Teorema de Banach-Alaoglu - Banach–Alaoglu theorem

Na análise funcional e nos ramos relacionados da matemática , o teorema de Banach-Alaoglu (também conhecido como teorema de Alaoglu ) afirma que a bola unitária fechada do espaço dual de um espaço vetorial normado é compacta na topologia fraca * . Uma prova comum identifica a esfera unitária com a topologia fraca- * como um subconjunto fechado de um produto de conjuntos compactos com a topologia do produto . Como consequência do teorema de Tychonoff , esse produto, e portanto a bola unitária interna, é compacto.

Este teorema tem aplicações em física quando se descreve o conjunto de estados de uma álgebra de observáveis, ou seja, que qualquer estado pode ser escrito como uma combinação linear convexa dos chamados estados puros.

História

De acordo com Lawrence Narici e Edward Beckenstein, o teorema de Alaoglu é um "resultado muito importante - talvez o fato mais importante sobre a topologia fraca- * - [que] ecoa em toda a análise funcional." Em 1912, Helly provou que a bola unitária do espaço dual contínuo de é contavelmente fraca - * compacta. Em 1932, Stefan Banach provou que a esfera unitária fechada no espaço dual contínuo de qualquer espaço normatizado separável é sequencialmente fraca- * compacta (Banach considerou apenas compactação sequencial ). A prova para o caso geral foi publicada em 1940 pelo matemático Leonidas Alaoglu . De acordo com Pietsch [2007], existem pelo menos 12 matemáticos que podem reivindicar esse teorema ou um importante predecessor dele. ${\ displaystyle C ([a, b])}$

O teorema Bourbaki-Alaoglu é uma generalização do teorema original de Bourbaki para topologias duais em espaços localmente convexos . Este teorema também é chamado de teorema de Banach-Alaoglu ou teorema de compactação fraca- * e é comumente chamado simplesmente de teorema de Alaoglu

Demonstração

Se é um espaço vetorial sobre o campo, então denotará o espaço dual algébrico de e esses dois espaços são doravante associados com o mapa de avaliação bilinear definido por ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ left \ langle \ cdot, \ cdot \ right \ rangle: X \ times X ^ {\ #} \ to \ mathbb {K}}$

{\ displaystyle \ left \ langle x, f \ right \ rangle: = f (x)}

onde o triplo forma um sistema dual denominado sistema dual canônico .

{\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle}

Se for um

espaço vetorial topológico (TVS), então seu espaço dual contínuo será denotado por onde sempre se mantém. Denotar o * topologia fraco- on por e denotam a topologia debi- * no por A * topologia debi- também é chamado de topologia de convergência pontual porque dado um mapa e uma rede de mapeia os líquidos converge para nessa topologia se e somente se para cada ponto no domínio, a rede de valores converge para o valor

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X ^ {\ prime},}

{\ displaystyle X ^ {\ prime} \ subseteq X ^ {\ #}}

{\ displaystyle X ^ {\ #}}

{\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}

{\ displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right).}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I},}

{\ displaystyle f _ {\ bullet}}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle x}

{\ displaystyle \ left (f_ {i} (x) \ right) _ {i \ in I}}

{\ displaystyle f (x).}

Teorema de Alaoglu - Para qualquer espaço vetorial topológico (TVS) ( não necessariamente Hausdorff ou localmente convexo ) com espaço dual contínuo, o polar ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime},}$

{\ displaystyle U ^ {\ circ} = \ left \ {x ^ {\ prime} \ in X ^ {\ prime} ~: ~ \ sup _ {x \ in U} \ left | x ^ {\ prime} ( x) \ right | \ leq 1 \ right \}}

de qualquer vizinhança de origem em é compacto na topologia fraca- * em Além disso, é igual ao polar de em relação ao sistema canônico e também é um subconjunto compacto de

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}

{\ displaystyle X ^ {\ prime}.}

{\ displaystyle U ^ {\ circ}}

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle}

{\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}

Prova envolvendo a teoria da dualidade

Prova -

Denote pelo campo subjacente pelo qual estão os números reais ou os números complexos. Essa prova usará algumas das propriedades básicas listadas nos artigos: conjunto polar , sistema dual e operador linear contínuo . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

Para iniciar a prova, algumas definições e resultados prontamente verificados são recuperados. Quando é dotado da topologia fraca- *, então este espaço vetorial topológico localmente convexo de Hausdorff é denotado por O espaço é sempre um TVS completo ; no entanto, pode deixar de ser um espaço completo, razão pela qual esta prova envolve o espaço. Especificamente, esta prova usará o fato de que um subconjunto de um espaço de Hausdorff completo é compacto se (e somente se) for fechado e totalmente limitado . É importante ressaltar que a topologia de subespaço que herda de é igual a Isso pode ser facilmente verificado, mostrando que dada uma rede em converge para em uma dessas topologias se e somente se ela também convergir para na outra topologia (a conclusão segue porque duas topologias são iguais se e somente se eles têm exatamente as mesmas redes convergentes). ${\ displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right),}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ prime}, \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right).}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime} \ in X ^ {\ prime},}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime}}$

O triplo é um emparelhamento duplo, embora, ao contrário , em geral não seja garantido que seja um sistema duplo. Ao longo de, a menos que indicado de outra forma, todos os conjuntos polares serão considerados em relação ao emparelhamento canônico ${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle.}$

Let Ser um bairro de origem in e let: ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle U ^ {\ circ} = \ left \ {f \ in X ^ {\ prime} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}$ ser o polar de em relação ao emparelhamento canônico ; ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle}$
${\ displaystyle U ^ {\ circ \ circ} = \ left \ {x \ in X ~: ~ \ sup _ {f \ in U ^ {\ circ}} | f (x) | \ leq 1 \ right \} }$ ser o bipolar de ${\ displaystyle U}$ em relação a ; ${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle}$
${\ displaystyle U ^ {\ #} = \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}$ ser o polar de em relação ao sistema dual canônico ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle.}$

Um fato bem conhecido sobre polares de conjuntos é que ${\ displaystyle U ^ {\ circ \ circ \ circ} \ subseteq U ^ {\ circ}.}$

Mostre que é um subconjunto fechado de Let e suponha que seja uma rede em que converge para em Para concluir que é suficiente (e necessário) mostrar que para cada Porque no campo escalar e todo valor pertence ao fechado (em ) subconjunto também deve o limite desta rede pertencer a este conjunto. Desse modo ${\ displaystyle U ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$ ${\ displaystyle X ^ {\ #}:}$ ${\ displaystyle f \ in X ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$ ${\ displaystyle f \ in U ^ {\ #},}$ ${\ displaystyle | f (u) | \ leq 1}$ ${\ displaystyle u \ in U.}$ ${\ displaystyle f_ {i} (u) \ a f (u)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle f_ {i} (u)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ left \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq 1 \ right \},}$ ${\ displaystyle f (u)}$ ${\ displaystyle | f (u) | \ leq 1.}$
Mostre isso e, em seguida, conclua que é um subconjunto fechado de ambos e A inclusão é válida porque todo funcional linear contínuo é (em particular) um funcional linear. Para a inclusão reversa, deixe isso que afirma exatamente que o funcional linear é limitado pela vizinhança ; portanto, é um funcional linear contínuo (isto é, ) e conforme desejado. Usando (1) e o fato de que a interseção é fechada na topologia de subespaço na afirmação sobre ser fechado segue. ${\ displaystyle U ^ {\ #} = U ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ prime}, \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right) \ right):}$ ${\ displaystyle U ^ {\ circ} \ subseteq U ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle \, U ^ {\ #} \ subseteq U ^ {\ circ}, \,}$ ${\ displaystyle f \ in U ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle \; \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1, \,}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f \ in X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle f \ in U ^ {\ circ},}$ ${\ displaystyle U ^ {\ #} \ cap X ^ {\ prime} = U ^ {\ circ} \ cap X ^ {\ prime} = U ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime},}$ ${\ displaystyle U ^ {\ circ}}$
Mostre que é um - subconjunto totalmente limitado de Pelo teorema bipolar , onde , porque a vizinhança é um subconjunto absorvente da mesma, deve ser verdadeiro para o conjunto ; é possível provar que isso implica que é um subconjunto - limitado de Porque distingue pontos de um subconjunto de é - limitado se e somente se for - totalmente limitado . Então, em particular, também é totalmente limitado. ${\ displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}:}$ ${\ displaystyle U \ subseteq U ^ {\ circ \ circ}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle U ^ {\ circ \ circ}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime},}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$
Conclui-se que também é um subconjunto -totalmente delimitada de recordar que a topologia em é idêntica à topologia subespaço que herda Este facto, em conjunto com (3) e a definição de "totalmente delimitado", implica que é um subconjunto limitado de -totalmente ${\ displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$ ${\ displaystyle X ^ {\ #}:}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$ ${\ displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$ ${\ displaystyle X ^ {\ #}.}$
Finalmente, deduza que é um subconjunto -compacto de Porque é um TVS completo e é um subconjunto fechado (por (2)) e totalmente limitado (por (4)) dele segue que é compacto. QED ${\ displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}:}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right),}$ ${\ displaystyle U ^ {\ circ}}$

Se for um

espaço vetorial normatizado , então o polar de uma vizinhança é fechado e limitado por norma no espaço dual. Em particular, se é a bola unitária aberta (ou fechada) em, então o polar de é a bola unitária fechada no espaço dual contínuo de (com a norma dual usual ). Consequentemente, este teorema pode ser especializado para:

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ displaystyle X}

Teorema de Banach – Alaoglu - Se for um espaço normado, então a bola unitária fechada no espaço dual contínuo (dotado de sua norma de operador usual ) é compacta em relação à topologia fraca- * . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$

Quando o espaço dual contínuo de é um espaço normando de dimensão infinita, então é

impossível para a bola unitária fechada ser um subconjunto compacto quando tem sua topologia normal. Isso ocorre porque a bola unitária na topologia normal é compacta se e somente se o espaço for finito-dimensional (cf. teorema de F. Riesz ). Este teorema é um exemplo da utilidade de ter diferentes topologias no mesmo espaço vetorial.

{\ displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ displaystyle X ^ {\ prime}}

Deve-se advertir que, apesar das aparências, o teorema de Banach – Alaoglu não implica que a topologia fraca- * seja localmente compacta . Isso ocorre porque a bola unitária fechada é apenas uma vizinhança da origem na topologia forte , mas geralmente não é uma vizinhança da origem na topologia fraca- *, pois tem interior vazio na topologia fraca *, a menos que o espaço seja dimensional finito. Na verdade, é um resultado de Weil que todos os espaços vetoriais topológicos de

Hausdorff localmente compactos devem ser de dimensão finita.

Prova elementar

A prova a seguir envolve apenas conceitos elementares da teoria dos conjuntos, topologia e análise funcional. Em particular, o que é necessário da topologia é um conhecimento prático de redes em espaços topológicos , a topologia do produto e sua relação com a convergência pontual (alguns detalhes dessa relação são fornecidos na prova). Familiaridade com o fato de que um funcional linear é contínuo se e somente se for limitado a uma vizinhança da origem também é necessária (isso é descrito no artigo sobre funcionais sublineares ).

Prova -

Denote pelo campo subjacente de por que são os números reais ou os números complexos Para qualquer real let ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle r,}$

{\ displaystyle B_ {r}: = \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq r \}}

denotam a bola fechada de raio na origem na qual é um subconjunto compacto e fechado de

{\ displaystyle r}

{\ displaystyle \ mathbb {K},}

{\ displaystyle \ mathbb {K}.}

Porque é uma vizinhança da origem nela também é um

subconjunto absorvente de então para cada existe um número real tal que Let

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle X,}

{\ displaystyle X,}

{\ displaystyle x \ in X,}

{\ displaystyle r_ {x}> 0}

{\ displaystyle x \ in r_ {x} U: = \ left \ {r_ {x} u: u \ in U \ right \}.}

{\ displaystyle U ^ {\ #}: = \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \} ~ = ~ \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ f (U) \ subseteq B_ {1} \ right \}}

denotam o polar de em relação ao sistema dual canônico. Como é mostrado agora, este conjunto polar é o mesmo que o polar de em relação a

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle U ^ {\ #}}

{\ displaystyle U ^ {\ circ}}

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle.}

Prova de que ${\ displaystyle U ^ {\ circ} = U ^ {\ #}:}$ A inclusão é válida porque todo funcional linear contínuo é (em particular) um funcional linear. Para a inclusão reversa, deixe isso que afirma exatamente que o funcional linear é limitado pela vizinhança ; portanto, é um

funcional linear contínuo (isto é, ) e conforme desejado. QED

{\ displaystyle U ^ {\ circ} \ subseteq U ^ {\ #}}

{\ displaystyle \, U ^ {\ #} \ subseteq U ^ {\ circ}, \,}

{\ displaystyle f \ in U ^ {\ #}}

{\ displaystyle \; \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1, \,}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle f \ in X ^ {\ prime}}

{\ displaystyle f \ in U ^ {\ circ},}

O resto desta prova requer uma compreensão adequada de como o produto cartesiano é identificado como o espaço de todas as funções da forma. Uma explicação é fornecida agora para os leitores interessados. ${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ displaystyle X \ to \ mathbb {K}.}$

Estreia na identificação de funções com tuplas

O produto cartesiano é geralmente considerado como o conjunto de tuplas indexadas , mas, como agora descrito, também pode ser identificado com o espaço de todas as funções com protótipo ${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ displaystyle X \ to \ mathbb {K}.}$

Função Tupla ${\ displaystyle \ to}$ : Uma função pertencente a é identificada com sua " tupla de valores " ( indexada) ${\ displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle s _ {\ bullet}: = (s (x)) _ {x \ in X}.}$
Tupla Função ${\ displaystyle \ to}$ : Um tuplo no é identificado com a função definida por ; a "tupla de valores" desta função é a tupla original ${\ displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}}$ ${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle s (x): = s_ {x}}$ ${\ displaystyle \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}.}$

Esta é a razão pela qual muitos autores escrevem, muitas vezes sem comentários, a igualdade

{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}

e porque o produto cartesiano às vezes é tomado como a definição do conjunto de mapas. No entanto, o produto cartesiano, sendo o produto (categórico) na categoria dos conjuntos (que é um tipo de limite inverso ), também vem equipado com mapas associados que são conhecidas como suas projeções (coordenadas) .

{\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}

{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}

A projeção canônica do produto cartesiano em qualquer dado é a função ${\ displaystyle z \ in X}$

{\ displaystyle \ Pr {} _ {z}: \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K} \ quad {\ text {definido por}} \ quad s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X} \ mapsto s_ {z}}

onde sob a identificação acima, envia uma função para

{\ displaystyle \ Pr {} _ {z}}

{\ displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}

{\ displaystyle \ Pr {} _ {z} (s): = s (z).}

Em palavras, para um ponto e função, "conectar-se a " é o mesmo que "conectar -se a ".

{\ displaystyle z}

{\ displaystyle s,}

{\ displaystyle z}

{\ displaystyle s}

{\ displaystyle s}

{\ displaystyle \ Pr {} _ {z}}

Topologia

O conjunto é considerado dotado da

topologia do produto . É bem sabido que a topologia do produto é idêntica à topologia da convergência pontual . Isso ocorre porque dado e uma rede onde e todo é um elemento de então a rede converge na topologia do produto se e somente se

{\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I},}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle f_ {i}}

{\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K},}

{\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ a f}

para cada a rede converge em

{\ displaystyle z \ in X,}

{\ displaystyle \ Pr {} _ {z} \ left (\ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ right) \ para \ Pr {} _ {z} (f)}

{\ displaystyle \ mathbb {K},}

onde e ${\ displaystyle \; \ Pr {} _ {z} (f) = f (z) \;}$

{\ displaystyle \ Pr {} _ {z} \ left (\ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ right): = \ left (\ Pr {} _ {z} \ left ( f_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I} = \ left (f_ {i} (z) \ right) _ {i \ in I}.}

Assim, converge para a topologia do produto se e somente se convergir para o ponto ${\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X.}$

Também será usado nesta prova o fato de que a topologia de convergência pontual é preservada ao passar para subespaços topológicos . Isto significa, por exemplo, que se, para cada uma certa

subespaço (topológica) de , em seguida, a topologia de convergência pontual (ou equivalentemente, a topologia de produto), em é igual à topologia subespaço que o conjunto herda

{\ displaystyle x \ in X,}

{\ displaystyle S_ {x} \ subseteq \ mathbb {K}}

{\ displaystyle \ mathbb {K}}

{\ textstyle \ prod _ {x \ in X} S_ {x}}

{\ textstyle \ prod _ {x \ in X} S_ {x}}

{\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}.}

Tendo estabelecido isso para reduzir a confusão de símbolos, este conjunto olar será denotado por ${\ displaystyle U ^ {\ circ} = U ^ {\ #},}$ ${\ displaystyle P}$

{\ displaystyle P: = U ^ {\ circ}}

a menos que uma tentativa esteja sendo feita para chamar a atenção para a definição de ou

{\ displaystyle U ^ {\ circ}}

{\ displaystyle U ^ {\ #}.}

A prova do teorema estará completa assim que as seguintes afirmações forem verificadas:

${\ displaystyle P}$ $P$ é um subconjunto fechado de ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}$
- Aqui é dotado da topologia de convergência pontual, que é idêntica à

topologia do produto .

{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}

{\ displaystyle P \ subseteq \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}}.}

${\ displaystyle B_ {r_ {x}} \ subseteq \ mathbb {K}}$ denota a bola fechada de raio centrado em For each foi definido no início desta prova como

qualquer real que satisfaça (então, em particular, é uma escolha válida para cada um ).

{\ displaystyle r_ {x}}

{\ displaystyle 0.}

{\ displaystyle x \ in X,}

{\ displaystyle r_ {x}}

{\ displaystyle r_ {x}> 0}

{\ displaystyle x \ in r_ {x} U}

{\ displaystyle r_ {u}: = 1}

{\ displaystyle u \ in U}

Essas declarações implicam que é um subconjunto fechado de onde este

espaço de produto é compacto pelo teorema de Tychonoff (porque toda bola fechada é um espaço compacto). Como um subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto, segue-se que é compacto, que é a principal conclusão do teorema de Banach-Alaoglu.

{\ displaystyle P}

{\ textstyle \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}},}

{\ displaystyle B_ {r_ {x}}}

{\ displaystyle U ^ {\ circ} = P}

Prova de (1) :

O espaço dual algébrico é sempre um subconjunto fechado de (isso é comprovado no lema abaixo para leitores que não estão familiarizados com este resultado). Para provar que está encerrado , basta mostrar que o conjunto definido por ${\ displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X},}$ ${\ displaystyle P_ {U}}$

{\ displaystyle P_ {U} ~: = ~ \ left \ {f \ in \ mathbb {K} ^ {X} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}

é um subconjunto fechado de porque então é uma interseção de dois subconjuntos fechados de Let e suponha que seja uma rede em que converge para em Para concluir que é suficiente (e necessário) mostrar isso para cada (ou, equivalentemente, isso ). Porque no campo escalar e cada valor pertence ao subconjunto fechado (in ), o limite desta rede também deve pertencer a este conjunto fechado. Assim que completa a prova de (1). QED

{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}

{\ displaystyle P_ {U} \ cap X ^ {\ #} = U ^ {\ #} = P}

{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}

{\ displaystyle f \ in \ mathbb {K} ^ {X}}

{\ displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

{\ displaystyle P_ {U}}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}

{\ displaystyle f \ in P_ {U},}

{\ displaystyle u \ in U,}

{\ displaystyle | f (u) | \ leq 1}

{\ displaystyle f (u) \ in B_ {1}}

{\ displaystyle \ left (f_ {i} (u) \ right) _ {i \ in I} \ para f (u)}

{\ displaystyle \ mathbb {K}}

{\ displaystyle f_ {i} (u)}

{\ displaystyle \ mathbb {K}}

{\ displaystyle B_ {1} = \ left \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq 1 \ right \},}

{\ displaystyle f (u)}

{\ displaystyle f (u) \ in B_ {1},}

Como uma nota lateral, esta prova pode ser generalizada para provar o seguinte resultado mais geral, a partir do qual a conclusão acima segue como o caso especial e ${\ displaystyle Y: = \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle B: = B_ {1}.}$

Proposição : Se é qualquer conjunto e se é um subconjunto

fechado de um espaço topológico, então é um subconjunto fechado de em relação à topologia de convergência pontual.

{\ displaystyle U \ subseteq X}

{\ displaystyle B \ subseteq Y}

{\ displaystyle Y,}

{\ displaystyle P_ {U}: = \ left \ {f \ in Y ^ {X} ~: ~ f (U) \ subseteq B \ right \}}

{\ displaystyle Y ^ {X}}

Prova de (2) :

Para qualquer, deixe denotar a projeção para a coordenada

^th (como definido acima). Para provar que é suficiente (e necessário) mostrar que para cada Então fixe e deixe ; resta mostrar que a condição definidora em era aquela que implica que porque o funcional linear satisfaz e assim implica

{\ displaystyle z \ in X,}

{\ textstyle \ Pr {} _ {z}: \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K}}

{\ displaystyle z}

{\ textstyle P \ subseteq \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}},}

{\ displaystyle \ Pr {} _ {x} (P) \ subseteq B_ {r_ {x}}}

{\ displaystyle x \ in X.}

{\ displaystyle x \ in X}

{\ displaystyle f \ in P}

{\ displaystyle \ Pr {} _ {x} (f): = f (x) \ in B_ {r_ {x}}.}

{\ displaystyle r_ {x}> 0}

{\ displaystyle x \ in r_ {x} U, \,}

{\ textstyle \, u_ {x}: = \ left ({\ frac {1} {r_ {x}}} \ right) x \ em U. \,}

{\ displaystyle f \ in P = U ^ {\ #},}

{\ displaystyle f}

{\ textstyle \; \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \;}

{\ displaystyle u_ {x} \ em U}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r_ {x}}} | f (x) | = \ left | {\ frac {1} {r_ {x}}} f (x) \ right | = \ left | f \ left ({\ frac {1} {r_ {x}}} x \ right) \ right | = \ left | f \ left (u_ {x} \ right) \ right | \ leq \ sup _ {u \ em U} | f (u) | \ leq 1.}

Assim, o que mostra isso como desejado. QED ${\ displaystyle | f (x) | \ leq r_ {x},}$ ${\ displaystyle f (x) \ in B_ {r_ {x}},}$

A prova elementar acima realmente mostra que se for qualquer subconjunto que satisfaça (como qualquer subconjunto absorvente de ), então é um subconjunto fraco- * compacto de ${\ displaystyle U \ subseteq X}$ ${\ displaystyle X = (0, \ infty) U: = \ {ru: r> 0, u \ in U \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U ^ {\ #}: = \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ f (U) \ subseteq B_ {1} \ right \}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ #}.}$

Como uma nota lateral, com a ajuda da prova elementar acima, pode ser mostrado (veja esta nota de rodapé) que

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} U ^ {\ circ} & = U ^ {\ #} && \\ & = X ^ {\ #} && \ cap \ prod _ {x \ in X} B_ {m_ {x}} \\ & = X ^ {\ prime} && \ cap \ prod _ {x \ in X} B_ {m_ {x}} \\\ end {alignat}}}

onde os números reais são "mínimos" no seguinte sentido: todo é definido por para todo com (como na prova) e

{\ displaystyle m_ {x} \ geq 0}

{\ displaystyle m_ {x}}

{\ displaystyle m_ {x}: = \ inf \ left \ {R_ {x}: R _ {\ bullet} \ in T_ {P} \ right \}}

{\ displaystyle x \ in X,}

{\ displaystyle P: = U ^ {\ circ}}

{\ displaystyle T_ {P} ~: = ~ \ left \ {R _ {\ bullet} = \ left (R_ {x} \ right) _ {x \ in X} \ in \ prod _ {x \ in X} [ 0, \ infty) ~: ~ P \ subseteq \ prod _ {x \ in X} B_ {R_ {x}} \ right \}.}

Na verdade,

{\ displaystyle \ left (m_ {x} \ right) _ {x \ in X} ~ \ in ~ T_ {P} \ quad {\ text {e}} \ quad \ prod _ {x \ in X} B_ { m_ {x}} ~ = ~ \ cap {\ mathcal {B}} _ {P} ~ \ in ~ {\ mathcal {B}} _ {P}}

onde denota a interseção de todos os conjuntos pertencentes a

{\ textstyle \ bigcap {\ mathcal {B}} _ {P}}

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {P}: = \ left \ {\ prod _ {x \ in X} B_ {R_ {x}} ~: ~ R _ {\ bullet} \ in T_ {P} \ right \} ~ = ~ \ left \ {\ prod _ {x \ in X} B_ {R_ {x}} ~: ~ P \ subseteq \ prod _ {x \ in X} B_ {R_ {x}} { \ text {e}} R_ {x} \ geq 0 {\ text {para todos}} x \ in X \ right \}.}

Isso implica (entre outras coisas) que o menor elemento exclusivo de em relação a ; isso pode ser usado como uma definição alternativa deste conjunto (necessariamente convexo e balanceado ). A função é uma seminorma e permanece inalterada se for substituída pelo casco balanceado convexo de (porque ). Da mesma forma, porque também permanece inalterado se for substituído por seu fechamento em ${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} B_ {m_ {x}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {P}}$ ${\ displaystyle \, \ subseteq}$ ${\ displaystyle m _ {\ bullet}: = \ left (m_ {x} \ right) _ {x \ in X}: X \ to [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U ^ {\ #} = [\ operatorname {cobal} U] ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ circ} = \ left [\ operatorname {cl} _ {X} U \ right] ^ {\ circ},}$ ${\ displaystyle m _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X.}$

Lema - O espaço dual algébrico de qualquer espaço vetorial sobre um campo (onde é ou ) é um subconjunto fechado de na topologia de convergência pontual. (O espaço vetorial não precisa ser dotado de nenhuma topologia). ${\ displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X}$

Prova de lema

Notação para redes e composição de funções com redes

Uma rede em é, por definição, uma função de um conjunto direcionado não vazio. Toda seqüência na qual, por definição, é apenas uma função da forma, também é uma rede. Tal como acontece com as sequências, o valor de uma rede em um índice é denotado por ; no entanto, para esta prova, este valor também pode ser denotado pela notação de parênteses de função usual Da mesma forma para composição de função , se for qualquer função, então a rede (ou sequência) que resulta de "conectar em " é apenas a função, embora isso seja tipicamente denotado por (ou por se for uma sequência). Nesta prova, esta rede resultante pode ser denotada por qualquer uma das seguintes notações ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet}: I \ to X}$ ${\ displaystyle (I, \ leq).}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ to X,}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle i \ in I}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} (i).}$ ${\ displaystyle F: X \ a Y}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F \ circ x _ {\ bullet}: I \ to Y,}$ ${\ displaystyle \ left (F \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ left (F \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet}}$

{\ displaystyle F \ left (x _ {\ bullet} \ right) = \ left (F \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I}: = F \ circ x _ {\ bullet} ,}

dependendo de qualquer notação que seja mais limpa ou comunique mais claramente as informações pretendidas. Em particular, se é contínuo e, em seguida, a conclusão comumente escrita como pode, em vez disso, ser escrita como ou ${\ displaystyle F: X \ a Y}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ a x}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle \ left (F \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I} \ to F (x)}$ ${\ displaystyle F \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ a F (x)}$ ${\ displaystyle F \ circ x _ {\ bullet} \ a F (x).}$

Início da prova :

Deixe e suponha que é uma rede no converge para em If, então denotará a rede de valores em ${\ displaystyle f \ in \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}$ ${\ displaystyle z \ in X}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet} (z): I \ to \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle z}$

{\ displaystyle f _ {\ bullet} (z): = \ left (f_ {i} (z) \ right) _ {i \ in I}.}

Para concluir que deve ser mostrado que é um funcional linear, então seja um escalar e deixe A topologia ligada é a topologia da convergência pontual, portanto, considerando os pontos e a convergência de em implica que cada uma das seguintes redes de escalares converge em ${\ displaystyle f \ in X ^ {\ #},}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle x, y \ in X.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ displaystyle x, y, sx,}$ ${\ displaystyle x + y,}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet} \ a f}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}:}$

{\ displaystyle f _ {\ bullet} (x) \ a f (x), \ quad f _ {\ bullet} (y) \ a f (y), \ quad f _ {\ bullet} (x + y) \ a f (x + y), \ quad {\ text {e}} \ quad f _ {\ bullet} (sx) \ a f (sx).}

A prova de que Let ser a "multiplicação por " Mapa definido por Porque é contínua e em segue-se que onde o lado direito é e o lado esquerdo é ${\ displaystyle f (sx) = sf (x):}$ ${\ displaystyle M: \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle M (c): = sc.}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet} (x) \ a f (x)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle M \ left (f _ {\ bullet} (x) \ right) \ para M (f (x))}$ ${\ displaystyle M (f (x)) = sf (x)}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} {4} M \ left (f _ {\ bullet} (x) \ right) = & ~ \ left (M \ left (f_ {i} (x) \ right) \ right) _ {i \ in I} ~~~ && {\ text {porque}} M \ left (f _ {\ bullet} (x) \ right): = M \ circ f _ {\ bullet} (x) {\ text { onde}} f _ {\ bullet} (x) = \ left (f_ {i} (x) \ right) _ {i \ in I}: I \ to \ mathbb {K} \\ = & ~ \ left (sf_ {i} (x) \ right) _ {i \ in I} && M \ left (f_ {i} (x) \ right): = sf_ {i} (x) \\ = & ~ \ left (f_ {i } (sx) \ right) _ {i \ in I} && {\ text {pela linearidade de}} f_ {i} \\ = & ~ f _ {\ bullet} (sx) && {\ text {notação}} \ fim {alinhado}}}

o que prova que Porque também e limites em são únicos, segue-se isso conforme desejado.

{\ displaystyle f _ {\ bullet} (sx) \ a sf (x).}

{\ displaystyle f _ {\ bullet} (sx) \ a f (sx)}

{\ displaystyle \ mathbb {K}}

{\ displaystyle sf (x) = f (sx),}

Prova que Defina uma rede ao deixar para cada Porque e segue-se que em Let be o mapa de adição definido por A continuidade de implica que em onde o lado direito está e o lado esquerdo está ${\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y):}$ ${\ displaystyle z _ {\ bullet} = \ left (z_ {i} \ right) _ {i \ in I}: I \ to \ mathbb {K} \ times \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle z_ {i}: = \ left (f_ {i} (x), f_ {i} (y) \ right)}$ ${\ displaystyle i \ in I.}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet} (x) = \ left (f_ {i} (x) \ right) _ {i \ in I} \ to f (x)}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet} (y) = \ left (f_ {i} (y) \ right) _ {i \ in I} \ para f (y),}$ ${\ displaystyle z _ {\ bullet} \ to (f (x), f (y))}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} \ times \ mathbb {K}.}$ ${\ displaystyle A: \ mathbb {K} \ times \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle A (x, y): = x + y.}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A \ left (z _ {\ bullet} \ right) \ to A (f (x), f (y))}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle A (f (x), f (y)) = f (x) + f (y)}$

{\ displaystyle A \ left (z _ {\ bullet} \ right): = A \ circ z _ {\ bullet} = \ left (A \ left (z_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I} = \ left (A \ left (f_ {i} (x), f_ {i} (y) \ right) \ right) _ {i \ in I} = \ left (f_ {i} (x) + f_ { i} (y) \ right) _ {i \ in I} = \ left (f_ {i} (x + y) \ right) _ {i \ in I} = f _ {\ bullet} (x + y)}

o que prova que Porque também segue isso como desejado. QED

{\ displaystyle f _ {\ bullet} (x + y) \ a f (x) + f (y).}

{\ displaystyle f _ {\ bullet} (x + y) \ a f (x + y),}

{\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y),}

Corolário do lema - Quando o espaço dual algébrico de um espaço vetorial é equipado com a topologia de convergência pontual (também conhecida como topologia fraca- *), então o espaço vetorial topológico resultante (TVS) é um TVS localmente convexo de Hausdorff completo . ${\ displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$

Prova de corolário -

Como o campo subjacente é um TVS localmente convexo de Hausdorff completo, o mesmo é verdadeiro para o produto cartesiano. Um subconjunto fechado de um espaço completo está completo, portanto, pelo lema, o espaço está completo. ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}.}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$

Teorema de Banach-Alaoglu sequencial

Um caso especial do teorema de Banach-Alaoglu é a versão sequencial do teorema, que afirma que a bola unitária fechada do espaço dual de um espaço vetorial normado separável é sequencialmente compacta na topologia fraca- *. Na verdade, a topologia fraca * na esfera unitária fechada do dual de um espaço separável é metrizável e, portanto, compactação e compactação sequencial são equivalentes.

Especificamente, deixe ser um espaço normado separável e a bola de unidade fechada em Uma vez que é separável, deixe ser um subconjunto denso contável. Em seguida, o seguinte define uma métrica, onde para qualquer ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x, y \ in B}$

{\ displaystyle \ rho (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \, 2 ^ {- n} \, {\ frac {\ left | \ langle xy, x_ {n} \ rangle \ right |} {1+ \ left | \ langle xy, x_ {n} \ rangle \ right |}}}

em que denota o par de dualidade de com compactação sequencial de nesta métrica pode ser mostrado por um argumento de diagonalização semelhante ao empregado na prova do teorema de Arzelà-Ascoli .

{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}

{\ displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ displaystyle X.}

{\ displaystyle B}

Devido à natureza construtiva de sua prova (ao contrário do caso geral, que é baseado no axioma da escolha), o teorema sequencial de Banach-Alaoglu é frequentemente usado no campo de equações diferenciais parciais para construir soluções para PDE ou problemas variacionais . Por exemplo, se alguém deseja minimizar um funcional no dual de um espaço vetorial normado separável, uma estratégia comum é primeiro construir uma sequência de minimização que se aproxime do mínimo de uso do teorema de Banach-Alaoglu sequencial para extrair uma subsequência que converge no fraco * topologia até um limite e, em seguida, estabeleça que é um minimizador de A última etapa freqüentemente requer obedecer a uma propriedade de

semi-continuidade inferior (sequencial) na topologia fraca *.

{\ displaystyle F: X ^ {\ prime} \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle X,}

{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ in X ^ {\ prime}}

{\ displaystyle F,}

{\ displaystyle x,}

{\ displaystyle x}

{\ displaystyle F.}

{\ displaystyle F}

Quando é o espaço de medidas de Radon finitas na linha real (de modo que é o espaço de funções contínuas desaparecendo no infinito, pelo

teorema de representação de Riesz ), o teorema de Banach-Alaoglu sequencial é equivalente ao teorema de seleção de Helly .

{\ displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ displaystyle X = C_ {0} (\ mathbb {R})}

Prova -

Para cada let ${\ displaystyle x \ in X,}$

{\ displaystyle D_ {x} = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | \ leq \ | x \ | \},}

e

{\ displaystyle D = \ prod _ {x \ in X} D_ {x}.}

Como cada um é um subconjunto compacto do plano complexo, também é compacto na topologia do produto pelo teorema de Tychonoff . ${\ displaystyle D_ {x}}$ ${\ displaystyle D}$

A bola da unidade fechada pode ser identificada como um subconjunto de de uma forma natural: ${\ displaystyle X ^ {\ prime},}$ ${\ displaystyle B_ {1} \ left (X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle D}$

{\ displaystyle f \ in B_ {1} \ left (X ^ {\ prime} \ right) \ mapsto (f (x)) _ {x \ in X} \ in D.}

Este mapa é injetivo e contínuo, tendo a topologia fraca- * e a topologia do produto. O inverso deste mapa, definido em sua faixa, também é contínuo. ${\ displaystyle B_ {1} \ left (X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle D}$

Para terminar de provar este teorema, agora será mostrado que o intervalo do mapa acima está fechado. Dada uma rede

{\ displaystyle \ left (f _ {\ alpha} (x) \ right) _ {x \ in X} \ to \ left (\ lambda _ {x} \ right) _ {x \ in X}}

no funcional definido por

{\ displaystyle D,}

{\ displaystyle g (x) = \ lambda _ {x}}

encontra-se em

{\ displaystyle B_ {1} (X ^ {\ prime}).}

Consequências

Consequências para espaços normados

Suponha que seja um

espaço normatizado e dote seu espaço dual contínuo com a norma dual usual .

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X ^ {\ prime}}

A bola da unidade fechada é fraca - * compacta. Então, se é infinito dimensional, em seguida, a sua esfera de unidade fechada é necessariamente

não compacta na topologia norma pelo teorema de F. Riesz (apesar de ser fraco-* compacto).

{\ displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ displaystyle X ^ {\ prime}}

Um espaço de Banach é reflexivo se e somente se sua bola unitária fechada for compacta.

{\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}

Se for um

espaço de Banach reflexivo , então cada seqüência limitada em tem uma subseqüência fracamente convergente. (Isso segue aplicando o teorema de Banach-Alaoglu a um subespaço fracamente metrizável de ; ou, mais sucintamente, aplicando o teorema de Eberlein-Šmuliano .) Por exemplo, suponha que seja o espaço Lp espaço. Seja uma sequência limitada de funções em Then existe uma subsequência e tal que

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle L ^ {p} (\ mu),}

{\ displaystyle 1 <p <\ infty.}

{\ displaystyle f_ {n}}

{\ displaystyle X.}

{\ displaystyle f_ {n_ {k}}}

{\ displaystyle f \ in X}

{\ displaystyle \ int f_ {n_ {k}} g \, d \ mu \ to \ int fg \, d \ mu}

para todos onde ). O resultado correspondente para não é verdadeiro, pois não é reflexivo.

{\ displaystyle g \ in L ^ {q} (\ mu) = X ^ {\ prime}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}

{\ displaystyle p = 1}

{\ displaystyle L ^ {1} (\ mu)}

Consequências para os espaços de Hilbert

Em um espaço de Hilbert, cada conjunto limitado e fechado é fracamente relativamente compacto, portanto, cada rede limitada tem uma sub-rede fracamente convergente (os espaços de Hilbert são reflexivos ).
Como os conjuntos convexos fechados por norma são fracamente fechados ( teorema de Hahn-Banach ), os fechamentos por norma de conjuntos limitados convexos em espaços de Hilbert ou espaços de Banach reflexivos são fracamente compactos.
Fechado e limitado conjuntos em são precompacto com respeito à

topologia de operador fraco (a topologia operador fraco é mais fraca do que a topologia ultrafraca que é por sua vez o * topologia debi- em relação ao predual das classe traço operadores). Portanto, as sequências limitadas de operadores têm um ponto de acumulação fraco. Como conseqüência, possui a propriedade Heine – Borel , se equipado com o operador fraco ou a topologia ultrafaca.

{\ displaystyle B (H)}

{\ displaystyle B (H),}

{\ displaystyle B (H)}

Relação com o axioma de escolha

Uma vez que o teorema de Banach-Alaoglu é geralmente provado por meio do teorema de Tychonoff , ele se baseia na estrutura axiomática de ZFC e, em particular, no axioma de escolha . A maioria das análises funcionais convencionais também depende do ZFC. No entanto, o teorema não se baseia no axioma da escolha no caso separável (veja acima ): neste caso, alguém realmente tem uma prova construtiva. No caso inseparável, o ultrafiltro Lema , que é estritamente mais fraco do que o axioma de escolha, é suficiente para a prova do teorema de Banach-Alaoglu e é de fato equivalente a ele.

Veja também

Teorema de Bishop-Phelps
Teorema de Banach-Mazur
Teorema de compactação delta
Teorema de Eberlein – Šmuliano - Relaciona três tipos diferentes de compactação fraca em um espaço de Banach
Teorema de Goldstine
Teorema de James
Teorema de Kerin-Milman
Lema de Mazur - Sobre combinações fortemente convergentes de uma sequência fracamente convergente em um espaço de Banach
Espaço vetorial topológico -

espaço vetorial com noção de proximidade

Notas

Provas

Referências

Köthe, Gottfried (1969). Espaço vectorial topológico I . Nova York: Springer-Verlag. Consulte §20.9.
Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introdução à Análise Funcional . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851485-9.Veja o Teorema 23.5, p. 264.
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espaços vetoriais topológicos . Matemática pura e aplicada (segunda edição). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Rudin, Walter (1991). Análise funcional . Série Internacional em Matemática Pura e Aplicada. 8 (segunda edição). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . Veja Teorema 3.15, p. 68
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Schechter, Eric (1997). Manual de análise e seus fundamentos. San Diego: Academic Press.
Trèves, François (2006) [1967]. Espaços Vetoriais Topológicos, Distribuições e Kernels . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .

Leitura adicional

John B. Conway (1994). Um curso de análise funcional (2ª ed.). Berlim: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5. Consulte o Capítulo 5, seção 3.
Peter B. Lax (2002). Análise funcional . Wiley-Interscience. pp. 120-121. ISBN 0-471-55604-1.

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Notas

Referências

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