma a seguinte forma assintótica:

onde f é alguma função das coordenadas angulares conhecidas como amplitude de espalhamento . Esta forma geral é válida para qualquer interação conservadora de energia de curto alcance. Não é verdade para interações de longo alcance, portanto, há complicações adicionais ao lidar com interações eletromagnéticas.

A função de onda completa do sistema se comporta assintoticamente como a soma

A seção transversal diferencial está relacionada à amplitude de espalhamento:

Isso tem uma interpretação simples como a densidade de probabilidade para encontrar o projétil espalhado em um determinado ângulo.

Uma seção transversal é, portanto, uma medida da área de superfície efetiva vista pelas partículas em choque e, como tal, é expressa em unidades de área. A seção transversal de duas partículas (isto é, observada quando as duas partículas estão colidindo uma com a outra) é uma medida do evento de interação entre as duas partículas. A seção transversal é proporcional à probabilidade de ocorrer uma interação; por exemplo, em um experimento de espalhamento simples, o número de partículas espalhadas por unidade de tempo (corrente de partículas espalhadas I r ) depende apenas do número de partículas incidentes por unidade de tempo (corrente de partículas incidentes I i ), as características do alvo ( por exemplo, o número de partículas por unidade de superfície N ) e o tipo de interação. Para ≪ 1 , temos

Relação com a matriz S

Se as massas e momentos reduzidos do sistema de colisão são m i , p i e m f , p f antes e depois da colisão, respectivamente, a seção transversal diferencial é dada por

onde a matriz T on-shell é definida por

em termos de o S-matriz . Aqui, δ é a função delta de Dirac . O cálculo da matriz S é o objetivo principal da teoria de espalhamento .

Unidades

Embora a unidade SI de seções transversais totais seja m 2 , unidades menores são geralmente usadas na prática.

Em física nuclear e de partículas, a unidade convencional é o celeiro b , onde 1 b = 10 −28  m 2 = 100  fm 2 . Unidades prefixadas menores , como mb e μb, também são amplamente utilizadas. Correspondentemente, a seção transversal diferencial pode ser medida em unidades como mb / sr.

Quando a radiação espalhada é luz visível, é convencional medir o comprimento do caminho em centímetros . Para evitar a necessidade de fatores de conversão, a seção transversal de espalhamento é expressa em cm 2 e a concentração de número em cm −3 . A medição do espalhamento da luz visível é conhecida como nefelometria e é eficaz para partículas de 2–50  µm de diâmetro: como tal, é amplamente utilizada em meteorologia e na medição da poluição atmosférica .

O espalhamento de raios-X também pode ser descrito em termos de seções transversais de espalhamento, caso em que o ångström quadrado é uma unidade conveniente: 1 Å 2 = 10 −20  m 2 =10 000  pm 2 = 10 8  b. A soma das seções transversais de espalhamento, fotoelétrica e produção de pares (em celeiros) é representada como o "coeficiente de atenuação atômica" (feixe estreito) em celeiros.

Dispersão de luz

Para luz, como em outras configurações, a seção transversal de espalhamento para partículas é geralmente diferente da seção transversal geométrica da partícula e depende do comprimento de onda da luz e da permissividade , forma e tamanho da partícula. A quantidade total de espalhamento em um meio esparso é proporcional ao produto da seção transversal de espalhamento e o número de partículas presentes.

Na interação da luz com as partículas, muitos processos ocorrem, cada um com suas próprias seções transversais, incluindo absorção , espalhamento e fotoluminescência . A soma das seções transversais de absorção e espalhamento às vezes é chamada de seção transversal de atenuação ou extinção.

A seção transversal de extinção total está relacionada à atenuação da intensidade da luz através da lei de Beer-Lambert , que diz que a atenuação é proporcional à concentração de partículas:

onde A λ é a atenuação em um determinado comprimento de onda λ , C é a concentração de partículas como uma densidade numérica e l é o comprimento do caminho . A absorbância da radiação é o logaritmo ( decádico ou, mais comumente, natural ) do recíproco da transmitância T :

Combinar as seções transversais de espalhamento e absorção desta maneira é muitas vezes necessária pela incapacidade de distingui-los experimentalmente, e muito esforço de pesquisa foi colocado no desenvolvimento de modelos que permitem que eles sejam distinguidos, a teoria de Kubelka-Munk sendo uma das mais importantes em esta área.

Seção transversal e teoria de Mie

As seções transversais comumente calculadas usando a teoria de Mie incluem coeficientes de eficiência para extinção , espalhamento e seções transversais de absorção . Esses são normalizados pelas seções transversais geométricas da partícula como

A seção transversal é definida por

onde está o fluxo de energia através da superfície circundante e é a intensidade da onda incidente. Para onda plana a intensidade vai ser , onde está a impedância do meio hospedeiro .

A abordagem principal é baseada no seguinte. Em primeiro lugar, construímos uma esfera imaginária de raio (superfície ) em torno da partícula (o espalhador). A taxa líquida de energia eletromagnética que cruza a superfície é

onde é a média do tempo do vetor de Poynting. Se a energia é absorvida dentro da esfera, caso contrário, a energia está sendo criada dentro da esfera. Excluímos da consideração o último. Uma vez que o meio hospedeiro não é absorvente, a energia é absorvida pela partícula. Decompomos o campo total em partes incidentes e dispersas , e o mesmo para o campo magnético . Assim, podemos decompor nos três termos , onde

Onde , e .

Todo o campo pode ser decomposto na série de harmônicos esféricos vetoriais (VSH) . Depois disso, todas as integrais podem ser obtidas. No caso de uma esfera uniforme de raio , permissividade e permeabilidade, o problema tem uma solução precisa. Os coeficientes de espalhamento e extinção são

Onde . Esses estão conectados como

Aproximação de dipolo para a seção transversal de espalhamento

Vamos supor que a partícula suporte apenas modos dipolo elétricos e magnéticos com polarizabilidades e (aqui usamos a notação de polarizabilidade magnética da maneira de Bekshaev et al., Em vez da notação de Nieto-Vesperians et al.) Expressa através dos coeficientes de Mie como

Então, as seções transversais serão
e, finalmente, as seções transversais de absorção elétrica e magnética são
e

Para o caso de partícula sem ganho interno, ou seja, não há energia emitida pela partícula internamente ( ), temos um caso particular do teorema óptico

O sinal de igualdade é alcançado para partículas não absorventes, ou seja, para .

Espalhamento de luz em corpos estendidos

No contexto de espalhamento de luz em corpos estendidos, a seção transversal de espalhamento, σ scat , descreve a probabilidade de luz sendo espalhada por uma partícula macroscópica. Em geral, a seção transversal de espalhamento é diferente da seção transversal geométrica de uma partícula, pois depende do comprimento de onda da luz e da permissividade , além da forma e do tamanho da partícula. A quantidade total de espalhamento em um meio esparso é determinada pelo produto da seção transversal de espalhamento e o número de partículas presentes. Em termos de área, a seção transversal total ( σ ) é a soma das seções transversais devido à absorção , espalhamento e luminescência :

A seção transversal total está relacionada à absorbância da intensidade da luz através da lei de Beer-Lambert , que diz que a absorbância é proporcional à concentração: A λ = Clσ , onde A λ é a absorbância em um determinado comprimento de onda λ , C é a concentração como densidade numérica e l é o comprimento do caminho . A extinção ou absorbância da radiação é o logaritmo ( decádico ou, mais comumente, natural ) do recíproco da transmitância T :

Relação com o tamanho físico

Não existe uma relação simples entre a seção transversal de espalhamento e o tamanho físico das partículas, pois a seção transversal de espalhamento depende do comprimento de onda da radiação usada. Isso pode ser visto quando se olha para um halo ao redor da lua em uma noite de nevoeiro decente: os fótons de luz vermelha experimentam uma área de seção transversal maior de gotículas de água do que os fótons de energia mais alta. O halo ao redor da lua, portanto, tem um perímetro de luz vermelha devido aos fótons de baixa energia que se espalham mais longe do centro da lua. Os fótons do resto do espectro visível são deixados no centro do halo e percebidos como luz branca.

Alcance meteorológico

A seção transversal de espalhamento está relacionada à faixa meteorológica L V :

A quantidade scat às vezes é denotada b scat , o coeficiente de espalhamento por unidade de comprimento.

Exemplos

Exemplo 1: colisão elástica de duas esferas duras

A colisão elástica de duas esferas duras é um exemplo instrutivo que demonstra o sentido de chamar essa quantidade de seção transversal. R e r são respectivamente os raios do centro de espalhamento e da esfera espalhada. A seção transversal total é

Portanto, neste caso, a seção transversal de espalhamento total é igual à área do círculo (com raio r + R ) dentro da qual o centro de massa da esfera de entrada tem que chegar para ser defletido, e fora da qual passa pelo centro de espalhamento estacionário. Quando o raio da esfera de entrada está se aproximando de zero, a seção transversal é apenas a área de um círculo com raio R.

Exemplo 2: espalhar luz de um espelho circular 2D

Outro exemplo ilustra os detalhes do cálculo de um modelo simples de espalhamento de luz obtido por uma redução da dimensão. Para simplificar, consideraremos o espalhamento de um feixe de luz em um plano tratado como uma densidade uniforme de raios paralelos e dentro da estrutura da ótica geométrica de um círculo com raio r com uma fronteira perfeitamente refletora. Seu equivalente tridimensional é, portanto, o problema mais difícil de um laser ou luz de lanterna espalhando da esfera do espelho, por exemplo, da esfera de rolamento mecânica. A unidade de seção transversal em uma dimensão é a unidade de comprimento, por exemplo 1 m. Seja α o ângulo entre o raio de luz e o raio que une o ponto de reflexão do raio de luz com o ponto central do espelho circular. Então, o aumento do elemento de comprimento perpendicular ao feixe de luz é expresso por este ângulo como

o ângulo de reflexão deste raio em relação ao raio de entrada é então 2 α , e o ângulo de espalhamento é

A energia ou o número de fótons refletidos do feixe de luz com a intensidade ou densidade dos fótons I no comprimento d x é

A seção transversal diferencial é, portanto, ( d Ω = d θ )

Como pode ser visto pelo comportamento da função seno , esta quantidade tem o máximo para o espalhamento para trás ( θ = π ; a luz é refletida perpendicularmente e retorna), e o mínimo zero para o espalhamento da borda do círculo diretamente para a frente ( θ = 0 ). Ele confirma as expectativas intuitivas de que o círculo do espelho atua como uma lente divergente , e um feixe fino é mais diluído quanto mais próximo está da borda definida em relação à direção de entrada. A seção transversal total pode ser obtida somando (integrando) a seção diferencial de toda a gama de ângulos:

portanto, é igual tanto quanto o espelho circular está protegendo totalmente o espaço bidimensional para o feixe de luz. Em três dimensões para a bola de espelhos com raio r é, portanto, igual a σ = π r 2 .

Exemplo 3: espalhar luz de um espelho esférico 3D

Podemos agora usar o resultado do Exemplo 2 para calcular a seção transversal diferencial para o espalhamento de luz da esfera perfeitamente refletora em três dimensões. Vamos denotar agora o raio da esfera como a . Vamos parametrizar o plano perpendicular ao feixe de luz incidente pelas coordenadas cilíndricas r e φ . Em qualquer plano do raio de entrada e do raio refletido, podemos escrever agora a partir do exemplo anterior:

enquanto o elemento da área de impacto é

Usando a relação para o ângulo sólido nas coordenadas esféricas:

e a identidade trigonométrica

nós obtemos

enquanto a seção transversal total, como esperávamos, é

Como se pode ver, também concorda com o resultado do Exemplo 1 se o fóton for considerado uma esfera rígida de raio zero.

Veja também

Referências

Referências gerais

  • JD Bjorken, SD Drell, Relativistic Quantum Mechanics , 1964
  • P. Roman, Introdução à Teoria Quântica , 1969
  • W. Greiner, J. Reinhardt, Quantum Electrodynamics , 1994
  • RG Newton. Teoria da Dispersão de Ondas e Partículas . McGraw Hill, 1966.
  • RC Fernow (1989). Introdução à Física Experimental de Partículas . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-379-403.

links externos