Problema de incorporação de Connes - Connes embedding problem
O problema de incorporação de Connes , formulado por Alain Connes nos anos 1970, é um grande problema na teoria da álgebra de von Neumann . Naquela época, o problema foi reformulado em diversas áreas da matemática. Dan Voiculescu, desenvolvendo sua teoria de entropia livre, descobriu que o problema de incorporação de Connes está relacionado à existência de microestados. Alguns resultados da teoria das álgebras de von Neumann podem ser obtidos assumindo uma solução positiva para o problema. O problema está conectado a algumas questões básicas da teoria quântica, o que levou à constatação de que também tem implicações importantes na ciência da computação.
O problema admite várias formulações equivalentes. Notavelmente, é equivalente aos seguintes problemas de longa data:
- Conjectura QWEP de Kirchberg in C * -álgebra teoria
- O problema de Tsirelson na teoria da informação quântica
- O predual de qualquer álgebra de von Neumann (separável) é finitamente representável na classe de rastreamento.
Em janeiro de 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright e Yuen anunciaram um resultado na teoria da complexidade quântica que implica uma resposta negativa ao problema de incorporação de Connes.
Demonstração
Seja um ultrafiltro livre nos números naturais e seja R o fator hiperfinito tipo II 1 com traço . Pode-se construir o ultrapower da seguinte maneira: seja a álgebra de von Neumann de sequências limitadas por norma e deixe . O quociente acaba sendo um fator II 1 com traço , onde é qualquer sequência representativa de .
O problema de incorporação de Connes pergunta se cada fator do tipo II 1 em um espaço de Hilbert separável pode ser incorporado em algum .
Uma solução positiva para o problema implicaria na existência de subespaços invariantes para uma grande classe de operadores em fatores II-1 ( Uffe Haagerup ); todos os grupos discretos contáveis são hiperlineares . Uma solução positiva para o problema estaria implícita na igualdade entre entropia livre e entropia livre definida por microestados ( Dan Voiculescu ). Em janeiro de 2020, um grupo de pesquisadores afirmou ter resolvido o problema de forma negativa, ou seja, existem fatores de von Neumann tipo II 1 que não se incorporam a um ultrapower do fator II 1 hiperfinito .
A classe de isomorfismo de é independente do ultrafiltro se e somente se a hipótese do contínuo for verdadeira (Ge-Hadwin e Farah-Hart-Sherman), mas tal propriedade de incorporação não depende do ultrafiltro porque álgebras de von Neumann atuando em espaços de Hilbert separáveis são, grosso modo, muito pequenos.
O problema admite várias formulações equivalentes.
Conferências dedicadas ao problema de incorporação de Connes
- Workshop de teoria quântica e problema de incorporação de Connes; Vanderbilt University em Nashville, Tennessee; 1 a 7 de maio de 2020 ( adiado; TBA )
- O problema de incorporação de Connes multifacetado; BIRS, Canadá; 14 a 19 de julho de 2019
- Escola de inverno: o problema de incorporação de Connes e a teoria da informação quântica; Universidade de Oslo, 7 a 11 de janeiro de 2019
- Workshop sobre grupos Sofic e Hiperlinear e a Conjectura de Embedding de Connes; UFSC Florianópolis, Brasil; 10 a 21 de junho de 2018
- Propriedades de aproximação em álgebras de operadores e teoria ergódica; UCLA; 30 de abril a 5 de maio de 2018
- Álgebras do Operador e Teoria Quântica da Informação; Institut Henri Poincare, Paris; Dezembro 2017
- Workshop sobre Espaços do Operador, Análise Harmônica e Probabilidade Quântica; ICMAT, Madrid; 20 de maio a 14 de junho de 2013
- Workshop de campos em torno do problema de incorporação de Connes - Universidade de Ottawa, 16 a 18 de maio de 2008
Referências
Leitura adicional
- Capraro, Valerio (2010). "A Survey on Connes 'Embedding Conjecture". arXiv : 1003.2076 [ matemática.OA ].
- Farah, I .; Hart, B .; Sherman, D. (2013). "Teoria do modelo de álgebras de operadores I: estabilidade". Boletim da London Mathematical Society . 45 (4): 825–838. arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112 / blms / bdt014 . S2CID 15024863 .
- Ge; Hadwin (2001). "Ultraprodutos de C * -álgebras". Oper. Theory Adv. Appl . 127 : 305–326. doi : 10.1007 / 978-3-0348-8374-0_17 . ISBN 978-3-0348-9539-2.
- Collins, Benoıt; Dykema, Ken (2008). "A linearização do problema de incorporação de Connes" (PDF) . New York Journal of Mathematics . 14 : 617–641.
- Sherman, David (2008). "Notas sobre Automorfismos de Ultrapoderes de Fatores II 1 ". arXiv : 0809.4439 [ matemática.OA ].
- Pisier, Gilles . "Produtos tensores de C * -álgebras e espaços de operador: O problema de Connes-Kirchberg" (PDF) .