Progressão aritmética - Arithmetic progression

Uma progressão aritmética ou sequência aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre os termos consecutivos é constante. Por exemplo, a sequência 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . é uma progressão aritmética com uma diferença comum de 2.

Se o período inicial de uma progressão aritmética é e a diferença comum dos membros sucessivas é d , então o n ésimo termo da sequência ( ) é dada por:

,

e em geral

.

Uma parte finita de uma progressão aritmética é chamada de progressão aritmética finita e, às vezes, apenas chamada de progressão aritmética. A soma de uma progressão aritmética finita é chamada de série aritmética .

Soma

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 40

16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

Cálculo da soma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Quando a sequência é invertida e adicionada a si mesma termo por termo, a sequência resultante tem um único valor repetido, igual à soma do primeiro e do último número (2 + 14 = 16). Portanto, 16 × 5 = 80 é o dobro da soma.

A soma dos membros de uma progressão aritmética finita é chamada de série aritmética . Por exemplo, considere a soma:

Essa soma pode ser encontrada rapidamente pegando o número n de termos sendo adicionados (aqui 5), multiplicando pela soma do primeiro e último número na progressão (aqui 2 + 14 = 16) e dividindo por 2:

No caso acima, isso dá a equação:

Esta fórmula funciona para qualquer número real e . Por exemplo:

Derivação

Prova animada para a fórmula que dá a soma dos primeiros inteiros 1 + 2 + ... + n.

Para derivar a fórmula acima, comece expressando a série aritmética de duas maneiras diferentes:

Adicionando ambos os lados das duas equações, todos os termos envolvendo d cancelam:

Dividir os dois lados por 2 produz uma forma comum da equação:

Uma forma alternativa resulta da reinserção da substituição :

Além disso, o valor médio da série pode ser calculado por meio de ::

A fórmula é muito semelhante à média de uma distribuição uniforme discreta .

produtos

O produto dos membros de uma progressão aritmética finita com um elemento inicial a 1 , diferenças comuns d e n elementos no total é determinado em uma expressão fechada

onde denota a função Gama . A fórmula não é válida quando é negativa ou zero.

Esta é uma generalização do fato de que o produto da progressão é dado pelo fatorial e que o produto

para inteiros positivos e é dado por

Derivação

onde denota o fatorial crescente .

Pela fórmula de recorrência , válida para um número complexo ,

,
,

de modo a

para um número inteiro positivo e um número complexo positivo.

Assim, se ,

,

e finalmente,

Exemplos

Exemplo 1

Tomando o exemplo , o produto dos termos da progressão aritmética dada até o 50º termo é

Exemplo 2

O produto dos primeiros 10 números ímpares é dado por

= 654.729.075

Desvio padrão

O desvio padrão de qualquer progressão aritmética pode ser calculado como

onde é o número de termos na progressão e é a diferença comum entre os termos. A fórmula é muito semelhante ao desvio padrão de uma distribuição uniforme discreta .

Cruzamentos

A interseção de quaisquer duas progressões aritméticas duplamente infinitas é vazia ou é outra progressão aritmética, que pode ser encontrada usando o teorema do resto chinês . Se cada par de progressões em uma família de progressões aritméticas duplamente infinitas tem uma interseção não vazia, então existe um número comum a todas elas; isto é, progressões aritméticas infinitas formam uma família Helly . No entanto, a interseção de infinitas progressões aritméticas infinitas pode ser um único número em vez de ser uma progressão infinita.

História

De acordo com uma anedota de confiabilidade incerta, o jovem Carl Friedrich Gauss na escola primária reinventou este método para calcular a soma dos inteiros de 1 a 100, multiplicando n/2pares de números na soma dos valores de cada par n + 1 . No entanto, independentemente da verdade desta história, Gauss não foi o primeiro a descobrir esta fórmula, e alguns acham provável que sua origem remonta aos pitagóricos no século 5 aC. Regras semelhantes eram conhecidas na antiguidade por Arquimedes , Hypsicles e Diophantus ; na China para Zhang Qiujian ; na Índia para Aryabhata , Brahmagupta e Bhaskara II ; e na Europa medieval a Alcuin , Dicuil , Fibonacci , Sacrobosco e a comentaristas anônimos do Talmud conhecidos como Tosafists .

Veja também

Referências

links externos