Grandes números - Large numbers

Números que são significativamente maiores do que aqueles normalmente usados ​​na vida cotidiana, por exemplo, na contagem simples ou em transações monetárias, aparecem com frequência em campos como matemática , cosmologia , criptografia e mecânica estatística . O termo normalmente se refere a grandes números inteiros positivos ou, mais geralmente, grandes números reais positivos , mas também pode ser usado em outros contextos. O estudo da nomenclatura e das propriedades de grandes números às vezes é chamado de googologia.

Às vezes, as pessoas se referem a grandes números como sendo "astronomicamente grandes"; no entanto, é fácil definir matematicamente números que são muito maiores até do que aqueles usados ​​em astronomia.

No mundo cotidiano

A notação científica foi criada para lidar com a ampla gama de valores que ocorrem no estudo científico. 1,0 × 10 9 , por exemplo, significa um bilhão , um 1 seguido por nove zeros: 1 000 000 000 e 1,0 × 10 −9 significa um bilionésimo, ou 0,000 000 001. Escrever 10 9 em vez de nove zeros economiza o esforço dos leitores e o risco de contar uma longa série de zeros para ver quão grande é o número.

Exemplos de grandes números que descrevem objetos do cotidiano do mundo real incluem:

Astronômico

Outros grandes números, com relação ao comprimento e ao tempo, são encontrados na astronomia e na cosmologia . Por exemplo, o modelo atual do Big Bang sugere que o universo tem 13,8 bilhões de anos (4,355 × 10 17 segundos) e que o universo observável tem 93 bilhões de anos-luz de diâmetro (8,8 × 10 26 metros) e contém cerca de 5 × 10 22 estrelas, organizadas em cerca de 125 bilhões (1,25 × 10 11 ) de galáxias, de acordo com observações do Telescópio Espacial Hubble. Existem cerca de 10 80 átomos no universo observável , por estimativa grosseira.

De acordo com Don Page , físico da Universidade de Alberta, Canadá, o tempo finito mais longo que foi calculado explicitamente por qualquer físico é

que corresponde à escala de uma estimativa de tempo de recorrência Poincaré para o estado quântico de uma caixa hipotética contendo um buraco negro com a massa estimada da totalidade do universo, observável ou não, assumindo uma certa inflação modelo com um inflatón cuja massa é de 10 -6 Massas de Planck . Desta vez, assume um modelo estatístico sujeito à recorrência de Poincaré. Uma maneira muito simplificada de pensar sobre esta época é em um modelo onde a história do universo se repete arbitrariamente muitas vezes devido a propriedades da mecânica estatística ; esta é a escala de tempo em que será um pouco semelhante (para uma escolha razoável de "semelhante") ao seu estado atual novamente.

Os processos combinatórios geram rapidamente números ainda maiores. A função fatorial , que define o número de permutações em um conjunto de objetos fixos, cresce muito rapidamente com o número de objetos. A fórmula de Stirling fornece uma expressão assintótica precisa para essa taxa de crescimento.

Os processos combinatórios geram números muito grandes na mecânica estatística. Esses números são tão grandes que normalmente são referidos apenas por meio de seus logaritmos .

Os números de Gödel e números semelhantes usados ​​para representar cadeias de bits na teoria da informação algorítmica são muito grandes, mesmo para declarações matemáticas de comprimento razoável. No entanto, alguns números patológicos são ainda maiores do que os números de Gödel de proposições matemáticas típicas.

O lógico Harvey Friedman realizou trabalhos relacionados a números muito grandes, como o teorema da árvore de Kruskal e o teorema de Robertson-Seymour .

"Bilhões e bilhões"

Para ajudar os espectadores do Cosmos a distinguir entre "milhões" e "bilhões", o astrônomo Carl Sagan enfatizou o "b". Sagan nunca disse, entretanto, " bilhões e bilhões ". A associação do público da frase com Sagan veio de uma esquete do Tonight Show . Parodiando o afeto de Sagan, Johnny Carson gracejou "bilhões e bilhões". A frase, entretanto, agora se tornou um número fictício humorístico - o Sagan . Cf. , Unidade Sagan .

Exemplos

  • googol =
  • centilhão = ou , dependendo do sistema de nomenclatura de número
  • milhões = ou , dependendo do sistema de nomenclatura de número
  • O maior número de Smith conhecido = (10 1031 −1) × (10 4594 + 3 × 10 2297 + 1) 1476 × 10 3 913 210
  • O maior Mersenne prime conhecido = ( em 21 de dezembro de 2018 )
  • googolplex =
  • Números de skewes : o primeiro é aproximadamente , o segundo
  • Número de Graham , maior do que pode ser representado mesmo usando torres de energia ( tetration ). No entanto, pode ser representado usando a notação de seta para cima de Knuth
  • O teorema da árvore de Kruskal é uma sequência relacionada a gráficos. A ÁRVORE (3) é maior que o número de Graham .
  • O número de Rayo é um grande número com o nome de Agustín Rayo, que foi considerado o maior número nomeado. Foi originalmente definido em um "duelo de grande número" no MIT em 26 de janeiro de 2007

Sistema padronizado de escrita

Uma maneira padronizada de escrever números muito grandes permite que eles sejam facilmente classificados em ordem crescente, e pode-se ter uma boa ideia de quanto um número é maior do que outro.

Para comparar números em notação científica, digamos 5 × 10 4 e 2 × 10 5 , compare os expoentes primeiro, neste caso 5> 4, então 2 × 10 5 > 5 × 10 4 . Se os expoentes forem iguais, a mantissa (ou coeficiente) deve ser comparada, portanto 5 × 10 4 > 2 × 10 4 porque 5> 2.

A tetração com base 10 dá a sequência , as torres de poder dos números 10, onde denota uma potência funcional da função (a função também expressa pelo sufixo "-plex" como em googolplex, ver a família Googol ).

Esses são números muito redondos, cada um representando uma ordem de magnitude em um sentido generalizado. Uma maneira grosseira de especificar o quão grande é um número é especificar entre quais dois números nesta sequência ele está.

Mais precisamente, os números intermediários podem ser expressos na forma , ou seja, com uma torre de energia de 10s e um número no topo, possivelmente em notação científica, por exemplo , um número entre e (observe que se ). (Veja também a extensão da tetração para alturas reais .)

Assim, googolplex é

Outro exemplo:

(entre e )

Assim, a "ordem de magnitude" de um número (em uma escala maior do que normalmente significa), pode ser caracterizada pelo número de vezes ( n ) que se deve tomar para obter um número entre 1 e 10. Assim, o número é entre e . Conforme explicado, uma descrição mais precisa de um número também especifica o valor desse número entre 1 e 10, ou o número anterior (tomando o logaritmo uma vez a menos) entre 10 e 10 10 , ou o próximo, entre 0 e 1.

Observe que

Ou seja, se um número x é muito grande para uma representação , podemos aumentar a torre de energia um, substituindo x por log 10 x , ou encontrar x da representação da torre inferior do log 10 do número inteiro. Se a torre de energia contivesse um ou mais números diferentes de 10, as duas abordagens levariam a resultados diferentes, correspondendo ao fato de que estender a torre de energia com um 10 na parte inferior não é o mesmo que estendê-la com um 10 em o topo (mas, é claro, observações semelhantes se aplicam se toda a torre de energia consistir em cópias do mesmo número, diferente de 10).

Se a altura da torre for grande, as várias representações para números grandes podem ser aplicadas à própria altura. Se a altura for fornecida apenas aproximadamente, fornecer um valor no topo não faz sentido, então podemos usar a notação de seta dupla, por exemplo . Se o valor após a seta dupla for um número muito grande, o acima pode ser aplicado recursivamente a esse valor.

Exemplos:

(entre e )
(entre e )

Similarmente ao anterior, se o expoente de não for dado exatamente, então fornecer um valor à direita não faz sentido, e podemos, em vez de usar a notação de potência de , adicionar 1 ao expoente de , então obtemos, por exemplo .

Se o expoente de for grande, as várias representações para números grandes podem ser aplicadas ao próprio expoente. Se esse expoente não for dado exatamente, novamente, fornecer um valor à direita não faz sentido, e podemos, em vez de usar a notação de potência de , usar o operador de seta tripla, por exemplo .

Se o argumento do lado direito do operador de seta tripla for grande, o acima se aplica a ele, então temos, por exemplo, (entre e ). Isso pode ser feito recursivamente, para que possamos ter uma potência do operador de seta tripla.

Podemos prosseguir com operadores com maior número de setas, escritas .

Compare esta notação com o hiperoperador e a notação de seta em cadeia de Conway :

= ( abn ) = hiper ( an  + 2,  b )

Uma vantagem do primeiro é que, quando considerada em função da b , existe uma notação natural para poderes desta função (assim como ao escrever os n setas): . Por exemplo:

= (10 → (10 → (10 → b → 2) → 2) → 2)

e apenas em casos especiais a notação de cadeia longa aninhada é reduzida; para b = 1, obtemos:

= (10 → 3 → 3)

Como ob também pode ser muito grande, em geral escrevemos um número com uma sequência de potências com valores decrescentes de n (com expoentes inteiros exatamente dados ) com no final um número em notação científica comum. Sempre que a é muito grande para ser fornecido exatamente, o valor de é aumentado em 1 e tudo à direita de é reescrito.

Para descrever números aproximadamente, desvios da ordem decrescente dos valores de n não são necessários. Por exemplo , e . Assim, temos o resultado um tanto contra-intuitivo de que um número x pode ser tão grande que, de certa forma, xe 10 x são "quase iguais" (para aritmética de números grandes, veja também abaixo).

Se o sobrescrito da seta para cima for grande, as várias representações para números grandes podem ser aplicadas ao próprio sobrescrito. Se esse sobrescrito não for dado exatamente, não há sentido em elevar o operador a uma potência específica ou ajustar o valor sobre o qual ele atua. Podemos simplesmente usar um valor padrão à direita, digamos 10, e a expressão se reduz a com um n aproximado . Para esses números, a vantagem de usar a notação de seta para cima não se aplica mais, e também podemos usar a notação em cadeia.

O acima pode ser aplicado recursivamente para este n , então obtemos a notação no sobrescrito da primeira seta, etc., ou temos uma notação em cadeia aninhada, por exemplo:

(10 → 10 → (10 → 10 → )) =

Se o número de níveis ficar muito grande para ser conveniente, uma notação é usada onde esse número de níveis é escrito como um número (como usar o sobrescrito da seta em vez de escrever muitas setas). Apresentando uma função = (10 → 10 → n ), esses níveis tornam-se potências funcionais de f , permitindo-nos escrever um número na forma onde m é dado exatamente e n é um inteiro que pode ou não ser dado exatamente (por exemplo : ). Se n for grande, podemos usar qualquer uma das opções acima para expressá-lo. O "mais redondo" desses números são aqueles da forma f m (1) = (10 → 10 → m → 2). Por exemplo,

Compare a definição do número de Graham: ele usa os números 3 em vez de 10 e tem 64 níveis de seta e o número 4 no topo; assim , mas também .

Se m in for muito grande para fornecer exatamente, podemos usar um n fixo , por exemplo, n = 1, e aplicar o acima recursivamente a m , ou seja, o número de níveis de setas para cima é representado na notação sobrescrita de seta para cima, etc. O uso da notação de potência funcional de f fornece vários níveis de f . Apresentando uma função, esses níveis tornam-se potências funcionais de g , permitindo-nos escrever um número na forma em que m é dado exatamente e n é um inteiro que pode ou não ser dado exatamente. Temos (10 → 10 → m → 3) = g m (1). Se n for grande, podemos usar qualquer uma das opções acima para expressá-lo. Da mesma forma, podemos introduzir uma função h , etc. Se precisarmos de muitas dessas funções, podemos numerá-las melhor em vez de usar uma nova letra a cada vez, por exemplo, como um subscrito, então obtemos números da forma onde k e m são dados exatamente e n é um número inteiro que pode ou não ser dado exatamente. Usando k = 1 para f acima, k = 2 para g , etc., temos (10 → 10 → nk ) = . Se n for grande, podemos usar qualquer uma das opções acima para expressá-lo. Assim, obtemos um aninhamento de formas onde indo para dentro o k diminui, e com o argumento interno uma sequência de potências com valores decrescentes de n (onde todos esses números são exatamente inteiros dados) com no final um número em notação científica comum.

Quando k é muito grande para ser dado exatamente, o número em questão pode ser expresso como = (10 → 10 → 10 → n ) com um n aproximado . Observe que o processo de ir da sequência = (10 → n ) para a sequência = (10 → 10 → n ) é muito semelhante a ir desta última para a sequência = (10 → 10 → 10 → n ): é o processo geral de adicionar um elemento 10 à cadeia na notação da cadeia; este processo pode ser repetido novamente (veja também a seção anterior). Numerando as versões subsequentes desta função, um número pode ser descrito usando funções , aninhadas em ordem lexicográfica com q o número mais significativo, mas com ordem decrescente para q e para k ; como argumento interno, temos uma sequência de potências com valores decrescentes de n (onde todos esses números são exatamente inteiros dados) com no final um número em notação científica comum.

Para um número muito grande para ser anotado na notação de seta em cadeia de Conway, podemos descrever o quão grande ele é pelo comprimento dessa cadeia, por exemplo, usando apenas os elementos 10 na cadeia; em outras palavras, especificamos sua posição na sequência 10, 10 → 10, 10 → 10 → 10, .. Se mesmo a posição na sequência for um número grande, podemos aplicar as mesmas técnicas novamente para isso.

Exemplos

Números expressáveis ​​em notação decimal:

  • 2 2 = 4
  • 2 2 2 = 2 ↑↑ 3 = 16
  • 3 3 = 27
  • 4 4 = 256
  • 5 5 = 3.125
  • 6 6 = 46.656
  • = 2 ↑↑ 4 = 2 ↑↑↑ 3 = 65.536
  • 7 7 = 823.543
  • 10 6 = 1.000.000 = 1 milhão
  • 8 8 = 16.777.216
  • 9 9 = 387.420.489
  • 10 9 = 1.000.000.000 = 1 bilhão
  • 10 10 = 10.000.000.000
  • 10 12 = 1.000.000.000.000 = 1 trilhão
  • 3 3 3 = 3 ↑↑ 3 = 7.625.597.484.987 ≈ 7,63 × 10 12
  • 10 15 = 1.000.000.000.000.000 = 1 milhão bilhão = 1 quatrilhão

Números expressáveis ​​em notação científica:

  • Número aproximado de átomos no universo observável = 10 80 = 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.
  • googol = 10 100 = 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
  • 4 4 4 = 4 ↑↑ 3 = 2 512 ≈ 1,34 × 10 154 ≈ (10 ↑) 2 2,2
  • Número aproximado de volumes de Planck que compõem o volume do universo observável = 8,5 × 10 184
  • 5 5 5 = 5 ↑↑ 3 = 5 3125 ≈ 1,91 × 10 2184 ≈ (10 ↑) 2 3.3
  • 6 6 6 = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 10 36.305 ≈ (10 ↑) 2 4,6
  • 7 7 7 = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10 695.974 ≈ (10 ↑) 2 5,8
  • 8 8 8 = 8 ↑↑ 3 ≈ 6,01 × 10 15,151,335 ≈ (10 ↑) 2 7,2
  • , no dia 50 e, a partir de janeiro de 2018, o maior prime de Mersenne conhecido .
  • 9 9 9 = 9 ↑↑ 3 ≈ 4,28 × 10 369.693.099 ≈ (10 ↑) 2 8,6
  • 10 10 10 = 10 ↑↑ 3 = 10 10.000.000.000 = (10 ↑) 3 1

Números expressáveis ​​em notação (10 ↑) n k :

  • googolplex =
  • 10 ↑↑ 5 = (10 ↑) 5 1
  • 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑) 5 1,10
  • 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) 5 4,3
  • 10 ↑↑ 6 = (10 ↑) 6 1
  • 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑) 10 1
  • 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65.536 ≈ (10 ↑) 65.533 4,3 está entre 10 ↑↑ 65.533 e 10 ↑↑ 65.534

Números maiores:

  • 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7,6 × 10 12 ≈ 10 ↑↑ 7,6 × 10 12 está entre (10 ↑↑) 2 2 e (10 ↑↑) 2 3
  • = (10 → 3 → 3)
  • = (10 → 4 → 3)
  • = (10 → 5 → 3)
  • = (10 → 6 → 3)
  • = (10 → 7 → 3)
  • = (10 → 8 → 3)
  • = (10 → 9 → 3)
  • = (10 → 2 → 4) = (10 → 10 → 3)
  • O primeiro termo na definição do número de Graham, g 1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 12 ) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 12 ) está entre (10 ↑↑↑) 2 2 e (10 ↑↑↑) 2 3 (veja o número de Graham # Magnitude )
  • = (10 → 3 → 4)
  • = (4 → 4 → 4)
  • = (10 → 4 → 4)
  • = (10 → 5 → 4)
  • = (10 → 6 → 4)
  • = (10 → 7 → 4)
  • = (10 → 8 → 4)
  • = (10 → 9 → 4)
  • = (10 → 2 → 5) = (10 → 10 → 4)
  • (2 → 3 → 2 → 2) = (2 → 3 → 8)
  • (3 → 2 → 2 → 2) = (3 → 2 → 9) = (3 → 3 → 8)
  • (10 → 10 → 10) = (10 → 2 → 11)
  • (10 → 2 → 2 → 2) = (10 → 2 → 100)
  • (10 → 10 → 2 → 2) = (10 → 2 → ) =
  • O segundo termo na definição do número de Graham, g 2 = 3 ↑ g 1 3> 10 ↑ g 1 - 1 10.
  • (10 → 10 → 3 → 2) = (10 → 10 → (10 → 10 → )) =
  • g 3 = (3 → 3 → g 2 )> (10 → 10 → g 2 - 1)> (10 → 10 → 3 → 2)
  • g 4 = (3 → 3 → g 3 )> (10 → 10 → g 3 - 1)> (10 → 10 → 4 → 2)
  • ...
  • g 9 = (3 → 3 → g 8 ) está entre (10 → 10 → 9 → 2) e (10 → 10 → 10 → 2)
  • (10 → 10 → 10 → 2)
  • g 10 = (3 → 3 → g 9 ) está entre (10 → 10 → 10 → 2) e (10 → 10 → 11 → 2)
  • ...
  • g 63 = (3 → 3 → g 62 ) está entre (10 → 10 → 63 → 2) e (10 → 10 → 64 → 2)
  • (10 → 10 → 64 → 2)
  • Número de Graham, g 64
  • (10 → 10 → 65 → 2)
  • (10 → 10 → 10 → 3)
  • (10 → 10 → 10 → 4)
  • (10 → 10 → 10 → 10)
  • (10 → 10 → 10 → 10 → 10)
  • (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10)
  • (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10) onde há (10 → 10 → 10) "10" s

Outras notações

Algumas notações para números extremamente grandes:

Essas notações são essencialmente funções de variáveis ​​inteiras, que aumentam muito rapidamente com esses números inteiros. Funções de aumento cada vez mais rápido podem ser facilmente construídas recursivamente aplicando-se essas funções com números inteiros grandes como argumento.

Uma função com uma assíntota vertical não é útil para definir um número muito grande, embora a função aumente muito rapidamente: é preciso definir um argumento muito próximo da assíntota, ou seja, usar um número muito pequeno e construir que é equivalente a construir um número muito grande, por exemplo, o recíproco.

Comparação de valores de base

O seguinte ilustra o efeito de uma base diferente de 10, base 100. Também ilustra representações de números e a aritmética.

, com base 10 o expoente é duplicado.

, idem.

, o expoente mais alto é pouco mais do que o dobro (aumentado em log 10 2).

  • (portanto, se n for grande, parece justo dizer que é "aproximadamente igual a" )
  • (compare ; portanto, se n for grande, parece justo dizer que é "aproximadamente igual a" )
  • (compare )
  • (compare )
  • (compare ; se n for grande, é "aproximadamente" igual)

Precisão

Para um número , uma mudança de unidade em n altera o resultado por um fator 10. Em um número como , com o 6,2 o resultado do arredondamento adequado usando algarismos significativos, o valor verdadeiro do expoente pode ser 50 a menos ou 50 a mais. Portanto, o resultado pode ser um fator muito grande ou muito pequeno. Isso parece ser uma precisão extremamente pobre, mas para um número tão grande pode ser considerado razoável (um erro grande em um número grande pode ser "relativamente pequeno" e, portanto, aceitável).

Para números muito grandes

No caso de uma aproximação de um número extremamente grande, o erro relativo pode ser grande, mas ainda pode haver um sentido em que queremos considerar os números como "próximos em magnitude". Por exemplo, considere

e

O erro relativo é

um grande erro relativo. No entanto, também podemos considerar o erro relativo nos logaritmos; neste caso, os logaritmos (para a base 10) são 10 e 9, então o erro relativo nos logaritmos é de apenas 10%.

O ponto é que as funções exponenciais aumentam muito os erros relativos - se a e b têm um pequeno erro relativo,

e

o erro relativo é maior e

e

terá um erro relativo ainda maior. A questão então se torna: em qual nível de logaritmos iterados desejamos comparar dois números? Em certo sentido, podemos querer considerar

e

para ser "próximo em magnitude". O erro relativo entre esses dois números é grande, e o erro relativo entre seus logaritmos ainda é grande; no entanto, o erro relativo em seus logaritmos de segunda iteração é pequeno:

e

Essas comparações de logaritmos iterados são comuns, por exemplo, na teoria analítica dos números .

Aulas

Uma solução para o problema de comparar grandes números é definir classes de números, como o sistema desenvolvido por Robert Munafo, que se baseia em diferentes "níveis" de percepção de uma pessoa média. A classe 0 - números entre zero e seis - é definida para conter números que são facilmente subdivididos , ou seja, números que aparecem com muita frequência na vida diária e são quase instantaneamente comparáveis. Classe 1 - números entre seis e 1.000.000 = 10 <sup> 6 </sup> - é definida para conter números cujas expressões decimais são facilmente subdivididas, ou seja, números que são facilmente comparáveis ​​não por cardinalidade , mas "à primeira vista" dada a expansão decimal.

Cada classe após essas é definida em termos de iteração dessa exponenciação de base 10, para simular o efeito de outra "iteração" de indistinguibilidade humana. Por exemplo, a classe 5 é definida para incluir números entre 10 10 10 10 6 e 10 10 10 10 10 6 , que são números onde X torna-se humanamente indistinguível de X 2 (tomar logaritmos iterados de tal X resulta em indistinguibilidade primeiramente entre log ( X ) e 2log ( X ), em segundo lugar entre log (log ( X )) e 1 + log (log ( X )), e finalmente uma expansão decimal extremamente longa cujo comprimento não pode ser subitized).

Aritmética aproximada

Existem algumas regras gerais relacionadas às operações aritméticas usuais realizadas em números muito grandes:

  • A soma e o produto de dois números muito grandes são ambos "aproximadamente" iguais ao maior.

Portanto:

  • Um número muito grande elevado a uma potência muito grande é "aproximadamente" igual ao maior dos dois valores a seguir: o primeiro valor e 10 à potência, o segundo. Por exemplo, para n muito grande temos (veja, por exemplo, o cálculo de mega ) e também . Portanto , consulte a tabela .

Criando sistematicamente sequências cada vez mais rápidas

Dada uma sequência de inteiros / função estritamente crescente ( n ≥1) que pode produzir uma sequência de crescimento mais rápido (onde o expoente n indica o n ° de potência funcional ). Isso pode ser repetido qualquer número de vezes, permitindo , cada sequência crescendo muito mais rápido do que a anterior. Então poderíamos definir , que cresce muito mais rápido do que qualquer um para k finito (aqui ω é o primeiro número ordinal infinito , representando o limite de todos os números finitos k). Essa é a base para a hierarquia de funções de rápido crescimento, na qual o índice de indexação é estendido para ordinais cada vez maiores.

Por exemplo, começando com f 0 ( n ) = n + 1:

  • f 1 ( n ) = f 0 n ( n ) = n + n = 2 n
  • f 2 ( n ) = f 1 n ( n ) = 2 n n > (2 ↑) n para n ≥ 2 (usando a notação de seta para cima de Knuth )
  • f 3 ( n ) = f 2 n ( n )> (2 ↑) n n ≥ 2 ↑ 2 n para n ≥ 2
  • f k +1 ( n )> 2 ↑ k n para n ≥ 2, k
  • f ω ( n ) = f n ( n )> 2 ↑ n - 1 n > 2 ↑ n - 2 ( n + 3) - 3 = A ( n , n ) para n ≥ 2, onde A é a função de Ackermann ( dos quais f ω é uma versão unária)
  • f ω + 1 (64)> f ω 64 (6)> Número de Graham (= g 64 na sequência definida por g 0 = 4, g k +1 = 3 ↑ g k 3)
    • Segue-se notando f ω ( n )> 2 ↑ n - 1 n > 3 ↑ n - 2 3 + 2 e, portanto, f ω ( g k + 2)> g k +1 + 2
  • f ω ( n )> 2 ↑ n - 1 n = (2 → nn -1) = (2 → nn -1 → 1) (usando a notação de seta encadeada de Conway )
  • f ω + 1 ( n ) = f ω n ( n )> (2 → nn -1 → 2) (porque se g k ( n ) = X → nk então X → nk +1 = g k n (1))
  • f ω + k ( n )> (2 → nn -1 → k +1)> ( nnk )
  • f ω2 ( n ) = f ω + n ( n )> ( nnn ) = ( nnn → 1)
  • f ω2 + k ( n )> ( nnnk )
  • f ω3 ( n )> ( nnnn )
  • f ω k ( n )> ( nn → ... → nn ) (Cadeia de k +1 n ' s)
  • f ω 2 ( n ) = f ω n ( n )> ( nn → ... → nn ) (Cadeia de n +1 n ' s)

Em algumas sequências não computáveis

A função de castor ocupado Σ é um exemplo de uma função que cresce mais rápido do que qualquer função computável . Seu valor, mesmo para uma entrada relativamente pequena, é enorme. Os valores de Σ ( n ) para n = 1, 2, 3, 4 são 1, 4, 6, 13 (sequência A028444 no OEIS ). Σ (5) não é conhecido, mas é definitivamente ≥ 4098. Σ (6) é pelo menos 3,5 × 10 18267 .

Números infinitos

Embora todos os números discutidos acima sejam muito grandes, eles ainda são definitivamente finitos . Certos campos da matemática definem números infinitos e transfinitos . Por exemplo, aleph-null é a cardinalidade do conjunto infinito de números naturais e aleph-um é o próximo maior número cardinal. é a cardinalidade dos reais . A proposição que é conhecida como hipótese do contínuo .

Veja também

Referências