Funções trigonométricas - Trigonometric functions
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Cálculo |
Em matemática , as funções trigonométricas (também chamadas de funções circulares , funções angulares ou funções goniométricas ) são funções reais que relacionam um ângulo de um triângulo retângulo a razões de dois comprimentos laterais. Eles são amplamente utilizados em todas as ciências relacionadas à geometria , como navegação, mecânica dos sólidos , mecânica celeste , geodésia e muitas outras. Elas estão entre as funções periódicas mais simples e, como tais, também são amplamente utilizadas para estudar fenômenos periódicos por meio da análise de Fourier .
As funções trigonométricas mais amplamente usadas na matemática moderna são o seno , o cosseno e a tangente . Seus recíprocos são, respectivamente, a cossecante , a secante e a cotangente , que são menos usadas. Cada uma dessas seis funções trigonométricas tem uma função inversa correspondente e uma analógica entre as funções hiperbólicas .
As definições mais antigas de funções trigonométricas, relacionadas a triângulos retangulares, as definem apenas para ângulos agudos . Para estender essas definições a funções cujo domínio é toda a linha real projetivamente estendida , definições geométricas usando o círculo unitário padrão (isto é, um círculo com raio 1 unidade) são freqüentemente usadas. As definições modernas expressam funções trigonométricas como séries infinitas ou como soluções de equações diferenciais . Isso permite estender o domínio das funções seno e cosseno para todo o plano complexo , e o domínio das outras funções trigonométricas para o plano complexo do qual alguns pontos isolados são removidos.
Definições de triângulo retângulo
Nesta seção, uma letra maiúscula denota um vértice de um triângulo e a medida do ângulo correspondente; A forma em minúsculas da mesma letra denota o lado oposto do triângulo e seu comprimento. Nas definições a seguir, θ corresponde a A no diagrama.
Se o ângulo θ é dado, então todos os lados do triângulo retângulo são bem definidos até um fator de escala. Isso significa que a razão de quaisquer dois comprimentos laterais depende apenas de θ . Assim, essas seis razões definem seis funções de θ , que são as funções trigonométricas. Mais precisamente, as seis funções trigonométricas são:
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Em um triângulo retângulo, a soma dos dois ângulos agudos é um ângulo reto, ou seja, 90 ° ouπ/2 radianos .
Função | Abreviação | Descrição | Relação | |
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usando radianos | usando graus | |||
seno | pecado | oposto/hipotenusa | ||
cosseno | cos | adjacente/hipotenusa | ||
tangente | tan (ou tg ) | oposto/adjacente | ||
co-tangente | berço (ou cotan ou cotg ou ctg ou ctn ) | adjacente/oposto | ||
secante | s | hipotenusa/adjacente | ||
cossecante | csc (ou cosec ) | hipotenusa/oposto |
Radianos versus graus
Em aplicações geométricas, o argumento de uma função trigonométrica é geralmente a medida de um ângulo . Para este propósito, qualquer unidade angular é conveniente, e os ângulos são mais comumente medidos em unidades convencionais de graus em que um ângulo reto é 90 ° e uma volta completa é 360 ° (particularmente em matemática elementar ).
No entanto, em cálculo e análise matemática , as funções trigonométricas são geralmente consideradas mais abstratamente como funções de números reais ou complexos , em vez de ângulos. Na verdade, as funções sen e cos podem ser definidas para todos os números complexos em termos da função exponencial via séries de potências ou como soluções para equações diferenciais dados valores iniciais particulares ( veja abaixo ), sem referência a quaisquer noções geométricas. As outras quatro funções trigonométricas (tan, cot, sec, csc) podem ser definidas como quocientes e recíprocos de sen e cos, exceto onde zero ocorre no denominador. Pode ser provado, para argumentos reais, que essas definições coincidem com definições geométricas elementares se o argumento for considerado como um ângulo dado em radianos . Além disso, essas definições resultam em expressões simples para as derivadas e integrais indefinidas para as funções trigonométricas. Assim, em configurações além da geometria elementar, os radianos são considerados a unidade matematicamente natural para descrever as medidas dos ângulos.
Quando radianos (rad) são empregados, o ângulo é dado como o comprimento do arco do círculo unitário subtendido por ele: o ângulo que subtende um arco de comprimento 1 no círculo unitário é 1 rad (≈ 57,3 °), e um a volta completa (360 °) é um ângulo de 2 π (≈ 6,28) rad. Para o número real x , as notações sin x , cos x , etc. referem-se ao valor das funções trigonométricas avaliadas em um ângulo de x rad. Se as unidades de graus forem pretendidas, o sinal de grau deve ser mostrado explicitamente (por exemplo, sen x ° , cos x ° , etc.). Usando essa notação padrão, o argumento x para as funções trigonométricas satisfaz a relação x = (180 x / π ) °, de modo que, por exemplo, sin π = sin 180 ° quando tomamos x = π . Desta forma, o símbolo de grau pode ser considerado como uma constante matemática tal que 1 ° = π / 180 ≈ 0,0175.
Definições de círculo unitário
As seis funções trigonométricas podem ser definidas como valores de coordenadas de pontos no plano euclidiano que estão relacionados ao círculo unitário , que é o círculo de raio um centrado na origem O deste sistema de coordenadas. Enquanto as definições de triângulo retângulo permitem a definição das funções trigonométricas para ângulos entre 0 e radianos (90 °), as definições de círculo unitário permitem que o domínio das funções trigonométricas seja estendido a todos os números reais positivos e negativos.
Seja o raio obtido pela rotação de um ângulo θ a metade positiva do eixo x ( rotação no sentido anti-horário para e rotação no sentido horário para ). Este intersecta raio do círculo unitário no ponto O raio alargado a uma linha , se necessário, intersecta a linha de equação em ponto e a linha da equação no ponto A linha tangente ao círculo unitário no ponto A , é perpendicular ao e intersecta o y - e x -axes em pontos e as coordenadas desses pontos dão os valores de todas as funções trigonométricas para qualquer valor real arbitrária de θ da seguinte maneira.
As funções trigonométricas cos e sin são definidos, respectivamente, como o x - e y valores de coordenada x do ponto A . Isso é,
- e
No intervalo , esta definição coincide com a definição do triângulo retângulo, tomando o triângulo retângulo para ter o raio unitário OA como hipotenusa . E uma vez que a equação vale para todos os pontos do círculo unitário, esta definição de cosseno e seno também satisfaz a identidade pitagórica
As outras funções trigonométricas podem ser encontradas ao longo do círculo unitário como
- e
- e
Ao aplicar a identidade pitagórica e os métodos de prova geométrica, essas definições podem ser facilmente mostradas para coincidir com as definições de tangente, cotangente, secante e cossecante em termos de seno e cosseno, ou seja,
Como a rotação de um ângulo de não altera a posição ou o tamanho de uma forma, os pontos A , B , C , D e E são iguais para dois ângulos cuja diferença é um múltiplo inteiro de . Assim, as funções trigonométricas são funções periódicas com período . Ou seja, as igualdades
- e
mantenha para qualquer ângulo θ e qualquer inteiro k . O mesmo é verdade para as outras quatro funções trigonométricas. Ao observar o sinal e a monotonicidade das funções seno, cosseno, cossecante e secante nos quatro quadrantes, pode-se mostrar que 2 π é o menor valor para o qual eles são periódicos (ou seja, 2 π é o período fundamental dessas funções ) Porém, após uma rotação por um ângulo , os pontos B e C já retornam à sua posição original, de forma que a função tangente e a função cotangente têm um período fundamental de π . Ou seja, as igualdades
- e
mantenha para qualquer ângulo θ e qualquer inteiro k .
Valores algébricos
As expressões algébricas para os ângulos mais importantes são as seguintes:
- ( ângulo reto )
- ( ângulo reto )
Escrever os numeradores como raízes quadradas de inteiros não negativos consecutivos, com um denominador de 2, fornece uma maneira fácil de lembrar os valores.
Essas expressões simples geralmente não existem para outros ângulos que são múltiplos racionais de um ângulo reto. Para um ângulo que, medido em graus, é um múltiplo de três, o seno e o cosseno podem ser expressos em termos de raízes quadradas , consulte Constantes trigonométricas expressas em radicais reais . Esses valores do seno e do cosseno podem, portanto, ser construídos pela régua e pelo compasso .
Para um ângulo de um número inteiro de graus, o seno e o cosseno podem ser expressos em termos de raízes quadradas e a raiz cúbica de um número complexo não real . A teoria de Galois permite provar que, se o ângulo não for múltiplo de 3 °, as raízes cúbicas não reais são inevitáveis.
Para um ângulo que, medido em graus, é um número racional , o seno e o cosseno são números algébricos , que podem ser expressos em termos de n- ésimas raízes . Isso resulta do fato de que os grupos de Galois dos polinômios ciclotômicos são cíclicos .
Para um ângulo que, medido em graus, não é um número racional, então o ângulo ou o seno e o cosseno são números transcendentais . Este é um corolário do teorema de Baker , provado em 1966.
Valores algébricos simples
A tabela a seguir resume os valores algébricos mais simples das funções trigonométricas. O símbolo representa o ponto no infinito na linha real projetivamente estendida ; não é sinalizado, porque, quando aparece na tabela, a função trigonométrica correspondente tende para um lado, e para do outro lado, quando o argumento tende para o valor na tabela.
Radiano Grau pecado cos bronzeado berço s cosec 0 ° π/12 15 ° π/10 18 ° π/8 22,5 ° π/6 30 ° π/5 36 ° π/4 45 ° 3 π/10 54 ° π/3 60 ° 3 π/8 67,5 ° 2 π/5 72 ° 5 π/12 75 ° π/2 90 °
Em cálculo
A tendência moderna da matemática é construir a geometria a partir do cálculo, e não do contrário. Portanto, exceto em um nível muito elementar, as funções trigonométricas são definidas usando os métodos de cálculo.
As funções trigonométricas são diferenciáveis e analíticas em cada ponto onde são definidas; isto é, em todos os lugares para o seno e o cosseno e, para a tangente, em todos os lugares, exceto em π / 2 + k π para todo inteiro k .
As funções trigonométricas são funções periódicas e seu período primitivo é 2 π para o seno e o cosseno, e π para a tangente, que está aumentando a cada intervalo aberto ( π / 2 + k π , π / 2 + ( k + 1 ) π ) . Em cada ponto final desses intervalos, a função tangente tem uma assíntota vertical .
No cálculo, existem duas definições equivalentes de funções trigonométricas, usando séries de potências ou equações diferenciais . Essas definições são equivalentes, pois a partir de uma delas é fácil recuperar a outra como uma propriedade. No entanto, a definição por meio de equações diferenciais é de certa forma mais natural, uma vez que, por exemplo, a escolha dos coeficientes das séries de potências pode parecer bastante arbitrária, e a identidade pitagórica é muito mais fácil de deduzir a partir das equações diferenciais.
Definição por equações diferenciais
O seno e o cosseno podem ser definidos como a solução única para o problema do valor inicial :
Diferenciando novamente, e , portanto, seno e cosseno são soluções da equação diferencial ordinária
Aplicando a regra do quociente à tangente , derivamos
Expansão da série de potências
Aplicando as equações diferenciais a séries de potências com coeficientes indeterminados, pode-se deduzir relações de recorrência para os coeficientes da série de Taylor das funções seno e cosseno. Essas relações de recorrência são fáceis de resolver e fornecem expansões de série
O raio de convergência dessas séries é infinito. Portanto, o seno e o cosseno podem ser estendidos para funções inteiras (também chamadas de "seno" e "cosseno"), que são (por definição) funções de valor complexo que são definidas e holomórficas em todo o plano complexo .
Sendo definidas como frações de funções inteiras, as demais funções trigonométricas podem ser estendidas a funções meromórficas , ou seja, funções que são holomórficas em todo o plano complexo, exceto alguns pontos isolados chamados pólos . Aqui, os pólos são os números da forma para a tangente e a secante, ou para a cotangente e a cossecante, onde k é um número inteiro arbitrário.
As relações de recorrência também podem ser calculadas para os coeficientes da série de Taylor das outras funções trigonométricas. Essas séries têm um raio de convergência finito . Seus coeficientes têm uma interpretação combinatória : eles enumeram permutações alternadas de conjuntos finitos.
Mais precisamente, definindo
- U n , o n º para cima / baixo número ,
- B n , a n th número de Bernoulli , e
- E n , é o n th número de Euler ,
um tem as seguintes expansões de série:
Expansão de fração parcial
Há uma representação em série como expansão de fração parcial onde as funções recíprocas apenas traduzidas são somadas, de modo que os pólos da função cotangente e as funções recíprocas correspondam:
Essa identidade pode ser comprovada com o truque de Herglotz . Combinando a (- n ) th com o n º prazo levam a absolutamente convergentes série:
Da mesma forma, pode-se encontrar uma expansão de fração parcial para as funções secante, cossecante e tangente:
Expansão infinita do produto
O seguinte produto infinito para o seno é de grande importância em análises complexas:
Para a prova dessa expansão, consulte Sine . A partir disso, pode-se deduzir que
Relação com a função exponencial (fórmula de Euler)
A fórmula de Euler relaciona seno e cosseno à função exponencial :
Essa fórmula é comumente considerada para valores reais de x , mas permanece verdadeira para todos os valores complexos.
Prova : Let and One tem para j = 1, 2 . A regra do quociente implica assim isso . Portanto, é uma função constante, que é igual a1 , pois isso prova a fórmula.
Um tem
Resolvendo este sistema linear em seno e cosseno, pode-se expressá-los em termos da função exponencial:
Quando x é real, isso pode ser reescrito como
A maioria das identidades trigonométricas pode ser provada expressando funções trigonométricas em termos da função exponencial complexa usando as fórmulas acima e, em seguida, usando a identidade para simplificar o resultado.
Definições usando equações funcionais
Também é possível definir as funções trigonométricas usando várias equações funcionais .
Por exemplo, o seno e o cosseno formam o único par de funções contínuas que satisfazem a fórmula da diferença
e a condição adicionada
No plano complexo
O seno e cosseno de um número complexo podem ser expressos em termos de senos reais, cossenos e funções hiperbólicas da seguinte forma:
Tirando vantagem da coloração de domínio , é possível representar graficamente as funções trigonométricas como funções de valor complexo. Vários recursos exclusivos das funções complexas podem ser vistos no gráfico; por exemplo, as funções seno e cosseno podem ser vistas como ilimitadas conforme a parte imaginária de se torna maior (uma vez que a cor branca representa o infinito), e o fato de que as funções contêm zeros ou pólos simples é aparente pelo fato de que os ciclos de matiz em torno de cada zero ou pólo exatamente uma vez. A comparação desses gráficos com os das funções hiperbólicas correspondentes destaca as relações entre os dois.
Identidades básicas
Muitas identidades relacionam as funções trigonométricas. Esta seção contém os mais básicos; para obter mais identidades, consulte Lista de identidades trigonométricas . Essas identidades podem ser comprovadas geometricamente a partir das definições de círculo unitário ou das definições de triângulo retângulo (embora, para as últimas definições, deve-se tomar cuidado para ângulos que não estão no intervalo [0, π / 2] , ver Provas de identidades trigonométricas ). Para provas não geométricas usando apenas ferramentas de cálculo , pode-se usar diretamente as equações diferenciais, de forma semelhante à da prova de identidade de Euler acima . Também se pode usar a identidade de Euler para expressar todas as funções trigonométricas em termos de exponenciais complexas e usar propriedades da função exponencial.
Paridade
O cosseno e a secante são funções pares ; as outras funções trigonométricas são funções ímpares . Isso é:
Períodos
Todas as funções trigonométricas são funções periódicas do período 2 π . Este é o menor período, exceto pela tangente e cotangente, que têm π como menor período. Isso significa que, para cada inteiro k , um tem
Identidade pitagórica
A identidade pitagórica , é a expressão do teorema de Pitágoras em termos de funções trigonométricas. Isto é
Fórmulas de soma e diferença
As fórmulas de soma e diferença permitem expandir o seno, o cosseno e a tangente de uma soma ou diferença de dois ângulos em termos de senos e cossenos e tangentes dos próprios ângulos. Eles podem ser derivados geometricamente, usando argumentos que datam de Ptolomeu . Também é possível produzi-los algebricamente usando a fórmula de Euler .
- Soma
- Diferença
Quando os dois ângulos são iguais, as fórmulas de soma reduzem-se a equações mais simples conhecidas como fórmulas de ângulo duplo .
Essas identidades podem ser usadas para derivar as identidades do produto para a soma .
Ao definir todas as funções trigonométricas de pode ser expresso como frações racionais de :
Junto com
esta é a substituição de meio-ângulo tangente , que reduz o cálculo de integrais e antiderivadas de funções trigonométricas ao de frações racionais.
Derivados e antiderivados
As derivadas de funções trigonométricas resultam daquelas de seno e cosseno aplicando a regra de quociente . Os valores dados para as antiderivadas na tabela a seguir podem ser verificados diferenciando-os. O número C é uma constante de integração .
Alternativamente, os derivados das 'cofunções' podem ser obtidos usando identidades trigonométricas e a regra da cadeia:
Funções inversas
As funções trigonométricas são periódicas e, portanto, não injetivas , portanto, estritamente falando, não têm função inversa . No entanto, em cada intervalo em que uma função trigonométrica é monotônica , pode-se definir uma função inversa, e esta define funções trigonométricas inversas como funções multivaloradas . Para definir uma função inversa verdadeira, deve-se restringir o domínio a um intervalo onde a função é monotônica e, portanto, bijetiva desse intervalo à sua imagem pela função. A escolha comum para esse intervalo, chamada de conjunto de valores principais , é fornecida na tabela a seguir. Como de costume, as funções trigonométricas inversas são denotadas com o prefixo "arco" antes do nome ou sua abreviatura da função.
As notações sen −1 , cos −1 , etc. são frequentemente usadas para arcsin e arccos , etc. Quando esta notação é usada, as funções inversas podem ser confundidas com inversas multiplicativas. A notação com o prefixo "arc" evita essa confusão, embora "arcsec" para arcsecant possa ser confundido com " arco-segundo ".
Assim como o seno e o cosseno, as funções trigonométricas inversas também podem ser expressas em termos de séries infinitas. Eles também podem ser expressos em termos de logaritmos complexos .
Formulários
Ângulos e lados de um triângulo
Nessas seções , A , B , C denotam os três ângulos (internos) de um triângulo, e a , b , c denotam os comprimentos das respectivas arestas opostas. Eles estão relacionados por várias fórmulas, que são nomeadas pelas funções trigonométricas que envolvem.
Lei dos senos
A lei dos senos afirma que, para um triângulo arbitrário com lados a , b e c e ângulos opostos aos lados A , B e C :
- ,
onde Δ é a área do triângulo, ou, equivalentemente,
- ,
onde R é o circumradius do triângulo .
Isso pode ser provado dividindo o triângulo em dois corretos e usando a definição de seno acima. A lei dos senos é útil para calcular os comprimentos dos lados desconhecidos em um triângulo se dois ângulos e um lado forem conhecidos. Esta é uma situação comum que ocorre na triangulação , uma técnica para determinar distâncias desconhecidas medindo dois ângulos e uma distância fechada acessível.
Lei dos cossenos
A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula do cosseno ou regra do cosseno) é uma extensão do teorema de Pitágoras :
- ,
ou equivalente,
- .
Nesta fórmula, o ângulo em C é oposto ao lado c . Este teorema pode ser provado dividindo o triângulo em dois corretos e usando o teorema de Pitágoras .
A lei dos cossenos pode ser usada para determinar um lado de um triângulo se dois lados e o ângulo entre eles forem conhecidos. Também pode ser usado para encontrar os cossenos de um ângulo (e, conseqüentemente, os próprios ângulos) se os comprimentos de todos os lados forem conhecidos.
Lei das tangentes
Todos os itens a seguir formam a lei das tangentes
- ;
- ;
- .
A explicação das fórmulas em palavras seria complicada, mas os padrões de somas e diferenças, para os comprimentos e ângulos opostos correspondentes, são aparentes no teorema.
Lei dos cotangentes
Se
- (o raio do círculo inscrito para o triângulo)
e
- (o semiperímetro para o triângulo),
então o seguinte tudo forma a lei dos cotangentes
- ;
- ;
- .
Segue que
- .
Em palavras, o teorema é: a cotangente de um meio-ângulo é igual à razão do semiperímetro menos o lado oposto ao dito ângulo, para o raio do triângulo.
Funções periódicas
As funções trigonométricas também são importantes na física. As funções seno e cosseno, por exemplo, são usadas para descrever o movimento harmônico simples , que modela muitos fenômenos naturais, como o movimento de uma massa presa a uma mola e, para pequenos ângulos, o movimento pendular de uma massa pendurada por um fragmento. As funções seno e cosseno são projeções unidimensionais de movimento circular uniforme .
Funções trigonométricas também se mostram úteis no estudo de funções periódicas gerais . Os padrões de onda característicos das funções periódicas são úteis para modelar fenômenos recorrentes, como ondas sonoras ou de luz .
Em condições bastante gerais, uma função periódica f ( x ) pode ser expressa como uma soma de ondas seno ou cosseno em uma série de Fourier . Denotando as funções de base seno ou cosseno por φ k , a expansão da função periódica f ( t ) assume a forma:
Por exemplo, a onda quadrada pode ser escrita como a série de Fourier
Na animação de uma onda quadrada no canto superior direito, pode-se ver que apenas alguns termos já produzem uma aproximação bastante boa. A sobreposição de vários termos na expansão de uma onda dente de serra é mostrada abaixo.
História
Embora o estudo inicial da trigonometria possa ser rastreado até a antiguidade, as funções trigonométricas como são usadas hoje foram desenvolvidas no período medieval. A função do acorde foi descoberta por Hiparco de Nicéia (180-125 aC) e Ptolomeu do Egito romano (90-165 dC). As funções de seno e verseno (1 - cosseno) podem ser rastreadas até as funções jyā e koti -jyā usadas na astronomia indiana do período Gupta ( Aryabhatiya , Surya Siddhanta ), por meio da tradução do sânscrito para o árabe e depois do árabe para o latim. (Veja a tabela senoidal de Aryabhata .)
Todas as seis funções trigonométricas em uso eram conhecidas na matemática islâmica no século 9, assim como a lei dos senos , usada na resolução de triângulos . Com exceção do seno (que foi adotado da matemática indiana), as outras cinco funções trigonométricas modernas foram descobertas por matemáticos persas e árabes, incluindo o cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Al-Khwārizmī (c. 780–850) produziu tabelas de senos, cossenos e tangentes. Por volta de 830, Habash al-Hasib al-Marwazi descobriu a cotangente e produziu tabelas de tangentes e cotangentes. Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853-929) descobriu as funções recíprocas de secante e cossecante e produziu a primeira tabela de cossecantes para cada grau de 1 ° a 90 °. As funções trigonométricas foram posteriormente estudadas por matemáticos, incluindo Omar Khayyám , Bhāskara II , Nasir al-Din al-Tusi , Jamshīd al-Kāshī (século 14), Ulugh Beg (século 14), Regiomontanus (1464), Rheticus e aluno de Rheticus Valentinus Otho .
Madhava de Sangamagrama (c. 1400) deu passos iniciais na análise das funções trigonométricas em termos de séries infinitas . (Veja a série de Madhava e a mesa sinusoidal de Madhava .)
Os termos tangente e secante foram introduzidos pela primeira vez pelo matemático dinamarquês Thomas Fincke em seu livro Geometria rotundi (1583).
O matemático francês do século 17 Albert Girard fez o primeiro uso publicado das abreviações sin , cos e tan em seu livro Trigonométrie .
Em um artigo publicado em 1682, Leibniz provou que sen x não é uma função algébrica de x . Embora introduzidos como proporções dos lados de um triângulo retângulo , e assim parecendo funções racionais , o resultado de Leibnitz estabeleceu que elas são, na verdade, funções transcendentais de seu argumento. A tarefa de assimilar funções circulares em expressões algébricas foi realizada por Euler em sua Introdução à Análise do Infinito (1748). Seu método era mostrar que as funções seno e cosseno são séries alternadas formadas a partir dos termos pares e ímpares, respectivamente, da série exponencial . Ele apresentou " a fórmula de Euler ", assim como abreviaturas quase-moderno ( pecado. , Cos. , Tang. , Berço. , Seg. , E cosec. ).
Algumas funções eram comuns historicamente, mas agora raramente são usadas, como o acorde , o versine (que aparecia nas primeiras tabelas), o coversine , o haversine , o exsecant e o excosecant . A lista de identidades trigonométricas mostra mais relações entre essas funções.
- crd ( θ ) = 2 sin (θ/2)
- versin ( θ ) = 1 - cos ( θ ) = 2 sen 2 (θ/2)
- coversin ( θ ) = 1 - sin ( θ ) = versin (π/2- θ )
- haversin ( θ ) =1/2versin ( θ ) = sin 2 (θ/2)
- exsec ( θ ) = sec ( θ ) - 1
- excsc ( θ ) = exsec (π/2- θ ) = csc ( θ ) - 1
Etimologia
A palavra seno deriva do latim sinus , que significa "dobrar; baía", e mais especificamente "a dobra pendente da parte superior de uma toga ", "o seio de uma vestimenta", que foi escolhida como a tradução do que foi interpretado como a palavra árabe jaib , que significa "bolso" ou "dobra" nas traduções do século XII das obras de Al-Battani e al-Khwārizmī para o latim medieval . A escolha foi baseada em uma leitura incorreta da forma escrita árabe jyb ( جيب ), que se originou como uma transliteração do sânscrito jīvā , que junto com seu sinônimo jyā (o termo sânscrito padrão para o seno) se traduz como "corda de arco", estando em sua vez adotada do grego antigo χορδή "string".
A palavra tangente vem do latim tangens, que significa "tocar", uma vez que a linha toca o círculo de raio unitário, enquanto secante deriva do latim secans - "cortar" - visto que a linha corta o círculo.
O prefixo " co " (em "co-seno", "co-tangente", "co-secante") é encontrado na Edmund Gunter 's Canon triangulorum (1620), que define o cosinus como abreviatura para o seio complementi (seno do ângulo complementar ) e prossegue para definir os cotangens de forma semelhante.
Veja também
- Todos os alunos fazem cálculo - um mnemônico para relembrar os sinais das funções trigonométricas em um determinado quadrante de um plano cartesiano
- Fórmula de aproximação do seno de Bhaskara I
- Diferenciação de funções trigonométricas
- Trigonometria generalizada
- Gerando tabelas trigonométricas
- Função hiperbólica
- Lista de integrais de funções trigonométricas
- Lista de funções periódicas
- Lista de identidades trigonométricas
- Seno polar - uma generalização para ângulos de vértice
- Provas de identidades trigonométricas
- Versine - para várias funções trigonométricas menos usadas
Notas
Referências
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junho de 1964]. Manual de funções matemáticas com fórmulas, gráficos e tabelas matemáticas . Série de Matemática Aplicada. 55 (Nona reimpressão com correções adicionais da décima impressão original com correções (dezembro de 1972); primeira edição). Washington DC; Nova York: Departamento de Comércio dos Estados Unidos, National Bureau of Standards; Publicações de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
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links externos
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- Módulo Visionlearning em Wave Mathematics
- GonioLab Visualização do círculo unitário, funções trigonométricas e hiperbólicas
- Artigo q-Sine sobre o análogo q do pecado na MathWorld
- Artigo q-Cosine sobre o análogo q de cos na MathWorld