Biolomorfismo - Biholomorphism

A função exponencial complexa que mapeia biolomorficamente um retângulo a um quarto de anel .

Na teoria matemática das funções de uma ou mais variáveis ​​complexas , e também na geometria algébrica complexa , um biolomorfismo ou função biolomórfica é uma função holomórfica bijetiva cujo inverso também é holomórfico .

Definição formal

Formalmente, uma função biolomórfica é uma função definida em um subconjunto aberto U do espaço complexo -dimensional C ⁿ com valores em C ⁿ que é holomórfico e um-para-um , de modo que sua imagem é um conjunto aberto em C ⁿ e o o inverso também é holomórfico . Mais geralmente, U e V podem ser variedades complexas . Como no caso das funções de uma única variável complexa, uma condição suficiente para um mapa holomórfico ser biolomórfico em sua imagem é que o mapa seja injetivo, caso em que o inverso também é holomórfico (por exemplo, ver Gunning 1990, Teorema I. 11). ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ phi ^ {- 1}: V \ para U}$

Se existe um biolomorfismo , dizemos que U e V são biolomorficamente equivalentes ou que são biolomórficos . ${\ displaystyle \ phi \ dois pontos U \ a V}$

Teorema de mapeamento de Riemann e generalizações

Se todo conjunto aberto simplesmente conectado diferente de todo o plano complexo for biolomórfico ao disco de unidade (este é o teorema do mapeamento de Riemann ). A situação é muito diferente nas dimensões superiores. Por exemplo, bolas unitárias abertas e polidiscos unitários abertos não são biolomorficamente equivalentes para. Na verdade, não existe nem mesmo uma função holomórfica adequada de um para o outro. ${\ displaystyle n = 1,}$${\ displaystyle n> 1.}$

Definições alternativas

No caso dos mapas f  : U → C definidos em um subconjunto aberto U do plano complexo C , alguns autores (por exemplo, Freitag 2009, Definição IV.4.1) definem um mapa conforme para ser um mapa injetivo com derivada diferente de zero, ou seja, f '( z ) ≠ 0 para cada z em L . De acordo com esta definição, um mapa f  : U → C é conforme se e somente se f : U → f ( U ) é biolomórfico. Outros autores (por exemplo, Conway 1978) definem um mapa conforme com uma derivada diferente de zero, sem exigir que o mapa seja injetivo. De acordo com esta definição mais fraca de conformalidade, um mapa conforme não precisa ser biolomórfico, embora seja localmente biolomórfico. Por exemplo, se f : U → U é definido por f ( z ) = z ² com U = C - {0}, então f é conforme em U , uma vez que sua derivada f '( z ) = 2 z ≠ 0, mas não é biolomórfico, pois é 2-1.

Referências

• John B. Conway (1978). Funções de uma variável complexa . Springer-Verlag. ISBN   3-540-90328-3 .
• John P. D'Angelo (1993). Diversas variáveis ​​complexas e a geometria de hipersuperfícies reais . CRC Press. ISBN   0-8493-8272-6 .
• Eberhard Freitag e Rolf Busam (2009). Análise complexa . Springer-Verlag. ISBN   978-3-540-93982-5 .
• Robert C. Gunning (1990). Introdução às funções holomórficas de várias variáveis, vol. II . Wadsworth. ISBN   0-534-13309-6 .
• Steven G. Krantz (2002). Teoria da Função de Diversas Variáveis ​​Complexas . American Mathematical Society. ISBN   0-8218-2724-3 .

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