Lei da força de Ampère - Ampère's force law

Dois fios condutores de corrente atraem um ao outro magneticamente: O fio inferior tem corrente I 1 , que cria o campo magnético B 1 . O fio superior carrega uma corrente I 2 através do campo magnético B 1 , então (pela força de Lorentz ) o fio sofre uma força F 12 . (Não é mostrado o processo simultâneo em que o fio superior cria um campo magnético que resulta em uma força no fio inferior.)

Na magnetostática , a força de atração ou repulsão entre dois fios condutores de corrente (veja a primeira figura abaixo) é freqüentemente chamada de lei de força de Ampère . A origem física desta força é que cada fio gera um campo magnético, seguindo a lei de Biot-Savart , e o outro fio experimenta uma força magnética como consequência, seguindo a lei de força de Lorentz .

Equação

Caso especial: Dois fios paralelos retos

O exemplo mais conhecido e mais simples da lei da força de Ampère, que fundamentou (antes de 20 de maio de 2019) a definição do ampere , a unidade SI de corrente, afirma que a força magnética por unidade de comprimento entre dois condutores paralelos retos é

,

onde é a força magnética constante da lei de Biot-Savart , é a força total em cada fio por unidade de comprimento do mais curto (o mais longo é aproximado como infinitamente longo em relação ao mais curto), é a distância entre os dois fios e , são as correntes diretas transportadas pelos fios.

Esta é uma boa aproximação se um fio for suficientemente mais longo do que o outro, de modo que possa ser aproximado como infinitamente longo, e se a distância entre os fios for pequena em comparação com seus comprimentos (de modo que a aproximação de um fio infinito se mantenha), mas grandes em comparação com seus diâmetros (de modo que também podem ser aproximados como linhas infinitamente finas). O valor de depende do sistema de unidades escolhido, e o valor de decide quão grande será a unidade de corrente. No sistema SI ,

com a constante magnética , definida em unidades SI como

N / A 2 .

Assim, no vácuo,

a força por metro de comprimento entre dois condutores paralelos - espaçados por 1 me cada um carregando uma corrente de 1  A - é exatamente
N / m .

Caso Geral

A formulação geral da força magnética para geometrias arbitrárias é baseada em integrais de linha iteradas e combina a lei de Biot-Savart e a força de Lorentz em uma equação, conforme mostrado abaixo.

,

Onde

  • é a força magnética total sentida pelo fio 1 devido ao fio 2 (geralmente medida em newtons ),
  • e são as correntes que passam pelos fios 1 e 2, respectivamente (geralmente medidas em amperes ),
  • A integração de linha dupla soma a força sobre cada elemento do fio 1 devido ao campo magnético de cada elemento do fio 2,
  • e são vetores infinitesimais associados ao fio 1 e ao fio 2, respectivamente (geralmente medidos em metros ); veja integral de linha para uma definição detalhada,
  • O vetor é o vetor unitário que aponta do elemento diferencial no fio 2 em direção ao elemento diferencial no fio 1 e | r | é a distância que separa esses elementos,
  • A multiplicação × é um produto vetorial vetorial ,
  • O sinal de é relativo à orientação (por exemplo, se aponta na direção da corrente convencional , então ).

Para determinar a força entre os fios em um meio material, a constante magnética é substituída pela permeabilidade real do meio.

Para o caso de dois fios fechados separados, a lei pode ser reescrita da seguinte maneira equivalente, expandindo o produto triplo vetorial e aplicando o teorema de Stokes:

Desta forma, é imediatamente óbvio que a força no fio 1 devida ao fio 2 é igual e oposta à força no fio 2 devida ao fio 1, de acordo com a 3ª lei de Newton .

Contexto histórico

Diagrama do experimento Ampere original

A forma da lei da força de Ampère comumente dada foi derivada por Maxwell e é uma das várias expressões consistentes com os experimentos originais de Ampère e Gauss . A componente x da força entre duas correntes lineares I e I ', conforme representado no diagrama adjacente, foi dada por Ampère em 1825 e Gauss em 1833 da seguinte forma:

Seguindo Ampère, vários cientistas, incluindo Wilhelm Weber , Rudolf Clausius , James Clerk Maxwell , Bernhard Riemann , Hermann Grassmann e Walther Ritz , desenvolveram essa expressão para encontrar uma expressão fundamental da força. Por meio da diferenciação, pode-se demonstrar que:

.

e também a identidade:

.

Com essas expressões, a lei da força de Ampère pode ser expressa como:

.

Usando as identidades:

.

e

.

Os resultados de Ampère podem ser expressos na forma:

.

Como Maxwell observou, termos podem ser adicionados a essa expressão, os quais são derivados de uma função Q (r) e, quando integrados, cancelam-se mutuamente. Assim, Maxwell deu "a forma mais geral consistente com os fatos experimentais" para a força em ds decorrente da ação de ds ':

.

Q é uma função de r, de acordo com Maxwell, que "não pode ser determinada, sem suposições de algum tipo, a partir de experimentos em que a corrente ativa forma um circuito fechado". Tomando a função Q (r) com a forma:

Obtemos a expressão geral para a força exercida em ds por ds:

.

A integração em torno de s 'elimina k e a expressão original dada por Ampère e Gauss é obtida. Assim, no que diz respeito aos experimentos originais de Ampère, o valor de k não tem significado. Ampère levou k = -1; Gauss obteve k = + 1, assim como Grassmann e Clausius, embora Clausius tenha omitido o componente S. Nas teorias de elétrons não etéreos, Weber obteve k = -1 e Riemann obteve k = + 1. Ritz deixou k indeterminado em sua teoria. Se tomarmos k = -1, obteremos a expressão de Ampère:

Se tomarmos k = + 1, obtemos

Usando a identidade vetorial para o produto cruzado triplo, podemos expressar este resultado como

Quando integrado em torno de ds ', o segundo termo é zero, e assim encontramos a forma da lei de força de Ampère dada por Maxwell:

Derivação da caixa de fio reto paralelo da fórmula geral

Comece com a fórmula geral:

,

Suponha que o fio 2 esteja ao longo do eixo x, e o fio 1 esteja em y = D, z = 0, paralelo ao eixo x. Seja a coordenada x do elemento diferencial do fio 1 e do fio 2, respectivamente. Em outras palavras, o elemento diferencial do fio 1 está em e o elemento diferencial do fio 2 está em . Por propriedades de integrais de linha e . Além disso,

e

Portanto, a integral é

.

Avaliando o produto cruzado:

.

Em seguida, integramos de a :

.

Se o fio 1 também for infinito, a integral diverge, porque a força atrativa total entre dois fios paralelos infinitos é infinita. Na verdade, o que realmente queremos saber é a força atrativa por unidade de comprimento do fio 1. Portanto, suponha que o fio 1 tenha um comprimento grande, mas finito . Então, o vetor de força sentido pelo fio 1 é:

.

Como esperado, a força que o fio sente é proporcional ao seu comprimento. A força por unidade de comprimento é:

.

A direção da força é ao longo do eixo y, representando o fio 1 sendo puxado em direção ao fio 2 se as correntes forem paralelas, como esperado. A magnitude da força por unidade de comprimento concorda com a expressão mostrada acima.

Derivações notáveis ​​da lei da força de Ampère

Ordenado cronologicamente:

Veja também

Referências e notas

links externos