Superfície cônica - Conical surface

Uma superfície cônica circular

Em geometria , uma superfície cônica ( geral ) é a superfície ilimitada formada pela união de todas as linhas retas que passam por um ponto fixo - o ápice ou vértice - e qualquer ponto de alguma curva de espaço fixo - a diretriz - que não contém o ápice. Cada uma dessas linhas é chamada de geratriz da superfície.

Cada superfície cônica é regulada e desenvolvível . Em geral, uma superfície cônica consiste em duas metades ilimitadas congruentes unidas pelo ápice. Cada metade é chamada de nappe , e é a união de todos os raios que começam no vértice e passam por um ponto de alguma curva de espaço fixo. (Em alguns casos, no entanto, as duas nappes podem se cruzar, ou mesmo coincidir com a superfície inteira.) Às vezes, o termo "superfície cônica" é usado para significar apenas uma nappe.

Se a diretriz é um círculo e o vértice está localizado no eixo do círculo (a linha que contém o centro e é perpendicular ao seu plano), obtém-se a superfície cônica circular correta . Esse caso especial costuma ser chamado de cone , porque é uma das duas superfícies distintas que delimitam o sólido geométrico com esse nome. Este objeto geométrico também pode ser descrito como o conjunto de todos os pontos varridos por uma linha que intercepta o eixo e gira em torno dele; ou a união de todas as linhas que cruzam o eixo em um ponto fixo e em um ângulo fixo . A abertura do cone é o ângulo . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 2 \ theta}$

Mais geralmente, quando a diretriz é uma elipse , ou qualquer seção cônica , e o ápice é um ponto arbitrário fora do plano de , obtém-se um cone elíptico ou quádrica cônica , que é um caso especial de uma superfície quádrica . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

Uma superfície cilíndrica pode ser vista como um caso limite de uma superfície cônica cujo vértice é movido para o infinito em uma direção particular. De fato, na geometria projetiva, uma superfície cilíndrica é apenas um caso especial de uma superfície cônica.

Equações

Uma superfície cônica pode ser descrita parametricamente como ${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle S (t, u) = v + uq (t)}$,

onde está o vértice e é a diretriz. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle q}$

Uma superfície cônica circular direita de abertura , cujo eixo é o eixo das coordenadas, e cujo vértice é a origem, é descrita parametricamente como ${\ displaystyle 2 \ theta}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle S (t, u) = (u \ sin \ theta \ cos t, u \ sin \ theta \ sin t, u \ cos \ theta)}$

onde e vão além de e , respectivamente. Na forma implícita , a mesma superfície é descrita por onde ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle [0,2 \ pi)}$${\ displaystyle (- \ infty, + \ infty)}$${\ displaystyle S (x, y, z) = 0}$

${\ displaystyle S (x, y, z) = (x ^ {2} + y ^ {2}) (\ cos \ theta) ^ {2} -z ^ {2} (\ sin \ theta) ^ {2 }.}$

Mais geralmente, uma superfície cônica circular direita com vértice na origem, eixo paralelo ao vetor e abertura é dada pela equação vetorial implícita, onde ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$${\ displaystyle 2 \ theta}$${\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = 0}$

${\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d}) ^ {2} - (\ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {x } \ cdot \ mathbf {x}) (\ cos \ theta) ^ {2}}$

ou

${\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d} - | \ mathbf {d} || \ mathbf {x} | \ cos \ theta}$

onde , e denota o produto escalar . ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x, y, z)}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d}}$

Em três coordenadas, x, y e z, uma superfície cônica com uma diretriz elíptica, com vértice na origem, é dada por esta equação homogênea de grau 2:

${\ displaystyle S (x, y, z) = ax ^ {2} + por ^ {2} + cz ^ {2} + 2uxy + 2vyz + 2wzx = 0.}$

Veja também

• Seção cônica
• Superfície revelável
• Quádrica
• Superfície governada