Densidade de carga - Charge density

No eletromagnetismo , a densidade de carga é a quantidade de carga elétrica por unidade de comprimento , área de superfície ou volume . A densidade de carga de volume (simbolizada pela letra grega ρ) é a quantidade de carga por unidade de volume, medida no sistema SI em coulombs por metro cúbico (C⋅m −3 ), em qualquer ponto de um volume. A densidade de carga superficial (σ) é a quantidade de carga por unidade de área, medida em coulombs por metro quadrado (C⋅m −2 ), em qualquer ponto de uma distribuição de carga superficial em uma superfície bidimensional. A densidade de carga linear (λ) é a quantidade de carga por unidade de comprimento, medida em coulombs por metro (C⋅m −1 ), em qualquer ponto de uma distribuição de carga de linha. A densidade de carga pode ser positiva ou negativa, já que a carga elétrica pode ser positiva ou negativa.

Como a densidade de massa , a densidade de carga pode variar com a posição. Em clássica teoria electromagnética densidade de carga é idealizado como um contínuo escalar função de posição , como um fluido, e , , e são geralmente considerados como distribuições de cargas contínuas , mesmo que todas as distribuições de carga reais são constituídos por discretas partículas carregadas. Devido à conservação da carga elétrica , a densidade de carga em qualquer volume só pode mudar se uma corrente elétrica de carga fluir para dentro ou para fora do volume. Isso é expresso por uma equação de continuidade que liga a taxa de mudança da densidade de carga e a densidade de corrente .

Como toda carga é transportada por partículas subatômicas , que podem ser idealizadas como pontos, o conceito de uma distribuição contínua de carga é uma aproximação, que se torna imprecisa em escalas de comprimento pequenas. Uma distribuição de carga é basicamente composta de partículas individuais carregadas separadas por regiões sem carga. Por exemplo, a carga em um objeto de metal eletricamente carregado é composta de elétrons de condução que se movem aleatoriamente na estrutura cristalina do metal . A eletricidade estática é causada por cargas superficiais que consistem em íons na superfície dos objetos, e a carga espacial em um tubo de vácuo é composta por uma nuvem de elétrons livres movendo-se aleatoriamente no espaço. A densidade dos portadores de carga em um condutor é igual ao número de portadores de carga móveis ( elétrons , íons , etc.) por unidade de volume. A densidade de carga em qualquer ponto é igual à densidade do portador de carga multiplicada pela carga elementar nas partículas. No entanto, como a carga elementar em um elétron é tão pequena (1,6⋅10 −19 C) e há tantos deles em um volume macroscópico (há cerca de 10 22 elétrons de condução em um centímetro cúbico de cobre), a aproximação contínua é muito preciso quando aplicado a volumes macroscópicos e até mesmo a volumes microscópicos acima do nível nanométrico.

Em escalas atômicas, devido ao princípio de incerteza da mecânica quântica , uma partícula carregada não tem uma posição precisa, mas é representada por uma distribuição de probabilidade , então a carga de uma partícula individual não está concentrada em um ponto, mas é "espalhada" em espaço e atua como uma verdadeira distribuição contínua de carga. Este é o significado de 'distribuição de carga' e 'densidade de carga' usado em química e ligações químicas . Um elétron é representado por uma função de onda cujo quadrado é proporcional à probabilidade de encontrar o elétron em qualquer ponto do espaço, portanto, é proporcional à densidade de carga do elétron em qualquer ponto. Nos átomos e moléculas a carga dos elétrons é distribuída em nuvens chamadas orbitais que circundam o átomo ou molécula e são responsáveis ​​pelas ligações químicas .

Definições

Cargas contínuas

Distribuição contínua de carga. A densidade de carga volumétrica ρ é a quantidade de carga por unidade de volume (tridimensional), a densidade de carga superficial σ é a quantidade por área superficial unitária (círculo) com a unidade normal externa , d é o momento dipolar entre duas cargas pontuais, a densidade volumétrica destes é a densidade polarização P . O vetor posição r é um ponto para calcular o campo elétrico ; r ′ é um ponto no objeto carregado.

A seguir estão as definições para distribuições de carga contínua.

A densidade de carga linear é a razão de uma carga elétrica infinitesimal d Q (unidade SI: C ) para um elemento de linha infinitesimal ,

da mesma forma, a densidade de carga superficial usa um elemento de área superficial d S

e a densidade de carga de volume usa um elemento de volume d V

A integração das definições dá a carga total Q de uma região de acordo com a integral de linha da densidade de carga linear λ q ( r ) ao longo de uma linha ou curva 1d C ,

da mesma forma, uma integral de superfície da densidade de carga superficial σ q ( r ) sobre uma superfície S ,

e uma integral de volume da densidade de carga de volume ρ q ( r ) sobre um volume V ,

onde o subscrito q é para esclarecer que a densidade é para carga elétrica, não outras densidades como densidade de massa , densidade de número , densidade de probabilidade e evitar conflito com os muitos outros usos de λ, σ, ρ em eletromagnetismo para comprimento de onda , resistividade elétrica e condutividade .

No contexto do eletromagnetismo, os subscritos são geralmente descartados para simplificar: λ, σ, ρ. Outras notações podem incluir: ρ , ρ s , ρ v , ρ L , ρ S , ρ V etc.

A carga total dividida pelo comprimento, área de superfície ou volume serão as densidades médias de carga:

Gratuito, vinculado e carga total

Em materiais dielétricos , a carga total de um objeto pode ser separada em cargas "livres" e "ligadas".

Cargas ligadas criam dipolos elétricos em resposta a um campo elétrico E aplicado e polarizam outros dipolos próximos tendendo a alinhá-los, o acúmulo líquido de carga a partir da orientação dos dipolos é a carga ligada. Eles são chamados de ligados porque não podem ser removidos: no material dielétrico, as cargas são os elétrons ligados aos núcleos .

Cargas livres são as cargas em excesso que podem entrar em equilíbrio eletrostático , ou seja, quando as cargas não estão se movendo e o campo elétrico resultante é independente do tempo, ou constituem correntes elétricas .

Densidades de carga total

Em termos de densidades de carga de volume, a densidade de carga total é:

quanto às densidades de carga superficial:

onde os subscritos "f" e "b" denotam "livre" e "vinculado", respectivamente.

Carga vinculada

A carga superficial ligada é a carga empilhada na superfície do dielétrico , dada pelo momento dipolar perpendicular à superfície:

onde s é a separação entre as cargas pontuais que constituem o dipolo, é o momento de dipolo elétrico , é o vetor normal unitário à superfície.

Tomando infinitesimais :

e a divisão pelo elemento de superfície diferencial dS dá a densidade de carga de superfície ligada:

onde P é a densidade de polarização , ou seja, densidade de momentos de dipolo elétrico dentro do material, e dV é o elemento de volume diferencial .

Usando o teorema da divergência , a densidade de carga de volume ligada dentro do material é

\ oiint

por isso:

O sinal negativo surge devido aos sinais opostos nas cargas dos dipolos, uma extremidade está dentro do volume do objeto, a outra na superfície.

Uma derivação mais rigorosa é fornecida abaixo.

Densidade de carga livre

A densidade de carga gratuita serve como uma simplificação útil na lei de Gauss para eletricidade; a integral de volume dele é a carga livre encerrada em um objeto carregado - igual ao fluxo líquido do campo de deslocamento elétrico D emergindo do objeto:

\ oiint

Consulte as equações de Maxwell e a relação constitutiva para obter mais detalhes.

Densidade de carga homogênea

Para o caso especial de uma densidade de carga homogênea ρ 0 , independente da posição, ou seja, constante em toda a região do material, a equação simplifica para:

A prova disso é imediata. Comece com a definição da carga de qualquer volume:

Então, por definição de homogeneidade, ρ q ( r ) é uma constante denotada por ρ q , 0 (para diferir entre as densidades constantes e não constantes), e assim pelas propriedades de uma integral pode ser puxada para fora da integral resultante em:

assim,

As provas equivalentes para densidade de carga linear e densidade de carga superficial seguem os mesmos argumentos acima.

Cargas discretas

Para um único ponto de carga q na posição r 0 dentro de uma região do espaço 3d R , como um elétron , a densidade de carga de volume pode ser expressa pela função delta de Dirac :

onde r é a posição para calcular a carga.

Como sempre, a integral da densidade de carga sobre uma região do espaço é a carga contida nessa região. A função delta tem a propriedade de peneiramento para qualquer função f :

portanto, a função delta garante que quando a densidade de carga é integrada sobre R , a carga total em R é q :

Isso pode ser estendido para N portadores de carga semelhantes a pontos discretos. A densidade de carga do sistema em um ponto r é uma soma das densidades de carga para cada carga q i na posição r i , onde i = 1, 2, ..., N :

A função delta para cada carga q i na soma, δ ( r - r i ), garante que a integral da densidade de carga sobre R retorna a carga total em R :

Se todos os portadores de carga têm a mesma carga q (para elétrons q = - e , a carga do elétron ), a densidade de carga pode ser expressa através do número de portadores de carga por unidade de volume, n ( r ), por

Equações semelhantes são usadas para as densidades de carga linear e superficial.

Densidade de carga na relatividade especial

Na relatividade especial , o comprimento de um segmento de fio depende da velocidade do observador por causa da contração do comprimento , então a densidade de carga também dependerá da velocidade. Anthony French descreveu como a força do campo magnético de um fio condutor de corrente surge dessa densidade de carga relativa. Ele usou (p. 260) um diagrama de Minkowski para mostrar "como um fio neutro com corrente parece carregar uma densidade de carga líquida conforme observada em um quadro em movimento." Quando uma densidade de carga é medida em um referencial móvel, ela é chamada de densidade de carga adequada .

Acontece que a densidade de carga ρ e a densidade de corrente J se transformam juntas como um vetor de quatro correntes sob as transformações de Lorentz .

Densidade de carga em mecânica quântica

Na mecânica quântica , a densidade de carga ρ q está relacionada à função de onda ψ ( r ) pela equação

onde q é a carga da partícula e | ψ ( r ) | 2 = ψ * ( r ) ψ ( r ) é a função de densidade de probabilidade, isto é, probabilidade por unidade de volume de uma partícula localizada em r .

Quando a função de onda é normalizada - a carga média na região rR é

onde d 3 r é a medida de integração sobre o espaço de posição 3d.

Aplicativo

A densidade de carga aparece na equação de continuidade para corrente elétrica e também nas Equações de Maxwell . É o principal termo fonte do campo eletromagnético ; quando a distribuição de carga se move, isso corresponde a uma densidade de corrente . A densidade de carga das moléculas afeta os processos químicos e de separação. Por exemplo, a densidade de carga influencia a ligação metal-metal e a ligação de hidrogênio . Para processos de separação como a nanofiltração , a densidade de carga dos íons influencia sua rejeição pela membrana.

Veja também

Referências

links externos

  • [1] - Distribuições de carga espacial