Fórmula de Brahmagupta - Brahmagupta's formula

Na geometria euclidiana , a fórmula de Brahmagupta é usada para encontrar a área de qualquer quadrilátero cíclico (aquele que pode ser inscrito em um círculo) dados os comprimentos dos lados.

Fórmula

A fórmula de Brahmagupta dá a área K de um quadrilátero cíclico cujos lados têm comprimentos a , b , c , d como

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}}}$

onde s , o semiperímetro , é definido como

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}}.}$

Esta fórmula generaliza a fórmula de Heron para a área de um triângulo . Um triângulo pode ser considerado um quadrilátero com um lado de comprimento zero. Dessa perspectiva, conforme d se aproxima de zero, um quadrilátero cíclico converge em um triângulo cíclico (todos os triângulos são cíclicos), e a fórmula de Brahmagupta simplifica a fórmula de Heron.

Se o semiperímetro não for usado, a fórmula de Brahmagupta é

${\ displaystyle K = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(-a + b + c + d) (a-b + c + d) (a + b-c + d) (a + b + cd)}}.}$

Outra versão equivalente é

${\ displaystyle K = {\ frac {\ sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) ^ {2} + 8abcd-2 (a ^ {4 } + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4})}} {4}} \ cdot}$

Prova

Diagrama para referência

Prova trigonométrica

Aqui, as notações na figura à direita são usadas. A área K do quadrilátero cíclico é igual à soma das áreas de △ ADB e △ BDC :

${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} pq \ sin A + {\ frac {1} {2}} rs \ sin C.}$

Mas como □ ABCD é um quadrilátero cíclico, ∠ DAB = 180 ° - ∠ DCB . Daí sin Um = sin C . Portanto,

${\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} pq \ sin A + {\ frac {1} {2}} rs \ sin A}$

${\ displaystyle K ^ {2} = {\ frac {1} {4}} (pq + rs) ^ {2} \ sin ^ {2} A}$

${\ displaystyle 4K ^ {2} = (pq + rs) ^ {2} (1- \ cos ^ {2} A)}$

(usando a  identidade trigonométrica )

Resolvendo para DB lado comum , em △ ADB e △ BDC , a lei dos cossenos dá

${\ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} -2pq \ cos A = r ^ {2} + s ^ {2} -2rs \ cos C.}$

Substituindo cos C = −cos A (uma vez que os ângulos A e C são suplementares ) e reorganizando, temos

${\ displaystyle 2 (pq + rs) \ cos A = p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}.}$

Substituindo isso na equação para a área,

${\ displaystyle 4K ^ {2} = (pq + rs) ^ {2} - {\ frac {1} {4}} (p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}) ^ {2}}$

${\ displaystyle 16K ^ {2} = 4 (pq + rs) ^ {2} - (p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}) ^ {2}. }$

O lado direito tem a forma a ² - b ² = ( a - b ) ( a + b ) e, portanto, pode ser escrito como

${\ displaystyle [2 (pq + rs) -p ^ {2} -q ^ {2} + r ^ {2} + s ^ {2}] [2 (pq + rs) + p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}]}$

que, ao reorganizar os termos entre colchetes, resulta

${\ displaystyle = [(r + s) ^ {2} - (pq) ^ {2}] [(p + q) ^ {2} - (rs) ^ {2}]}$

${\ displaystyle = (q + r + sp) (p + r + sq) (p + q + sr) (p + q + rs).}$

Apresentando o semiperímetro S = p + q + r + s/2,

${\ displaystyle 16K ^ {2} = 16 (Sp) (Sq) (Sr) (Ss).}$

Tirando a raiz quadrada, obtemos

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(Sp) (Sq) (Sr) (Ss)}}.}$

Prova não trigonométrica

Uma prova alternativa, não trigonométrica, utiliza duas aplicações da fórmula da área do triângulo de Heron em triângulos semelhantes.

Extensão para quadriláteros não cíclicos

No caso de quadriláteros não cíclicos, a fórmula de Brahmagupta pode ser estendida considerando as medidas de dois ângulos opostos do quadrilátero:

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cos ^ {2} \ theta}}}$

onde θ é a metade da soma de quaisquer dois ângulos opostos. (A escolha de qual par de ângulos opostos é irrelevante: se os outros dois ângulos forem tomados, metade de sua soma é 180 ° - θ . Como cos (180 ° - θ ) = −cos θ , temos cos ² (180 ° - θ ) = cos ² θ .) Esta fórmula mais geral é conhecida como fórmula de Bretschneider .

É uma propriedade dos quadriláteros cíclicos (e, em última análise, dos ângulos inscritos ) que os ângulos opostos de um quadrilátero somam 180 °. Consequentemente, no caso de um quadrilátero inscrito, θ é 90 °, de onde o termo

${\ displaystyle abcd \ cos ^ {2} \ theta = abcd \ cos ^ {2} \ left (90 ^ {\ circ} \ right) = abcd \ cdot 0 = 0,}$

dando a forma básica da fórmula de Brahmagupta. Conclui-se da última equação que a área de um quadrilátero cíclico é a área máxima possível para qualquer quadrilátero com os comprimentos laterais dados.

Uma fórmula relacionada, que foi comprovada por Coolidge , também fornece a área de um quadrilátero convexo geral. Isto é

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - \ textstyle {1 \ over 4} (ac + bd + pq) (ac + bd-pq)}}}$

onde p e q são os comprimentos das diagonais do quadrilátero. Em um quadrilátero cíclico , pq = ac + bd de acordo com o teorema de Ptolomeu , e a fórmula de Coolidge se reduz à fórmula de Brahmagupta.

Teoremas relacionados

• A fórmula de Heron para a área de um triângulo é o caso especial obtido considerando d = 0 .
• A relação entre a forma geral e estendida da fórmula de Brahmagupta é semelhante a como a lei dos cossenos estende o teorema de Pitágoras .
• Existem fórmulas fechadas cada vez mais complicadas para a área de polígonos gerais em círculos, conforme descrito por Maley et al.

Referências

links externos

• Fórmula de Brahmagupta na ProofWiki
• Weisstein, Eric W. "Brahmagupta's Formula" . MathWorld .

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