Empacotamento de esferas iguais - Close-packing of equal spheres

Ilustração do empacotamento próximo de esferas iguais nas redes HCP (esquerda) e FCC (direita)

Em geometria , compactação de esferas iguais é um arranjo denso de esferas congruentes em um arranjo regular infinito (ou rede ). Carl Friedrich Gauss provou que a maior densidade média - ou seja, a maior fração do espaço ocupado por esferas - que pode ser alcançada por um empacotamento de rede é

.

A mesma densidade de empacotamento também pode ser alcançada por empilhamento alternado dos mesmos planos de esferas compactados, incluindo estruturas que são aperiódicas na direção de empilhamento. A conjectura do Kepler afirma que esta é a maior densidade que pode ser alcançada por qualquer arranjo de esferas, regular ou irregular. Essa conjectura foi comprovada por TC Hales . A densidade mais alta é conhecida apenas no caso de 1, 2, 3, 8 e 24 dimensões.

Muitas estruturas cristalinas são baseadas em um empacotamento próximo de um único tipo de átomo, ou um empacotamento próximo de íons grandes com íons menores preenchendo os espaços entre eles. Os arranjos cúbico e hexagonal são muito próximos um do outro em energia, e pode ser difícil prever qual forma será preferida a partir dos primeiros princípios.

Redes FCC e HCP

Arranjo FCC visto na direção do eixo de 4 dobras
FCC HCP
Cuboctahedron B2 planes.png Cuboctahedron 3 planes.png Triangular orthobicupola wireframe.png
O arranjo FCC pode ser orientado em dois planos diferentes, quadrado ou triangular. Eles podem ser vistos no cuboctaedro com 12 vértices representando as posições de 12 esferas vizinhas em torno de uma esfera central. O arranjo HCP pode ser visto na orientação triangular, mas alterna duas posições de esferas, em um arranjo ortobicupola triangular .

Existem duas redes regulares simples que atingem esta densidade média mais alta. Eles são chamados de face centrada cúbica ( FCC ) (também chamado de cúbico perto embalado ) e hexagonal repleto de perto ( HCP ), com base em sua simetria . Ambos são baseados em folhas de esferas dispostas nos vértices de uma telha triangular; eles diferem na forma como as folhas são empilhadas umas sobre as outras. A rede FCC também é conhecida pelos matemáticos como aquela gerada pelo sistema radicular A 3 .

Problema de bala de canhão

Bolas de canhão empilhadas em uma base triangular (frontal) e retangular (traseira) , ambas treliças FCC .

O problema do empacotamento de esferas foi analisado matematicamente pela primeira vez por Thomas Harriot por volta de 1587, depois que Sir Walter Raleigh fez uma pergunta sobre empilhar balas de canhão em navios em sua expedição à América. As balas de canhão geralmente eram empilhadas em uma estrutura de madeira retangular ou triangular, formando uma pirâmide de três ou quatro lados. Ambos os arranjos produzem uma estrutura cúbica centrada na face - com orientação diferente em relação ao solo. O empacotamento hexagonal próximo resultaria em uma pirâmide de seis lados com uma base hexagonal.

Bolas de neve empilhadas em preparação para uma luta de bolas de neve . A pirâmide dianteira é hexagonal compacta e a traseira cúbica centrada na face.

O problema da bala de canhão pergunta quais arranjos quadrados de balas de canhão podem ser empilhados em uma pirâmide quadrada. Édouard Lucas formulou o problema como a equação Diofantina ou e conjeturou que as únicas soluções são e . Aqui está o número de camadas no arranjo de empilhamento piramidal e é o número de balas de canhão ao longo de uma aresta no arranjo quadrado plano.

Posicionamento e espaçamento

Em ambos os arranjos FCC e HCP, cada esfera tem doze vizinhos. Para cada esfera, há uma lacuna cercada por seis esferas ( octaédrica ) e duas lacunas menores cercadas por quatro esferas (tetraédrica). As distâncias entre os centros dessas lacunas e os centros das esferas circundantes é 32 para o tetraédrico e 2 para o octaédrico, quando o raio da esfera é 1.

Em relação a uma camada de referência com posicionamento A, mais dois posicionamentos B e C são possíveis. Cada sequência de A, B e C sem repetição imediata da mesma é possível e dá um empacotamento igualmente denso para as esferas de um dado raio.

Os mais regulares são

  • FCC = ABC ABC ABC ... (cada terceira camada é a mesma)
  • HCP = AB AB AB AB ... (todas as outras camadas são iguais).

Há um número incontável e infinito de arranjos desordenados de planos (por exemplo, ABCACBABABAC ...) que às vezes são chamados coletivamente de "embalagens de Barlow", em homenagem ao cristalógrafo William Barlow

No empacotamento fechado, o espaçamento centro a centro das esferas no plano xy é um mosaico simples em forma de favo de mel com um passo (distância entre os centros das esferas) de um diâmetro de esfera. A distância entre os centros das esferas, projetada no eixo z (vertical), é:

onde d é o diâmetro de uma esfera; isso decorre do arranjo tetraédrico de esferas compactadas.

O número de coordenação de HCP e FCC é 12 e seus fatores de empacotamento atômico (APFs) são iguais ao número mencionado acima, 0,74.

Comparação entre HCP e FCC
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Figura 1 - A rede HCP (esquerda) e a rede FCC (direita). O contorno de cada rede respectiva da Bravais é mostrado em vermelho. As letras indicam quais camadas são iguais. Existem duas camadas "A" na matriz HCP, onde todas as esferas estão na mesma posição. Todas as três camadas da pilha FCC são diferentes. Observe que o empilhamento FCC pode ser convertido em empilhamento HCP pela translação da esfera superior, conforme mostrado pelo contorno tracejada.
Unidade hexagonal compactada cell.jpg Esferas compactadas, com luz guarda-chuva e camerea.jpg
Figura 2 - Aqui é mostrada uma pilha de onze esferas da rede HCP ilustrada na Figura 1 . A pilha HCP difere das 3 camadas superiores da pilha FCC mostrada na Figura 3 apenas na camada mais baixa; ele pode ser modificado para FCC por uma rotação ou translação apropriada. Figura 3 - Thomas Harriot , por volta de 1585, primeiro ponderou a matemática do arranjo de balas de canhão ou pilha de balas de canhão, que tem uma rede FCC . Observe como as bolas adjacentes ao longo de cada borda do tetraedro regular que envolve a pilha estão todas em contato direto umas com as outras. Isso não ocorre em uma rede HCP, conforme mostrado na Figura 2 .

Geração reticulada

Ao formar qualquer rede de empacotamento de esferas, o primeiro fato a notar é que sempre que duas esferas se tocam, uma linha reta pode ser traçada do centro de uma esfera ao centro da outra que cruza o ponto de contato. A distância entre os centros ao longo do caminho mais curto, ou seja, aquela linha reta, será, portanto, r 1  +  r 2, onde r 1 é o raio da primeira esfera e r 2 é o raio da segunda. No empacotamento fechado, todas as esferas compartilham um raio comum, r . Portanto, dois centros simplesmente teriam uma distância de 2 r .

Estrutura simples do HCP

Uma animação de geração de rede de empacotamento fechado. Nota: Se uma terceira camada (não mostrada) estiver diretamente sobre a primeira camada, a estrutura do HCP é construída. Se a terceira camada for colocada sobre orifícios na primeira camada, a estrutura FCC será criada.

Para formar um empacotamento hexagonal de esferas ABAB -..., os pontos coordenados da rede serão os centros das esferas. Suponha que o objetivo seja preencher uma caixa com esferas de acordo com o HCP. A caixa seria colocada no espaço de coordenadas x - y - z .

Primeiro, forme uma fileira de esferas. Os centros estarão todos em linha reta. Sua coordenada x variará em 2 r, uma vez que a distância entre cada centro das esferas que se tocam é 2 r . A coordenada y e a coordenada z serão iguais. Para simplificar, diga que as bolas são a primeira linha e que suas coordenadas y e z são simplesmente r , de modo que suas superfícies repousam nos planos zero. As coordenadas dos centros da primeira linha serão semelhantes a (2 rrr ), (4 rrr ), (6 r  , rr ), (8 r  , rr ), ... .

Agora, forme a próxima linha de esferas. Novamente, os centros estarão todos em uma linha reta com diferenças coordenadas x de 2 r , mas haverá um deslocamento da distância r na direção x de modo que o centro de cada esfera nesta linha se alinhe com a coordenada x de onde duas esferas se tocam na primeira linha. Isso permite que as esferas da nova fileira deslizem para mais perto da primeira fileira até que todas as esferas da nova fileira toquem duas esferas da primeira fileira. Como as novas esferas tocam duas esferas, seus centros formam um triângulo equilátero com os centros dessas duas vizinhas. Os comprimentos laterais são todos 2 r , então a altura ou diferença coordenada em y entre as linhas é 3 r . Assim, esta linha terá coordenadas como esta:

A primeira esfera desta linha toca apenas uma esfera na linha original, mas sua localização segue o mesmo caminho com o resto da linha.

A próxima linha segue este padrão de deslocamento da coordenada x por r e da coordenada y por 3 . Adicionar linhas até atingir os x e y máximo fronteiras da caixa.

Em um padrão de empilhamento ABAB -..., os planos de esferas ímpares terão exatamente as mesmas coordenadas, exceto por uma diferença de passo nas coordenadas z e os planos numerados pares das esferas compartilharão as mesmas coordenadas x e y . Ambos os tipos de planos são formados usando o padrão mencionado acima, mas o ponto de partida para a primeira esfera da primeira linha será diferente.

Usando o plano descrito precisamente acima como plano # 1, o plano A, coloque uma esfera no topo desse plano de forma que ela toque três esferas no plano A. As três esferas já estão se tocando, formando um triângulo equilátero, e como todas elas tocam a nova esfera, os quatro centros formam um tetraedro regular . Todos os lados são iguais a 2 r porque todos os lados são formados por duas esferas se tocando. A altura da qual ou a diferença coordenada z entre os dois "planos" é6 r 2/3. Isto, combinado com os deslocamentos dos x e y -coordena dá os centros de primeira linha no plano B:

As coordenadas da segunda linha seguem o padrão descrito acima e são:

A diferença para o próximo plano, o plano A, é novamente 6 r 2/3na direção z e um deslocamento em x e y para corresponder às coordenadas x e y do primeiro plano A.

Em geral, as coordenadas dos centros das esferas podem ser escritas como:

onde i , j e k são índices começando em 0 para as coordenadas x -, y - e z .

Índices de Miller

Índice de Miller-Bravais para rede HCP

Características cristalográficas de sistemas HCP, como vetores e famílias de planos atômicos, podem ser descritas usando uma notação de índice de Miller de quatro valores ( hkil ) em que o terceiro índice i denota um componente conveniente, mas degenerado, que é igual a - h  -  k . As direções do índice h , i e k são separadas por 120 ° e, portanto, não são ortogonais; o l componente é mutuamente perpendicular ao h , i e k índice de instruções.

Preenchendo o espaço restante

As embalagens FCC e HCP são as embalagens conhecidas mais densas de esferas iguais com a maior simetria (menores unidades de repetição). Os empacotamentos de esferas mais densos são conhecidos, mas envolvem empacotamento de esferas desiguais . Uma densidade de embalagem de 1, preenchendo completamente o espaço, requer formas não esféricas, como favos de mel .

Substituir cada ponto de contato entre duas esferas por uma aresta conectando os centros das esferas em contato produz tetraedros e octaedros de comprimentos de aresta iguais. O arranjo FCC produz o favo de mel tetraédrico-octaédrico . O arranjo HCP produz o favo de mel tetraédrico-octaédrico girado . Se, em vez disso, cada esfera for aumentada com os pontos no espaço que estão mais próximos dela do que de qualquer outra esfera, os duais desses favos de mel são produzidos: o favo de mel dodecaédrico rômbico para FCC e o favo de mel dodecaédrico trapezo-rômbico para HCP.

Bolhas esféricas aparecem na água com sabão em um arranjo FCC ou HCP quando a água nas lacunas entre as bolhas é drenada. Este padrão também se aproxima do favo de mel dodecaédrico rômbico ou do favo de mel dodecaédrico trapezo-rômbico . No entanto, essas espumas FCC ou HCP de conteúdo líquido muito pequeno são instáveis, pois não atendem às leis de Plateau . A espuma Kelvin e a espuma Weaire-Phelan são mais estáveis, tendo menor energia interfacial no limite de um conteúdo líquido muito pequeno.

Veja também

Notas

links externos