Número inteiro algébrico - Algebraic integer

Na teoria algébrica dos números , um inteiro algébrico é um número complexo que é integral sobre os inteiros. Ou seja, um inteiro algébrico é uma raiz complexa de algum polinômio mônico (um polinômio cujo coeficiente líder é 1) cujos coeficientes são inteiros. O conjunto de todos os inteiros algébricos é fechado sob adição, subtração e multiplicação e, portanto, é um subanel comutativo dos números complexos.

O anel de números inteiros de um campo de número K , denotado por S K , é a intersecção de K e A : ele pode também ser caracterizada como a mima ordem do campo K . Cada inteiro algébrico pertence ao anel de inteiros de algum campo numérico. Um número α é um inteiro algébrico se e somente se o anel [ α ] for finitamente gerado como um grupo Abeliano , ou seja, como um -módulo .

Definições

A seguir estão as definições equivalentes de um inteiro algébrico. Deixe- K ser um campo de número (isto é, uma extensão finita da , o conjunto de números racionais ), em outras palavras, K = ( θ ) para algum número algébrica θ pelo elemento teorema primitivo .

  • αK é um inteiro algébrico se existe um polinômio mônico f ( x ) ∈ [ x ] tal que f ( α ) = 0 .
  • αK é um inteiro algébrico se o polinômio mônico mínimo de α overestiver em [ x ] .
  • αK é um inteiro algébrico se [ α ] é um-módulofinitamente gerado.
  • ctK é um número inteiro algébrica se existe uma quantidade finita de zero não gerado-submodule H tal que αMM .

Os inteiros algébricos são um caso especial de elementos integrais de uma extensão de anel. Em particular, um inteiro algébrico é um elemento integral de uma extensão finita K / .

Exemplos

  • Os únicos inteiros algébricos encontrados no conjunto de números racionais são os inteiros. Em outras palavras, a interseção de e A é exatamente . O número racional uma/bnão é um número inteiro algébrico, a menos que b divida a . Observe que o coeficiente líder do polinômio bx - a é o inteiro b . Como outro caso especial, a raiz quadrada de um inteiro não negativo n é um inteiro algébrico, mas é irracional, a menos que n seja um quadrado perfeito .
  • Se d for um número inteiro livre de quadrados , a extensão ) é um campo quadrático de números racionais. O anel de inteiros algébricos O K contém, visto que esta é uma raiz do polinômio mônico x 2 - d . Além disso, se d ≡ 1 mod 4 , então o elemento também é um inteiro algébrico. Ele satisfaz o polinômio x 2 - x +1/4(1 - d ) onde o termo constante 1/4(1 - d ) é um número inteiro. O anel completo de inteiros é gerado por ou respectivamente. Veja inteiros quadráticos para mais.
  • O anel de inteiros do campo F = [ α ] , α = 3m , tem a seguinte base integral , escrevendo m = hk 2 para dois inteiros de coprimos livres de quadrados h e k :
  • Se ζ n é uma n- ésima raiz primitiva da unidade , então o anel de inteiros do campo ciclotômico ( ζ n ) é precisamente [ ζ n ] .
  • Se α é um inteiro algébrico, então β = nα é outro inteiro algébrico. Um polinômio para β é obtido substituindo x n no polinômio por α .

Não exemplar

  • Se P ( x ) é um polinómio primitivo que tem inteiro coeficientes mas não é mônico, e P é irredutível sobre , em seguida, nenhuma das raízes de P são inteiros algébricas (mas são números algébricos ). Aqui, primitivo é usado no sentido de que o fator comum mais alto do conjunto de coeficientes de P é 1; isso é mais fraco do que exigir que os coeficientes sejam relativamente primos aos pares.

Fatos

  • A soma, diferença e produto de dois inteiros algébricos é um inteiro algébrico. Em geral, seu quociente não é. O polinômio mônico envolvido é geralmente de grau mais alto do que aqueles dos inteiros algébricos originais e pode ser encontrado tomando as resultantes e fatorando. Por exemplo, se x 2 - x - 1 = 0 , y 3 - y - 1 = 0 e z = xy , em seguida, eliminando x e y de z - xy = 0 e os polinómios satisfeitas por x e y , utilizando o produto resultante dá z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0 , que é irredutível, e é a equação mônica satisfeita pelo produto. (Para ver que xy é a raiz do x -resultante de z - xy e x 2 - x - 1 , pode-se usar o fato de que a resultante está contida no ideal gerado por seus dois polinômios de entrada.)
  • Qualquer número construtível a partir dos inteiros com raízes, adição e multiplicação é, portanto, um inteiro algébrico; mas nem todos os inteiros algébricos são tão construtíveis: em um sentido ingênuo, a maioria das raízes de quínticas irredutíveis não o são. Este é o teorema de Abel-Ruffini .
  • Cada raiz de um polinômio mônico cujos coeficientes são inteiros algébricos é ela mesma um inteiro algébrico. Em outras palavras, os inteiros algébricos formam um anel que é integralmente fechado em qualquer de suas extensões.
  • O anel de inteiros algébricos é um domínio de Bézout , como conseqüência do teorema ideal principal .
  • Se o polinômio mônico associado a um inteiro algébrico tem termo constante 1 ou -1, então o recíproco desse inteiro algébrico também é um inteiro algébrico e é uma unidade , um elemento do grupo de unidades do anel de inteiros algébricos.

Veja também

Referências

  1. ^ Marcus, Daniel A. (1977). Campos numéricos (3ª ed.). Berlim, Nova York: Springer-Verlag . CH. 2, pág. 38 e ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.