Invariante adiabático - Adiabatic invariant

Uma propriedade de um sistema físico , como a entropia de um gás, que permanece aproximadamente constante quando as mudanças ocorrem lentamente, é chamada de invariante adiabático . Com isso, significa-se que se um sistema é variado entre dois pontos finais, à medida que o tempo para a variação entre os pontos finais é aumentado para infinito, a variação de um invariante adiabático entre os dois pontos finais vai para zero.

Em termodinâmica , um processo adiabático é uma mudança que ocorre sem fluxo de calor; pode ser lento ou rápido. Um processo adiabático reversível é um processo adiabático que ocorre lentamente em comparação com o tempo para atingir o equilíbrio. Em um processo adiabático reversível, o sistema está em equilíbrio em todos os estágios e a entropia é constante. Na primeira metade do século 20, os cientistas que trabalharam na física quântica usaram o termo "adiabático" para processos adiabáticos reversíveis e, posteriormente, para quaisquer condições de mudança gradual que permitam ao sistema adaptar sua configuração. A definição da mecânica quântica está mais próxima do conceito termodinâmico de um processo quasistático , e não tem relação direta com os processos adiabáticos na termodinâmica.

Em mecânica , uma mudança adiabática é uma deformação lenta do hamiltoniano , onde a taxa fracionária de mudança da energia é muito mais lenta do que a frequência orbital. A área delimitada pelos diferentes movimentos no espaço de fase são os invariantes adiabáticos .

Na mecânica quântica , uma mudança adiabática é aquela que ocorre a uma taxa muito mais lenta do que a diferença na frequência entre estados próprios de energia. Nesse caso, os estados de energia do sistema não fazem transições, de forma que o número quântico é um invariante adiabático.

A velha teoria quântica foi formulada igualando o número quântico de um sistema com seu invariante adiabático clássico. Isso determinou a forma da regra de quantização de Bohr-Sommerfeld : o número quântico é a área no espaço de fase da órbita clássica.

Termodinâmica

Em termodinâmica, mudanças adiabáticas são aquelas que não aumentam a entropia. Eles ocorrem lentamente em comparação com as outras escalas de tempo características do sistema de interesse e permitem o fluxo de calor apenas entre objetos na mesma temperatura. Para sistemas isolados, uma mudança adiabática permite que nenhum calor entre ou saia.

Expansão adiabática de um gás ideal

Se um recipiente com um gás ideal é expandido instantaneamente, a temperatura do gás não muda em nada, porque nenhuma das moléculas desacelera. As moléculas mantêm sua energia cinética, mas agora o gás ocupa um volume maior. Se o recipiente se expande lentamente, no entanto, de forma que a lei da pressão do gás ideal se mantenha a qualquer momento, as moléculas do gás perdem energia na taxa em que trabalham na parede em expansão. A quantidade de trabalho que eles fazem é a pressão vezes a área da parede vezes o deslocamento para fora, que é a pressão vezes a mudança no volume do gás:

Se nenhum calor entrar no gás, a energia nas moléculas do gás está diminuindo na mesma quantidade. Por definição, um gás é ideal quando sua temperatura é apenas uma função da energia interna por partícula, não do volume. Então

Onde está o calor específico em volume constante. Quando a mudança na energia é inteiramente devido ao trabalho feito na parede, a mudança na temperatura é dada por:

Isso dá uma relação diferencial entre as mudanças na temperatura e no volume, que podem ser integrados para encontrar o invariante. A constante é apenas um fator de conversão de unidade , que pode ser igual a um:

Então

é um invariante adiabático, que está relacionado com a entropia

Portanto, a entropia é um invariante adiabático. O termo N  log ( N ) torna a entropia aditiva, então a entropia de dois volumes de gás é a soma das entropias de cada um.

Numa interpretação molecular, S é o logaritmo do volume do espaço de fase de todos os estados de gás com energia E ( t ) e o volume V .

Para um gás ideal monoatômico, isso pode ser facilmente visto anotando a energia,

Os diferentes movimentos internos do gás com energia total E definem uma esfera, a superfície de uma esfera 3 N- dimensional com raio . O volume da esfera é

,

onde está a função Gamma .

Uma vez que cada molécula de gás pode estar em qualquer lugar dentro do volume V , o volume no espaço de fase ocupado pelos estados de gás com energia E é

.

Uma vez que as moléculas de gás N são indistinguíveis, o volume do espaço de fase é dividido pelo número de permutações de moléculas N.

Usando a aproximação de Stirling para a função gama e ignorando os fatores que desaparecem no logaritmo após tomar N grande,

Como o calor específico de um gás monoatômico é 3/2, isso é igual à fórmula termodinâmica para a entropia.

Lei de Wien - expansão adiabática de uma caixa de luz

Para uma caixa de radiação, ignorando a mecânica quântica, a energia de um campo clássico em equilíbrio térmico é infinita , pois a equipartição exige que cada modo de campo tenha em média uma energia igual e haja infinitos modos. Isso é fisicamente ridículo, pois significa que toda a energia vaza em ondas eletromagnéticas de alta frequência ao longo do tempo.

Ainda assim, sem a mecânica quântica, há algumas coisas que podem ser ditas sobre a distribuição de equilíbrio apenas da termodinâmica, porque ainda há uma noção de invariância adiabática que relaciona caixas de tamanhos diferentes.

Quando uma caixa é expandida lentamente, a frequência da luz recuando da parede pode ser calculada a partir do deslocamento Doppler . Se a parede não se move, a luz recua na mesma frequência. Se a parede está se movendo lentamente, a frequência de recuo é igual apenas no quadro onde a parede está estacionária. No quadro em que a parede está se afastando da luz, a luz que entra é mais azul do que a luz que sai por duas vezes o fator de deslocamento Doppler v / c .

Por outro lado, a energia da luz também diminui quando a parede está se afastando, porque a luz está atuando na parede por pressão de radiação. Como a luz é refletida, a pressão é igual a duas vezes o momento transportado pela luz, que é E / c . A taxa na qual a pressão funciona na parede é encontrada multiplicando pela velocidade:

Isso significa que a mudança na frequência da luz é igual ao trabalho realizado na parede pela pressão da radiação. A luz que é refletida é alterada tanto em frequência quanto em energia na mesma quantidade:

Visto que mover a parede lentamente deve manter uma distribuição térmica fixa, a probabilidade de que a luz tenha energia E na frequência f deve ser apenas uma função de E / f .

Essa função não pode ser determinada apenas pelo raciocínio termodinâmico, e Wien adivinhou a forma que era válida em alta frequência. Ele supôs que a energia média nos modos de alta frequência era suprimida por um fator do tipo Boltzmann. Esta não é a energia clássica esperada no modo, que é por equipartição, mas uma suposição nova e injustificada que se ajusta aos dados de alta frequência.

Quando o valor esperado é adicionado a todos os modos em uma cavidade, esta é a distribuição de Wien e descreve a distribuição termodinâmica de energia em um gás clássico de fótons. A Lei de Wien implicitamente assume que a luz é estatisticamente composta de pacotes que mudam energia e frequência da mesma maneira. A entropia de um gás de Wien varia conforme o volume à potência N , onde N é o número de pacotes. Isso levou Einstein a sugerir que a luz é composta de partículas localizáveis ​​com energia proporcional à frequência. Então, a entropia do gás de Wien pode receber uma interpretação estatística como o número de posições possíveis em que os fótons podem estar.

Mecânica clássica - variáveis ​​de ação

Pêndulo Forçado
Pêndulo com vibração extra pequena onde e

Suponha que um hamiltoniano esteja variando lentamente no tempo, por exemplo, um oscilador harmônico unidimensional com uma frequência variável.

A ação J de uma órbita clássica é a área delimitada pela órbita no espaço de fase.

Como J é uma integral durante um período completo, é apenas uma função da energia. Quando o hamiltoniano é constante no tempo e J é constante no tempo, a variável canonicamente conjugada aumenta no tempo a uma taxa constante.

Assim, a constante pode ser usado para os derivados de tempo mudança ao longo da órbita para derivados parciais em relação à a constante J . Diferenciar a integral de J em relação a J dá uma identidade que corrige

O integrando é o colchete de Poisson de x e p . O colchete de Poisson de duas quantidades conjugadas canonicamente como x e p é igual a 1 em qualquer sistema de coordenadas canônico. Então

e é o período inverso. A variável aumenta em igual quantidade em cada período para todos os valores de J - é uma variável angular.

Invariância adiabática de J

O hamiltoniano é uma função de J apenas, e no caso simples do oscilador harmônico.

Quando H não tem dependência do tempo, J é constante. Quando H está variando lentamente no tempo, a taxa de mudança de J pode ser calculada reexpressando a integral para J

A derivada de tempo desta quantidade é

Substituir derivadas de tempo por derivadas teta, usando e definindo sem perda de generalidade ( sendo uma constante multiplicativa global na derivada de tempo resultante da ação), resulta

Então, enquanto as coordenadas J , não mudam sensivelmente ao fim de um período, esta expressão pode ser integrado por partes para dar zero. Isso significa que, para variações lentas, não há mudança de ordem mais baixa na área delimitada pela órbita. Este é o teorema da invariância adiabática - as variáveis ​​de ação são invariantes adiabáticos.

Para um oscilador harmônico, a área no espaço de fase de uma órbita na energia E é a área da elipse de energia constante,

O raio x desta elipse é , enquanto o raio p da elipse é . Multiplicando, a área é . Então, se um pêndulo é puxado lentamente para dentro, de modo que a frequência mude, a energia muda em uma quantidade proporcional.

Velha teoria quântica

Depois que Planck identificou que a lei de Wien pode ser estendida a todas as frequências, mesmo as muito baixas, interpolando com a lei de equipartição clássica para radiação, os físicos queriam entender o comportamento quântico de outros sistemas.

A lei de radiação de Planck quantizou o movimento dos osciladores de campo em unidades de energia proporcionais à frequência:

O quantum só pode depender da energia / frequência por invariância adiabática, e como a energia deve ser aditiva ao colocar as caixas ponta a ponta, os níveis devem ser igualmente espaçados.

Einstein, seguido por Debye, estendeu o domínio da mecânica quântica ao considerar os modos de som em um sólido como osciladores quantizados . Este modelo explica porque o calor específico dos sólidos se aproxima de zero em baixas temperaturas, ao invés de permanecer fixo como previsto pela equipartição clássica .

Na conferência Solvay , a questão de quantizar outros movimentos foi levantada, e Lorentz apontou um problema, conhecido como pêndulo de Rayleigh-Lorentz . Se você considerar um pêndulo quântico cuja corda é encurtada muito lentamente, o número quântico do pêndulo não pode mudar porque em nenhum ponto existe uma frequência alta o suficiente para causar uma transição entre os estados. Mas a frequência do pêndulo muda quando a corda é mais curta, então os estados quânticos mudam de energia.

Einstein respondeu que, para puxar lentamente, a frequência e a energia do pêndulo mudam, mas a proporção permanece fixa. Isso é análogo à observação de Wien de que, sob o movimento lento da parede, a relação energia / frequência das ondas refletidas é constante. A conclusão foi que as quantidades a serem quantizadas devem ser invariantes adiabáticos.

Essa linha de argumentação foi estendida por Sommerfeld em uma teoria geral: o número quântico de um sistema mecânico arbitrário é dado pela variável de ação adiabática. Uma vez que a variável de ação no oscilador harmônico é um número inteiro, a condição geral é:

Essa condição foi a base da velha teoria quântica , que era capaz de prever o comportamento qualitativo dos sistemas atômicos. A teoria é inexata para pequenos números quânticos, pois mistura conceitos clássicos e quânticos. Mas foi um passo útil a meio caminho para a nova teoria quântica .

Física do plasma

Na física do plasma, existem três invariantes adiabáticos do movimento das partículas carregadas.

O primeiro invariante adiabático, μ

O momento magnético de uma partícula giratória,

é uma constante do movimento para todas as ordens em uma expansão em , onde é a taxa de quaisquer mudanças experimentadas pela partícula, por exemplo, devido a colisões ou devido a variações temporais ou espaciais no campo magnético. Conseqüentemente, o momento magnético permanece quase constante, mesmo para mudanças em taxas que se aproximam da girofrequência. Quando μ é constante, a energia da partícula perpendicular é proporcional a B , então as partículas podem ser aquecidas aumentando B , mas este é um negócio de 'um tiro' porque o campo não pode ser aumentado indefinidamente. Ele encontra aplicações em espelhos magnéticos e garrafas magnéticas .

Existem algumas situações importantes em que o momento magnético não é invariante:

  • Bombeamento magnético: Se a frequência de colisão for maior do que a frequência da bomba, μ não é mais conservado. Em particular, as colisões permitem o aquecimento líquido ao transferir parte da energia perpendicular para a energia paralela.
  • Aquecimento do ciclotron: Se B é oscilado na frequência do ciclotron, a condição para invariância adiabática é violada e o aquecimento é possível. Em particular, o campo elétrico induzido gira em fase com algumas das partículas e as acelera continuamente.
  • Cúspides magnéticas: o campo magnético no centro de uma cúspide desaparece, então a frequência do cíclotron é automaticamente menor do que a taxa de qualquer alteração. Assim, o momento magnético não é conservado e as partículas são espalhadas com relativa facilidade no cone de perda .

O segundo invariante adiabático, J

O invariante longitudinal de uma partícula presa em um espelho magnético ,

onde a integral está entre os dois pontos de inflexão, também é um invariante adiabático. Isso garante, por exemplo, que uma partícula da magnetosfera em movimento ao redor da Terra sempre retorne à mesma linha de força. A condição adiabática é violada no bombeamento magnético de tempo de trânsito , onde o comprimento de um espelho magnético oscila na frequência de salto, resultando em aquecimento líquido.

O terceiro invariante adiabático,

O fluxo magnético total envolvido por uma superfície de deriva é o terceiro invariante adiabático, associado ao movimento periódico de partículas aprisionadas em espelhos à deriva em torno do eixo do sistema. Como esse movimento de deriva é relativamente lento, muitas vezes não é conservado em aplicações práticas.

Referências

  1. ^ Anosov, DV; Favorskii, AP (1988). "Invariante adiabático" . Em Hazewinkel, Michiel (ed.). Enciclopédia de Matemática . 1 (AB). Reidel, Dordrecht. pp. 43–44.
  • Yourgrau, Wolfgang; Stanley Mandelstam (1979). Princípios Variacionais em Dinâmica e Teoria Quântica . Nova York: Dover. ISBN   978-0-486-63773-0 . §10
  • Pauli, Wolfgang (1973). Charles P. Enz (ed.). Pauli Lectures on Physics . 4 . Cambridge, Mass: MIT Press. ISBN   978-0-262-66035-8 . pp. 85-89

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