Em geometria , a fórmula de Bretschneider é a seguinte expressão para a área de um quadrilátero geral :
K
=
(
s
-
uma
)
(
s
-
b
)
(
s
-
c
)
(
s
-
d
)
-
uma
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right )}}}
=
(
s
-
uma
)
(
s
-
b
)
(
s
-
c
)
(
s
-
d
)
-
1
2
uma
b
c
d
[
1
+
cos
(
α
+
γ
)
]
.
{\ displaystyle = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - {\ tfrac {1} {2}} abcd [1+ \ cos (\ alpha + \ gamma)]}}.}
Aqui, a b c d s semiperímetro e α γ
A fórmula de Bretschneider funciona em qualquer quadrilátero, seja cíclico ou não.
O matemático alemão Carl Anton Bretschneider descobriu a fórmula em 1842. A fórmula também foi derivada no mesmo ano pelo matemático alemão Karl Georg Christian von Staudt .
Prova Denotar a área do quadrilátero por K
K
=
área de
△
UMA
D
B
+
área de
△
B
D
C
=
uma
d
pecado
α
2
+
b
c
pecado
γ
2
.
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} K & = {\ text {area of}} \ triângulo ADB + {\ text {área}} \ triângulo BDC \\ & = {\ frac {ad \ sin \ alpha} {2} } + {\ frac {bc \ sin \ gamma} {2}}. \ end {alinhado}}}
Portanto
2
K
=
(
uma
d
)
pecado
α
+
(
b
c
)
pecado
γ
.
{\ displaystyle 2K = (ad) \ sin \ alpha + (bc) \ sin \ gamma.}
4
K
2
=
(
uma
d
)
2
pecado
2
α
+
(
b
c
)
2
pecado
2
γ
+
2
uma
b
c
d
pecado
α
pecado
γ
.
{\ displaystyle 4K ^ {2} = (ad) ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma + 2abcd \ sin \ alpha \ sin \ gamma .}
A lei dos cossenos implica que
uma
2
+
d
2
-
2
uma
d
cos
α
=
b
2
+
c
2
-
2
b
c
cos
γ
,
{\ displaystyle a ^ {2} + d ^ {2} -2ad \ cos \ alpha = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos \ gamma,}
porque ambos os lados são iguais ao quadrado do comprimento da diagonal BD
(
uma
2
+
d
2
-
b
2
-
c
2
)
2
4
=
(
uma
d
)
2
cos
2
α
+
(
b
c
)
2
cos
2
γ
-
2
uma
b
c
d
cos
α
cos
γ
.
{\ displaystyle {\ frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} {4}} = (anúncio) ^ {2} \ cos ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma -2abcd \ cos \ alpha \ cos \ gamma.}
Adicionando isso à fórmula acima para rendimentos de
4 K 2
4
K
2
+
(
uma
2
+
d
2
-
b
2
-
c
2
)
2
4
=
(
uma
d
)
2
+
(
b
c
)
2
-
2
uma
b
c
d
cos
(
α
+
γ
)
=
(
uma
d
+
b
c
)
2
-
2
uma
b
c
d
-
2
uma
b
c
d
cos
(
α
+
γ
)
=
(
uma
d
+
b
c
)
2
-
2
uma
b
c
d
(
cos
(
α
+
γ
)
+
1
)
=
(
uma
d
+
b
c
)
2
-
4
uma
b
c
d
(
cos
(
α
+
γ
)
+
1
2
)
=
(
uma
d
+
b
c
)
2
-
4
uma
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} 4K ^ {2} + {\ frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} { 4}} & = (ad) ^ {2} + (bc) ^ {2} -2abcd \ cos (\ alpha + \ gamma) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd-2abcd \ cos (\ alpha + \ gamma) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd (\ cos (\ alpha + \ gamma) +1) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd \ left ({\ frac {\ cos (\ alpha + \ gamma) +1} {2}} \ right) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right). \ end {alinhado}}}
Observe que: (uma identidade trigonométrica verdadeira para todos )
cos
2
α
+
γ
2
=
1
+
cos
(
α
+
γ
)
2
{\ displaystyle \ cos ^ {2} {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} = {\ frac {1+ \ cos (\ alpha + \ gamma)} {2}}}
α
+
γ
2
{\ displaystyle {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}}}
Seguindo os mesmos passos da fórmula de Brahmagupta , isso pode ser escrito como
16
K
2
=
(
uma
+
b
+
c
-
d
)
(
uma
+
b
-
c
+
d
)
(
uma
-
b
+
c
+
d
)
(
-
uma
+
b
+
c
+
d
)
-
16
uma
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\ displaystyle 16K ^ {2} = (a + b + cd) (a + b-c + d) (a-b + c + d) (- a + b + c + d) -16abcd \ cos ^ { 2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right).}
Apresentando o semiperímetro
s
=
uma
+
b
+
c
+
d
2
,
{\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}},}
o acima se torna
16
K
2
=
16
(
s
-
d
)
(
s
-
c
)
(
s
-
b
)
(
s
-
uma
)
-
16
uma
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\ displaystyle 16K ^ {2} = 16 (sd) (sc) (sb) (sa) -16abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right) }
K
2
=
(
s
-
uma
)
(
s
-
b
)
(
s
-
c
)
(
s
-
d
)
-
uma
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\ displaystyle K ^ {2} = (sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right)}
e a fórmula de Bretschneider segue após tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
K
=
(
s
-
uma
)
(
s
-
b
)
(
s
-
c
)
(
s
-
d
)
-
uma
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right )}}}
Fórmulas Relacionadas A fórmula de Bretschneider generaliza a fórmula de Brahmagupta para a área de um quadrilátero cíclico , que por sua vez generaliza a fórmula de Heron para a área de um triângulo .
O ajuste trigonométrico na fórmula de Bretschneider para a não ciclicidade do quadrilátero pode ser reescrito de forma não trigonométrica em termos dos lados e das diagonais e f
K
=
1
4
4
e
2
f
2
-
(
b
2
+
d
2
-
uma
2
-
c
2
)
2
=
(
s
-
uma
)
(
s
-
b
)
(
s
-
c
)
(
s
-
d
)
-
1
4
(
uma
c
+
b
d
+
e
f
)
(
uma
c
+
b
d
-
e
f
)
.
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} K & = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {4e ^ {2} f ^ {2} - (b ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} \\ & = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - {\ tfrac {1} {4}} (ac + bd + ef) (ac + bd-ef)}}. \ end {alinhado}}}
Notas
Referências e leituras adicionais
Ayoub, Ayoub B. (2007). "Generalizações dos Teoremas de Ptolomeu e Brahmagupta". Educação Matemática e Informática . 41 (1). ISSN 0730-8639 .
CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( cópia online, alemão )
F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( cópia online, alemão )
links externos
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![= {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - {\ tfrac {1} {2}} abcd [1+ \ cos (\ alpha + \ gamma)]}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274a2fdb98ed6e71c98f8dee380c3e1318d9e4a7)
