Lei da força de Ampère - Ampère's force law
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Na magnetostática , a força de atração ou repulsão entre dois fios condutores de corrente (veja a primeira figura abaixo) é freqüentemente chamada de lei de força de Ampère . A origem física desta força é que cada fio gera um campo magnético, seguindo a lei de Biot-Savart , e o outro fio experimenta uma força magnética como consequência, seguindo a lei de força de Lorentz .
Equação
Caso especial: Dois fios paralelos retos
O exemplo mais conhecido e mais simples da lei da força de Ampère, que fundamentou (antes de 20 de maio de 2019) a definição do ampere , a unidade SI de corrente, afirma que a força magnética por unidade de comprimento entre dois condutores paralelos retos é
- ,
onde é a força magnética constante da lei de Biot-Savart , é a força total em cada fio por unidade de comprimento do mais curto (o mais longo é aproximado como infinitamente longo em relação ao mais curto), é a distância entre os dois fios e , são as correntes diretas transportadas pelos fios.
Esta é uma boa aproximação se um fio for suficientemente mais longo do que o outro, de modo que possa ser aproximado como infinitamente longo, e se a distância entre os fios for pequena em comparação com seus comprimentos (de modo que a aproximação de um fio infinito se mantenha), mas grandes em comparação com seus diâmetros (de modo que também podem ser aproximados como linhas infinitamente finas). O valor de depende do sistema de unidades escolhido, e o valor de decide quão grande será a unidade de corrente. No sistema SI ,
com a constante magnética , definida em unidades SI como
Assim, no vácuo,
- a força por metro de comprimento entre dois condutores paralelos - espaçados por 1 me cada um carregando uma corrente de 1 A - é exatamente
Caso Geral
A formulação geral da força magnética para geometrias arbitrárias é baseada em integrais de linha iteradas e combina a lei de Biot-Savart e a força de Lorentz em uma equação, conforme mostrado abaixo.
- ,
Onde
- é a força magnética total sentida pelo fio 1 devido ao fio 2 (geralmente medida em newtons ),
- e são as correntes que passam pelos fios 1 e 2, respectivamente (geralmente medidas em amperes ),
- A integração de linha dupla soma a força sobre cada elemento do fio 1 devido ao campo magnético de cada elemento do fio 2,
- e são vetores infinitesimais associados ao fio 1 e ao fio 2, respectivamente (geralmente medidos em metros ); veja integral de linha para uma definição detalhada,
- O vetor é o vetor unitário que aponta do elemento diferencial no fio 2 em direção ao elemento diferencial no fio 1 e | r | é a distância que separa esses elementos,
- A multiplicação × é um produto vetorial vetorial ,
- O sinal de é relativo à orientação (por exemplo, se aponta na direção da corrente convencional , então ).
Para determinar a força entre os fios em um meio material, a constante magnética é substituída pela permeabilidade real do meio.
Para o caso de dois fios fechados separados, a lei pode ser reescrita da seguinte maneira equivalente, expandindo o produto triplo vetorial e aplicando o teorema de Stokes:
Desta forma, é imediatamente óbvio que a força no fio 1 devida ao fio 2 é igual e oposta à força no fio 2 devida ao fio 1, de acordo com a 3ª lei de Newton .
Contexto histórico
A forma da lei da força de Ampère comumente dada foi derivada por Maxwell e é uma das várias expressões consistentes com os experimentos originais de Ampère e Gauss . A componente x da força entre duas correntes lineares I e I ', conforme representado no diagrama adjacente, foi dada por Ampère em 1825 e Gauss em 1833 da seguinte forma:
Seguindo Ampère, vários cientistas, incluindo Wilhelm Weber , Rudolf Clausius , James Clerk Maxwell , Bernhard Riemann , Hermann Grassmann e Walther Ritz , desenvolveram essa expressão para encontrar uma expressão fundamental da força. Por meio da diferenciação, pode-se demonstrar que:
- .
e também a identidade:
- .
Com essas expressões, a lei da força de Ampère pode ser expressa como:
- .
Usando as identidades:
- .
e
- .
Os resultados de Ampère podem ser expressos na forma:
- .
Como Maxwell observou, termos podem ser adicionados a essa expressão, os quais são derivados de uma função Q (r) e, quando integrados, cancelam-se mutuamente. Assim, Maxwell deu "a forma mais geral consistente com os fatos experimentais" para a força em ds decorrente da ação de ds ':
- .
Q é uma função de r, de acordo com Maxwell, que "não pode ser determinada, sem suposições de algum tipo, a partir de experimentos em que a corrente ativa forma um circuito fechado". Tomando a função Q (r) com a forma:
Obtemos a expressão geral para a força exercida em ds por ds:
- .
A integração em torno de s 'elimina k e a expressão original dada por Ampère e Gauss é obtida. Assim, no que diz respeito aos experimentos originais de Ampère, o valor de k não tem significado. Ampère levou k = -1; Gauss obteve k = + 1, assim como Grassmann e Clausius, embora Clausius tenha omitido o componente S. Nas teorias de elétrons não etéreos, Weber obteve k = -1 e Riemann obteve k = + 1. Ritz deixou k indeterminado em sua teoria. Se tomarmos k = -1, obteremos a expressão de Ampère:
Se tomarmos k = + 1, obtemos
Usando a identidade vetorial para o produto cruzado triplo, podemos expressar este resultado como
Quando integrado em torno de ds ', o segundo termo é zero, e assim encontramos a forma da lei de força de Ampère dada por Maxwell:
Derivação da caixa de fio reto paralelo da fórmula geral
Comece com a fórmula geral:
- ,
Suponha que o fio 2 esteja ao longo do eixo x, e o fio 1 esteja em y = D, z = 0, paralelo ao eixo x. Seja a coordenada x do elemento diferencial do fio 1 e do fio 2, respectivamente. Em outras palavras, o elemento diferencial do fio 1 está em e o elemento diferencial do fio 2 está em . Por propriedades de integrais de linha e . Além disso,
e
Portanto, a integral é
- .
Avaliando o produto cruzado:
- .
Em seguida, integramos de a :
- .
Se o fio 1 também for infinito, a integral diverge, porque a força atrativa total entre dois fios paralelos infinitos é infinita. Na verdade, o que realmente queremos saber é a força atrativa por unidade de comprimento do fio 1. Portanto, suponha que o fio 1 tenha um comprimento grande, mas finito . Então, o vetor de força sentido pelo fio 1 é:
- .
Como esperado, a força que o fio sente é proporcional ao seu comprimento. A força por unidade de comprimento é:
- .
A direção da força é ao longo do eixo y, representando o fio 1 sendo puxado em direção ao fio 2 se as correntes forem paralelas, como esperado. A magnitude da força por unidade de comprimento concorda com a expressão mostrada acima.
Derivações notáveis da lei da força de Ampère
Ordenado cronologicamente:
- Derivação original de Ampère de 1823:
- Assis, André Koch Torres; Chaib, JPM C; Ampère, André-Marie (2015). Eletrodinâmica de Ampère: análise do significado e evolução da força de Ampère entre os elementos atuais, juntamente com uma tradução completa de sua obra-prima: Teoria dos fenômenos eletrodinâmicos, exclusivamente deduzida da experiência (PDF) . Montreal: Apeiron. ISBN 978-1-987980-03-5 .
- Derivação de Maxwell de 1873:
-
Derivação de Pierre Duhem de 1892:
-
Duhem, Pierre Maurice Marie (9 de setembro de 2018). Lei da Força de Ampère: Uma Introdução Moderna . Alan Aversa (trad.). doi : 10.13140 / RG.2.2.31100.03206 / 1 . Retirado em 3 de julho de 2019 . ( EPUB )
- tradução de: Leçons sur l'électricité et le magnétisme vol. 3, apêndice do livro 14, pp. 309-332 (em francês)
-
Duhem, Pierre Maurice Marie (9 de setembro de 2018). Lei da Força de Ampère: Uma Introdução Moderna . Alan Aversa (trad.). doi : 10.13140 / RG.2.2.31100.03206 / 1 . Retirado em 3 de julho de 2019 . ( EPUB )
-
Derivação de Alfred O'Rahilly em 1938:
- Eletromagnetic Theory: A Critical Examination of Fundamentals vol. 1, pp. 102-104 (cf. as páginas seguintes, também)
Veja também
Referências e notas
links externos
- Lei de força de Ampère Inclui gráfico animado dos vetores de força.