Ângulo central - Central angle

O ângulo AOB é um ângulo central

Um ângulo central é um ângulo cujo vértice (vértice) é o centro O de um círculo e cujas pernas (lados) são raios que cruzam o círculo em dois pontos distintos A e B. Os ângulos centrais são subtendidos por um arco entre esses dois pontos, e o comprimento do arco é o ângulo central de um círculo de raio um (medido em radianos ). O ângulo central também é conhecido como distância angular do arco .

O tamanho de um ângulo central Θ é 0 ° <Θ <360 ° ou 0 <Θ <2π (radianos). Ao definir ou desenhar um ângulo central, além de especificar os pontos A e B , deve-se especificar se o ângulo a ser definido é o ângulo convexo (<180 °) ou o ângulo reflexo (> 180 °). De forma equivalente, deve-se especificar se o movimento do ponto A ao ponto B é no sentido horário ou anti-horário.

Fórmulas

Se os pontos de interseção A e B das pernas do ângulo com o círculo formam um diâmetro , então Θ = 180 ° é um ângulo reto . (Em radianos, Θ = π .)

Seja L o arco menor do círculo entre os pontos A e B , e seja R o raio do círculo.

Ângulo central. Convexo. É subtendido pelo arco menor L

Se o ângulo central Θ é subtendido por L , então

$${\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <\ Theta <180 ^ {\ circ} \ ,, \, \, \ Theta = \ left ({\ frac {180L} {\ pi R}} \ right) ^ {\ circ} = {\ frac {L} {R}}.}$$

Prova (para graus)  -

A circunferência de um círculo com raio R é 2π R , e o arco menor L é o (Θ/360 °) parte proporcional de toda a circunferência (ver arco ). Então:

$${\ displaystyle L = {\ frac {\ Theta} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot 2 \ pi R \, \ Rightarrow \, \ Theta = \ left ({\ frac {180L} {\ pi R} } \ right) ^ {\ circ}.}$$

Ângulo central. Reflexo. Não é subtendido por L

Prova (para radianos)  -

A circunferência de um círculo com raio R é 2π R , e o arco menor L é o (Θ/2π) parte proporcional de toda a circunferência (ver arco ). Então

$${\ displaystyle L = {\ frac {\ Theta} {2 \ pi}} \ cdot 2 \ pi R \, \ Rightarrow \, \ Theta = {\ frac {L} {R}}.}$$

Se o ângulo central Θ não for subtendido pelo arco menor L , então Θ é um ângulo reflexo e

$${\ displaystyle 180 ^ {\ circ} <\ Theta <360 ^ {\ circ} \ ,, \, \, \ Theta = \ left (360 - {\ frac {180L} {\ pi R}} \ right) ^ {\ circ} = 2 \ pi - {\ frac {L} {R}}.}$$

Se uma tangente em A e uma tangente em B se cruzam no ponto exterior P , denotando o centro como O , os ângulos ∠ BOA (convexo) e ∠ BPA são suplementares (somam 180 °).

Ângulo central de um polígono regular

Um polígono regular com n lados tem um círculo circunscrito sobre o qual todos os seus vértices se encontram, e o centro do círculo também é o centro do polígono. O ângulo central do polígono regular é formado no centro pelos raios de dois vértices adjacentes. A medida deste ângulo é${\ displaystyle 2 \ pi / n.}$

Veja também

• Ângulo inscrito
• Grande círculo de navegação

Referências

links externos

• "Ângulo central (de um círculo)" . Referência de matemática aberta. 2009 . Recuperado em 30 de dezembro de 2013 . interativo
• "Teorema do Ângulo Central" . Referência de matemática aberta. 2009 . Recuperado em 30 de dezembro de 2013 . interativo
• Ângulos inscritos e centrais em um círculo