Sequência de números com diferenças constantes entre números consecutivos
Uma progressão aritmética ou sequência aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre os termos consecutivos é constante. Por exemplo, a sequência 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . é uma progressão aritmética com uma diferença comum de 2.
Se o período inicial de uma progressão aritmética é e a diferença comum dos membros sucessivas é d , então o n ésimo termo da sequência ( ) é dada por:
-
,
e em geral
-
.
Uma parte finita de uma progressão aritmética é chamada de progressão aritmética finita e, às vezes, apenas chamada de progressão aritmética. A soma de uma progressão aritmética finita é chamada de série aritmética .
Soma
2 |
+ |
5 |
+ |
8 |
+ |
11 |
+ |
14 |
= |
40
|
14 |
+ |
11 |
+ |
8 |
+ |
5 |
+ |
2 |
= |
40
|
|
16 |
+ |
16 |
+ |
16 |
+ |
16 |
+ |
16 |
= |
80
|
Cálculo da soma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Quando a sequência é invertida e adicionada a si mesma termo por termo, a sequência resultante tem um único valor repetido, igual à soma do primeiro e do último número (2 + 14 = 16). Portanto, 16 × 5 = 80 é o dobro da soma.
A soma dos membros de uma progressão aritmética finita é chamada de série aritmética . Por exemplo, considere a soma:
Essa soma pode ser encontrada rapidamente pegando o número n de termos sendo adicionados (aqui 5), multiplicando pela soma do primeiro e último número na progressão (aqui 2 + 14 = 16) e dividindo por 2:
No caso acima, isso dá a equação:
Esta fórmula funciona para qualquer número real e . Por exemplo:
Derivação
Prova animada para a fórmula que dá a soma dos primeiros inteiros 1 + 2 + ... + n.
Para derivar a fórmula acima, comece expressando a série aritmética de duas maneiras diferentes:
Adicionando ambos os lados das duas equações, todos os termos envolvendo d cancelam:
Dividir os dois lados por 2 produz uma forma comum da equação:
Uma forma alternativa resulta da reinserção da substituição :
Além disso, o valor médio da série pode ser calculado por meio de ::
A fórmula é muito semelhante à média de uma distribuição uniforme discreta .
produtos
O produto dos membros de uma progressão aritmética finita com um elemento inicial a 1 , diferenças comuns d e n elementos no total é determinado em uma expressão fechada
onde denota a função Gama . A fórmula não é válida quando é negativa ou zero.
Esta é uma generalização do fato de que o produto da progressão é dado pelo fatorial e que o produto
para inteiros positivos e é dado por
Derivação
onde denota o fatorial crescente .
Pela fórmula de recorrência , válida para um número complexo ,
-
,
-
,
de modo a
para um número inteiro positivo e um número complexo positivo.
Assim, se ,
-
,
e finalmente,
Exemplos
- Exemplo 1
Tomando o exemplo , o produto dos termos da progressão aritmética dada até o 50º termo é
- Exemplo 2
O produto dos primeiros 10 números ímpares é dado por
-
= 654.729.075
Desvio padrão
O desvio padrão de qualquer progressão aritmética pode ser calculado como
onde é o número de termos na progressão e
é a diferença comum entre os termos. A fórmula é muito semelhante ao desvio padrão de uma distribuição uniforme discreta .
Cruzamentos
A interseção de quaisquer duas progressões aritméticas duplamente infinitas é vazia ou é outra progressão aritmética, que pode ser encontrada usando o teorema do resto chinês . Se cada par de progressões em uma família de progressões aritméticas duplamente infinitas tem uma interseção não vazia, então existe um número comum a todas elas; isto é, progressões aritméticas infinitas formam uma família Helly . No entanto, a interseção de infinitas progressões aritméticas infinitas pode ser um único número em vez de ser uma progressão infinita.
História
De acordo com uma anedota de confiabilidade incerta, o jovem Carl Friedrich Gauss na escola primária reinventou este método para calcular a soma dos inteiros de 1 a 100, multiplicando
n/2pares de números na soma dos valores de cada par n + 1 . No entanto, independentemente da verdade desta história, Gauss não foi o primeiro a descobrir esta fórmula, e alguns acham provável que sua origem remonta aos pitagóricos no século 5 aC. Regras semelhantes eram conhecidas na antiguidade por Arquimedes , Hypsicles e Diophantus ; na China para Zhang Qiujian ; na Índia para Aryabhata , Brahmagupta e Bhaskara II ; e na Europa medieval a Alcuin , Dicuil , Fibonacci , Sacrobosco
e a comentaristas anônimos do Talmud conhecidos como Tosafists .
Veja também
Referências
links externos