Conjunto amorfo - Amorphous set

Na teoria dos conjuntos , um conjunto amorfo é um conjunto infinito que não é a união disjunta de dois subconjuntos infinitos .

Existência

Conjuntos amorfos não podem existir se o axioma da escolha for assumido. Fraenkel construiu um modelo de permutação de Zermelo – Fraenkel com átomos no qual o conjunto de átomos é um conjunto amorfo. Após o trabalho inicial de Cohen sobre forçar em 1963, foram obtidas provas da consistência de conjuntos amorfos com Zermelo-Fraenkel .

Propriedades adicionais

Todo conjunto amorfo é Dedekind-finito , o que significa que não tem bijeção para um subconjunto adequado de si mesmo. Para ver isso, suponha que seja um conjunto que possui uma bijeção para um subconjunto adequado. Para cada número natural, defina ser o conjunto de elementos que pertencem à imagem da composição de dobras de f consigo mesmo, mas não à imagem da composição de dobras. Então cada um é não vazio, então a união dos conjuntos com índices pares seria um conjunto infinito cujo complemento em também é infinito, mostrando que não pode ser amorfo. No entanto, o inverso não é necessariamente verdadeiro: é consistente que existam conjuntos infinitos de Dedekind-finitos que não são amorfos. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle i \ geq 0}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle (i + 1)}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Nenhum conjunto amorfo pode ser ordenado linearmente . Como a imagem de um conjunto amorfo é ela própria amorfa ou finita, segue-se que toda função de um conjunto amorfo a um conjunto ordenado linearmente tem apenas uma imagem finita.

O filtro de cofinito em um conjunto amorfo é um ultrafiltro . Isso ocorre porque o complemento de cada subconjunto infinito não deve ser infinito, então cada subconjunto é finito ou cofinito.

Variações

Se for uma partição de um conjunto amorfo em subconjuntos finitos, então deve haver exatamente um inteiro tal que tenha infinitos subconjuntos de tamanho ; pois, se cada tamanho fosse usado finitamente muitas vezes, ou se mais de um tamanho fosse usado infinitamente muitas vezes, essa informação poderia ser usada para tornar a partição mais grosseira e dividir em dois subconjuntos infinitos. Se um conjunto amorfo tem a propriedade adicional de que, para cada partição , então é denominado estritamente amorfo ou fortemente amorfo , e se existe um limite superior finito em, então o conjunto é denominado amorfo limitado . É consistente com ZF que conjuntos amorfos existem e são todos limitados, ou que eles existem e são todos ilimitados. ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle n (\ Pi)}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle n (\ Pi) = 1}$${\ displaystyle n (\ Pi)}$

Referências