Propriedade arquimediana - Archimedean property

Ilustração da propriedade arquimediana.

Na álgebra e na análise abstratas , a propriedade arquimediana , nomeada em homenagem ao antigo matemático grego Arquimedes de Siracusa , é uma propriedade mantida por algumas estruturas algébricas , como grupos ordenados ou normados e campos . A propriedade, normalmente interpretada, afirma que, dados dois números positivos x e y , há um inteiro n de modo que nx > y . Isso também significa que o conjunto de números naturais não é limitado acima. Grosso modo, é a propriedade de não ter elementos infinitamente grandes ou infinitamente pequenos . Foi Otto Stolz quem deu o nome ao axioma de Arquimedes, porque ele aparece como Axioma V de Na esfera e no cilindro de Arquimedes .

A noção surgiu da teoria das magnitudes da Grécia Antiga; ele ainda desempenha um papel importante na matemática moderna, como David Hilbert 's axiomas para a geometria e as teorias de grupos ordenados , campos solicitados e campos locais .

Uma estrutura algébrica na qual quaisquer dois elementos diferentes de zero são comparáveis , no sentido de que nenhum deles é infinitesimal em relação ao outro, é considerada arquimediana . Uma estrutura que tem um par de elementos diferentes de zero, um dos quais é infinitesimal em relação ao outro, é dita não arquimediana . Por exemplo, um grupo ordenado linearmente que é arquimediano é um grupo arquimediano .

Isso pode ser feito com precisão em vários contextos com formulações ligeiramente diferentes. Por exemplo, no contexto de campos ordenados , tem-se o axioma de Arquimedes que formula essa propriedade, onde o campo dos números reais é Arquimediano, mas o das funções racionais em coeficientes reais não.

História e origem do nome da propriedade arquimediana

O conceito foi batizado por Otto Stolz (na década de 1880) em homenagem ao antigo geômetra e físico grego Arquimedes de Siracusa .

A propriedade de Arquimedes aparece no Livro V da de Euclides Elementos como Definição 4:

Diz-se que as magnitudes têm uma relação entre si que pode, quando multiplicada, exceder uma à outra.

Como Arquimedes o atribuiu a Eudoxo de Cnido, ele também é conhecido como o "Teorema de Eudoxo" ou axioma de Eudoxo .

Arquimedes usou infinitesimais em argumentos heurísticos , embora negasse que fossem provas matemáticas concluídas .

Definição para grupos ordenados linearmente

Deixe que x e y ser elementos positivos de um grupo totalmente ordenado L . Então, x é infinitesimal em relação ay (ou equivalentemente, y é infinito em relação ax ) se, para cada número natural n , o múltiplo nx é menor que y , ou seja, a seguinte desigualdade é válida:

Esta definição pode ser estendida a todo o grupo tomando valores absolutos.

O grupo G é Arquimediano se não houver nenhum par ( x , y ) tal que x seja infinitesimal com respeito ay .

Além disso, se K é uma estrutura algébrica com uma unidade (1) - por exemplo, um anel - uma definição semelhante aplica-se a K . Se x for infinitesimal em relação a 1, então x é um elemento infinitesimal . Da mesma forma, se y for infinito em relação a 1, então y é um elemento infinito . A estrutura algébrica K é Arquimediana se não tiver elementos infinitos e nenhum elemento infinitesimal.

Campos ordenados

Os campos ordenados têm algumas propriedades adicionais:

  • Os números racionais estão embutidos em qualquer campo ordenado. Ou seja, qualquer campo ordenado tem a característica zero.
  • Se x for infinitesimal, então 1 / x será infinito e vice-versa. Portanto, para verificar se um campo é Arquimediano, basta verificar se não há elementos infinitesimais, ou verificar se não há elementos infinitos.
  • Se x é infinitesimal e r é um número racional, então rx também é infinitesimal. Como resultado, dado um elemento geral c , os três números c / 2 , c e 2 c são todos infinitesimais ou não infinitesimais.

Neste cenário, um campo ordenado K é Arquimediano precisamente quando a seguinte afirmação, chamada de axioma de Arquimedes , é válida:

"Seja x qualquer elemento de K. Então existe um número natural n tal que n > x ."

Como alternativa, pode-se usar a seguinte caracterização:

Definição para campos normados

O qualificador "Arquimediano" também é formulado na teoria dos campos com valor de classificação um e espaços normados sobre campos de valor de classificação um da seguinte maneira. Seja F um campo dotado de uma função de valor absoluto, ou seja, uma função que associa o número real 0 ao elemento de campo 0 e associa um número real positivo a cada não zero xF e satisfaz e . Então, F é dito Arquimediano se para qualquer diferente de zero xF existe um número natural n tal que

Da mesma forma, um espaço normado é Arquimediano se uma soma de n termos, cada um igual a um vetor diferente de zero x , tem norma maior que um para n suficientemente grande . Um campo com um valor absoluto ou um espaço normado é arquimediano ou satisfaz a condição mais forte, referida como a desigualdade do triângulo ultramétrico ,

respectivamente. Um campo ou espaço normado que satisfaça a desigualdade do triângulo ultramétrico é chamado de não-arquimediano .

O conceito de um espaço linear normado não arquimediano foi introduzido por AF Monna.

Exemplos e não exemplos

Propriedade arquimediana dos números reais

O campo dos números racionais pode ser atribuído a uma de várias funções de valor absoluto, incluindo a função trivial quando x ≠ 0 , a mais usual , e as funções de valor absoluto p -adic . Pelo teorema de Ostrowski , todo valor absoluto não trivial nos números racionais é equivalente ao valor absoluto usual ou a algum valor p -adico absoluto. O campo racional não é completo com respeito a valores absolutos não triviais; com respeito ao valor absoluto trivial, o campo racional é um espaço topológico discreto, tão completo. A conclusão em relação ao valor absoluto usual (da ordem) é o campo dos números reais. Por essa construção, o campo dos números reais é arquimediano tanto como campo ordenado quanto como campo normatizado. Por outro lado, as conclusões com respeito aos outros valores absolutos não triviais fornecem os campos de números p -adic, onde p é um número inteiro primo (veja abaixo); uma vez que os p valores absolutos -adic satisfazer o ultramétrica propriedade, em seguida, os p -adic campos de números não são de Arquimedes como campos normados (que não pode ser feito em campos ordenadas).

Na teoria axiomática dos números reais , a inexistência de números reais infinitesimais diferentes de zero está implícita na propriedade do limite superior mínimo, como segue. Denote por Z o conjunto que consiste em todos os infinitesimais positivos. Esse conjunto é limitado acima por 1. Agora, para uma contradição, suponha que Z não seja vazio. Então, ele tem um limite superior mínimo c , que também é positivo, então c / 2 < c <2 c . Como c é um limite superior de Z e 2 c é estritamente maior que c , 2 c não é um infinitesimal positivo. Ou seja, existe algum número natural n para o qual 1 / n <2 c . Por outro lado, c / 2 é um infinitesimal positivo, uma vez que pela definição de pelo menos limite superior deve haver um infinitesimal x entre C / 2 e C , e se 1 / k < c / 2 ≤ x então X não é infinitesimal . Mas 1 / (4 n ) < c / 2 , então c / 2 não é infinitesimal, e isso é uma contradição. Isso significa que Z está vazio afinal: não há números reais infinitesimais positivos.

A propriedade arquimediana dos números reais vale também na análise construtiva , embora a propriedade do limite superior mínimo possa falhar nesse contexto.

Campo ordenado não arquimediano

Para obter um exemplo de um campo ordenado que não é Arquimediano, pegue o campo de funções racionais com coeficientes reais. (Uma função racional é qualquer função que pode ser expressa como um polinômio dividido por outro polinômio; assumiremos a seguir que isso foi feito de forma que o coeficiente líder do denominador seja positivo.) Para tornar isso um ordenado campo, deve-se atribuir uma ordenação compatível com as operações de adição e multiplicação. Agora f > g se e somente se f  -  g > 0, então só temos que dizer quais funções racionais são consideradas positivas. Chame a função positiva se o coeficiente líder do numerador for positivo. (Deve-se verificar se essa ordem está bem definida e compatível com adição e multiplicação.) Por esta definição, a função racional 1 / x é positiva, mas menor que a função racional 1. Na verdade, se n for qualquer número natural, então n (1 / x ) = n / x é positivo, mas ainda menor que 1, não importa o tamanho de n . Portanto, 1 / x é um infinitesimal neste campo.

Este exemplo generaliza para outros coeficientes. Assumir funções racionais com coeficientes racionais em vez de reais produz um campo ordenado não arquimediano contável. Tomar os coeficientes como as funções racionais em uma variável diferente, digamos y , produz um exemplo com um tipo de pedido diferente .

Campos de valor não arquimediano

O campo dos números racionais dotados dos campos de métrica p-ádica e de número p-ádico que são as conclusões, não possuem a propriedade arquimediana como campos com valores absolutos. Todos os campos de valor arquimediano são isometricamente isomórficos a um subcampo dos números complexos com uma potência do valor absoluto usual.

Definições equivalentes de campo ordenado de Arquimedes

Cada campo K ordenado linearmente contém (uma cópia isomórfica de) os racionais como um subcampo ordenado, ou seja, o subcampo gerado pela unidade multiplicativa 1 de K , que por sua vez contém os inteiros como um subgrupo ordenado, que contém os números naturais como um monóide . A incorporação dos números racionais, em seguida, dá um jeito de falar sobre os racionais, números inteiros e números naturais em K . A seguir estão as caracterizações equivalentes dos campos arquimedianos em termos dessas subestruturas.

  1. Os números naturais são Cofiñal em K . Ou seja, cada elemento de K é menor que algum número natural. (Este não é o caso quando existem elementos infinitos.) Assim, um campo arquimediano é aquele cujos números naturais crescem sem limites.
  2. Zero é o mínimo em K do conjunto {1/2, 1/3, 1/4,…}. (Se K contivesse um infinitesimal positivo, seria um limite inferior para o conjunto em que zero não seria o maior limite inferior.)
  3. O conjunto de elementos de K entre os racionais positivos e negativos não é aberto. Isso ocorre porque o conjunto consiste em todos os infinitesimais, que é apenas o conjunto {0} quando não há infinitesimais diferentes de zero e, caso contrário, está aberto, não havendo nem o menor nem o maior infinitesimal diferente de zero. Observe que em ambos os casos, o conjunto dos infinitesimais está fechado. No último caso, (i) todo infinitesimal é menor do que todo racional positivo, (ii) não existe nem o maior infinitesimal nem o mínimo racional positivo e (iii) não há nada mais entre os dois. Consequentemente, qualquer campo ordenado não arquimediano está incompleto e desconectado.
  4. Para qualquer x em K, o conjunto de inteiros maiores que x tem um elemento mínimo. (Se x fosse uma quantidade infinita negativa, cada número inteiro seria maior do que ele.)
  5. Cada intervalo aberto não vazio de K contém um racional. (Se x for um infinitesimal positivo, o intervalo aberto ( x , 2 x ) contém infinitesimais, mas não um único racional.)
  6. Os racionais são densos em K com respeito a sup e inf. (Ou seja, cada elemento de K é o sup de algum conjunto de racionais e o inf de algum outro conjunto de racionais.) Assim, um campo arquimediano é qualquer extensão ordenada densa dos racionais, no sentido de qualquer campo ordenado que densamente incorpora seus elementos racionais.

Veja também

Notas

Referências