Função de escolha - Choice function

Uma função de escolha ( seletor , seleção ) é uma função matemática f que é definida em alguma coleção X de conjuntos não vazios e atribui algum elemento de cada conjunto S nessa coleção a S por f ( S ); f ( S ) mapeia S para algum elemento de S . Em outras palavras, f é uma função escolha para X se e somente se ele pertence ao produto direto de X .

Um exemplo

Seja X  = {{1,4,7}, {9}, {2,7}}. Em seguida, a função que cessionários 7 para o conjunto {1,4,7}, 9 a {9}, e 2 a {2,7} é uma função de escolha em X .

História e importância

Ernst Zermelo (1904) introduziu funções de escolha, bem como o axioma de escolha (AC) e provou o teorema da boa ordenação , que afirma que todo conjunto pode ser bem ordenado . AC afirma que cada conjunto de conjuntos não vazios tem uma função de escolha. Uma forma mais fraca de AC, o axioma da escolha contável (AC ω ) afirma que todo conjunto contável de conjuntos não vazios tem uma função de escolha. No entanto, na ausência de AC ou AC ω , alguns conjuntos ainda podem ter uma função de escolha.

  • Se for um conjunto finito de conjuntos não vazios, então pode-se construir uma função de escolha escolhendo um elemento de cada membro de. Isso requer apenas opções finitas, então nem AC nem AC ω são necessários.
  • Se cada membro de for um conjunto não vazio e a união for bem ordenada, pode-se escolher o menor elemento de cada membro de . Nesse caso, era possível ordenar simultaneamente todos os membros de , fazendo apenas uma escolha de uma boa ordem da união, de modo que nem AC nem AC ω eram necessários. (Este exemplo mostra que o teorema de boa ordenação implica AC. O inverso também é verdadeiro, mas menos trivial.)

Função de escolha de um mapa de valores múltiplos

Dados dois conjuntos X e Y , seja F um mapa multivalorado de X e Y (equivalentemente, é uma função de X para o conjunto de potência de Y ).

Uma função é considerada uma seleção de F , se:

A existência de funções de escolha mais regulares, nomeadamente seleções contínuas ou mensuráveis, é importante na teoria das inclusões diferenciais , controle ótimo e economia matemática . Veja teorema de seleção .

Função Bourbaki tau

Nicolas Bourbaki usou cálculo épsilon para seus fundamentos, que tinha um símbolo que poderia ser interpretado como a escolha de um objeto (se existisse) que satisfaz uma dada proposição. Portanto, se é um predicado, é um objeto particular que satisfaz (se houver, caso contrário, ele retorna um objeto arbitrário). Portanto, podemos obter quantificadores da função de escolha, por exemplo, era equivalente a .

No entanto, a operadora de escolha de Bourbaki é mais forte do que o normal: é uma operadora de escolha global . Ou seja, implica o axioma da escolha global . Hilbert percebeu isso ao introduzir o cálculo épsilon.

Veja também

Notas

Referências

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