Costas loop - Costas loop

Um Costas circuito é um circuito de fase bloqueada do circuito (PLL) com base que é utilizada para transportador de frequência de recuperação de portadora suprimida- modulação de sinais (por exemplo, duplo de banda lateral suprimida sinais de portadora) e os sinais de modulação de fase (por exemplo, BPSK , QPSK ). Foi inventado por John P. Costas na General Electric na década de 1950. Sua invenção foi descrita como tendo "um efeito profundo nas comunicações digitais modernas". A principal aplicação dos loops Costas é em receptores sem fio. Sua vantagem sobre outros detectores baseados em PLL é que, em pequenos desvios, a tensão de erro do circuito de Costas é comparada . Isso se traduz em o dobro da sensibilidade e também torna o loop Costas especialmente adequado para rastrear portadoras deslocadas por Doppler, especialmente em receptores OFDM e GPS . ${\ displaystyle \ sin (2 (\ theta _ {i} - \ theta _ {f}))}$${\ displaystyle \ sin (\ theta _ {i} - \ theta _ {f})}$

Implementação clássica

Loop de Costas trabalhando no estado travado.

Na implementação clássica de um loop de Costas, um oscilador controlado por tensão local (VCO) fornece saídas de quadratura , uma para cada um dos dois detectores de fase , por exemplo , detectores de produto . A mesma fase do sinal de entrada também é aplicada a ambos os detectores de fase e a saída de cada detector de fase é passada por um filtro passa-baixa . As saídas desses filtros passa-baixas são entradas para outro detector de fase, cuja saída passa pelo filtro de redução de ruído antes de ser usada para controlar o oscilador controlado por tensão. A resposta geral do loop é controlada pelos dois filtros passa-baixo individuais que precedem o terceiro detector de fase, enquanto o terceiro filtro passa-baixo desempenha um papel trivial em termos de ganho e margem de fase.

A figura acima de um loop de Costas é desenhada sob a condição do estado "travado", onde a frequência de VCO e a frequência da portadora de entrada tornaram-se iguais como resultado do processo de loop de Costas. A figura não representa o estado "desbloqueado".

Modelos matemáticos

No domínio do tempo

Modelo de domínio de tempo do loop BPSK Costas

No caso mais simples . Portanto, não afeta a entrada do filtro de redução de ruído. Os sinais da portadora e do oscilador controlado por tensão (VCO) são oscilações periódicas com altas frequências . Block é um multiplicador analógico . ${\ displaystyle m ^ {2} (t) = 1}$${\ displaystyle m ^ {2} (t) = 1}$${\ displaystyle f_ {ref, vco} (\ theta _ {ref, vco} (t))}$${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {ref, vco} (t)}$${\ displaystyle \ bigotimes}$

Do ponto de vista matemático, um filtro linear pode ser descrito por um sistema de equações diferenciais lineares

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} {\ dot {x}} = Ax + bu_ {d} (t), & u_ {LF} = c ^ {*} x. \ end {array}}}$

Aqui, é uma matriz constante, é um vetor de estado de filtro e são vetores constantes. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

O modelo de um VCO é geralmente considerado linear

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} {\ dot {\ theta}} _ {vco} (t) = \ omega _ {vco} ^ {free} + K_ {vco} u_ {LF} (t) , & t \ in [0, T], \ end {array}}}$

onde é uma frequência de funcionamento livre do oscilador controlado por tensão e é um ganho do oscilador. Da mesma forma, é possível considerar vários modelos não lineares de VCO. ${\ displaystyle \ omega _ {vco} ^ {grátis}}$${\ displaystyle K_ {vco}}$

Suponha que a frequência do gerador mestre seja constante Equação de VCO e equação de rendimento do filtro ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {ref} (t) \ equiv \ omega _ {ref}.}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} {\ dot {x}} = Ax + bf_ {ref} (\ theta _ {ref} (t)) f_ {vco} (\ theta _ {vco} (t )), & {\ dot {\ theta}} _ {vco} = \ omega _ {vco} ^ {free} + K_ {vco} c ^ {*} x. \ end {array}}}$

O sistema não é autônomo e é bastante difícil de ser investigado.

No domínio da frequência de fase

Modelo de domínio de frequência de fase equivalente do loop de Costas

Entrada VCO para modelo de domínio de frequência de fase do loop de Costas

No caso mais simples, quando

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f_ {ref} {\ big (} \ theta _ {ref} (t) {\ big)} = \ cos {\ big (} \ omega _ {ref} t {\ big )}, \ f_ {vco} {\ big (} \ theta _ {vco} (t) {\ big)} & = \ sin {\ big (} \ theta _ {vco} (t) {\ big)} \\ f_ {ref} {\ big (} \ theta _ {ref} (t) {\ big)} ^ {2} f_ {vco} \ left (\ theta _ {vco} (t) \ right) f_ { vco} \ left (\ theta _ {vco} (t) - {\ frac {\ pi} {2}} \ right) & = - {\ frac {1} {8}} {\ Big (} 2 \ sin (2 \ theta _ {vco} (t)) + \ sin (2 \ theta _ {vco} (t) -2 \ omega _ {ref} t) + \ sin (2 \ theta _ {vco} (t) +2 \ omega _ {ref} t) {\ Big)} \ end {alinhado}}}$

a suposição de engenharia padrão é que o filtro remove a banda lateral superior com frequência da entrada, mas deixa a banda lateral inferior sem alteração. Assim, presume-se que a entrada de VCO é Isso torna um loop de Costas equivalente a um loop de bloqueio de fase com característica de detector de fase correspondente às formas de onda específicas e aos sinais de entrada e VCO. Pode-se provar que as saídas do filtro no domínio do tempo e no domínio da frequência de fase são quase iguais. ${\ displaystyle \ varphi (\ theta _ {ref} (t) - \ theta _ {vco} (t)) = {\ frac {1} {8}} \ sin (2 \ omega _ {ref} t-2 \ theta _ {vco} (t)).}$ ${\ displaystyle \ varphi (\ theta)}$${\ displaystyle f_ {ref} (\ theta)}$${\ displaystyle f_ {vco} (\ theta)}$

Assim, é possível estudar um sistema autônomo mais simples de equações diferenciais.

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = Ax + b \ varphi (\ Delta \ theta), \\\ Delta {\ dot {\ theta}} & = \ omega _ {vco} ^ {free} - \ omega _ {ref} + K_ {vco} c ^ {*} x, \\\ Delta \ theta & = \ theta _ {vco} - \ theta _ {ref}. \ end {alinhado} }}$.

O método de média Krylov-Bogoliubov permite provar que as soluções de equações não autônomas e autônomas são próximas sob algumas suposições. Assim, o esquema de blocos de Costas Loop no espaço de tempo pode ser alterado assintoticamente para o esquema de blocos no nível das relações de frequência de fase.

A passagem para a análise do modelo dinâmico autônomo do loop de Costas (no lugar do não autônomo) permite superar as dificuldades, relacionadas com a modelagem do loop de Costas no domínio do tempo onde se deve observar simultaneamente a escala de tempo muito rápida dos sinais de entrada e escala de tempo lenta da fase do sinal. Essa ideia torna possível calcular as principais características de desempenho - faixas de retenção, pull-in e lock-in .

Aquisição de freqüência

Loop de Costas antes da sincronização

Loop de costas após a sincronização

Sinais da operadora e VCO antes da sincronização

Entrada VCO durante a sincronização

Sinais da operadora e VCO após a sincronização

O loop de Costas clássico trabalhará no sentido de fazer com que a diferença de fase entre a portadora e o VCO se torne um valor pequeno, idealmente zero. A pequena diferença de fase implica que o bloqueio de frequência foi alcançado.

Loop QPSK Costas

O loop Costas clássico pode ser adaptado à modulação QPSK para taxas de dados mais altas.

Loop clássico QPSK Costas

O sinal de entrada QPSK é o seguinte

${\ displaystyle m_ {1} (t) \ cos \ left (\ omega _ {\ text {ref}} t \ right) + m_ {2} (t) \ sin \ left (\ omega _ {\ text {ref }} t \ direita), m_ {1} (t) = \ pm 1, m_ {2} (t) = \ pm 1.}$

As entradas dos filtros passa-baixa LPF1 e LPF2 são

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ varphi _ {1} (t) & = \ cos \ left (\ theta _ {\ text {vco}} \ right) \ left (m_ {1} (t) \ cos \ left (\ omega _ {\ text {ref}} t \ right) + m_ {2} (t) \ sin \ left (\ omega _ {\ text {ref}} t \ right) \ right), \\ \ varphi _ {2} (t) & = \ sin \ left (\ theta _ {\ text {vco}} \ right) \ left (m_ {1} (t) \ cos \ left (\ omega _ {\ text {ref}} t \ right) + m_ {2} (t) \ sin \ left (\ omega _ {\ text {ref}} t \ right) \ right). \ end {alinhado}}}$

Após a sincronização, as saídas de LPF1 e LPF2 são usadas para obter dados demodulados ( e ). Para ajustar a frequência do VCO para sinais de frequência de referência e passa por limitadores e multiplicação cruzada: ${\ displaystyle Q (t)}$${\ displaystyle I (t)}$${\ displaystyle m_ {1} (t)}$${\ displaystyle m_ {2} (t)}$${\ displaystyle Q (t)}$${\ displaystyle I (t)}$

${\ displaystyle u_ {d} (t) = I (t) \ operatorname {sgn} (Q (t)) - Q (t) \ operatorname {sgn} (I (t)).}$

Depois disso, o sinal é filtrado pelo filtro Loop e forma o sinal de sintonia para VCO semelhante ao loop BPSK Costas. Assim, QPSK Costas pode ser descrito por sistema de ODEs ${\ displaystyle u_ {d} (t)}$${\ displaystyle u _ {\ text {LF}} (t)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} _ {1} & = A _ {\ text {LPF}} x_ {1} + b _ {\ text {LPF}} \ varphi _ {1} ( t), \\ {\ dot {x}} _ {2} & = A _ {\ text {LPF}} x_ {2} + b _ {\ text {LPF}} \ varphi _ {2} (t), \ \ {\ dot {x}} & = A _ {\ text {LF}} x + b _ {\ text {LF}} \ left (c _ {\ text {LPF}} ^ {*} x_ {1} \ operatorname { sgn} \ left (c _ {\ text {LPF}} ^ {*} x_ {2} \ right) -c _ {\ text {LPF}} ^ {*} x_ {2} \ operatorname {sgn} \ left (c_ {\ text {LPF}} ^ {*} x_ {1} \ right) \ right), \\ {\ dot {\ theta}} _ {\ text {vco}} & = \ omega _ {\ text {vco }} ^ {\ text {free}} + K _ {\ text {VCO}} \ left (c _ {\ text {LF}} ^ {*} x + h \ left (c _ {\ text {LPF}} ^ { *} x_ {1} \ operatorname {sgn} \ left (c _ {\ text {LPF}} ^ {*} x_ {2} \ right) -c _ {\ text {LPF}} ^ {*} x_ {2} \ operatorname {sgn} \ left (c _ {\ text {LPF}} ^ {*} x_ {1} \ right) \ right) \ right). \\\ end {alinhado}}}$

Aqui - parâmetros de LPF1 e LPF2 e - parâmetros de filtro de loop. ${\ displaystyle A _ {\ text {LPF}}, b _ {\ text {LPF}}, c _ {\ text {LPF}}}$${\ displaystyle A _ {\ text {LF}}, b _ {\ text {LF}}, c _ {\ text {LF}}, h _ {\ text {LF}}}$

Referências

•  Este artigo incorpora  material de domínio público do documento General Services Administration : "Federal Standard 1037C" .