teoria acústica - Acoustic theory


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Teoria acústica é um campo científico que se relaciona com a descrição de ondas sonoras . Ela deriva da dinâmica de fluidos . Veja acústica para a engenharia abordagem.

A propagação de ondas sonoras num fluido (tal como água) pode ser modelado por uma equação de continuidade (conservação de massa ) e uma equação de movimento (conservação de impulso ). Com algumas simplificações, em particular, densidade constante, que pode ser dada como se segue:

onde representa a pressão acústica e representa a velocidade de fluxo do vetor, é o vector das coordenadas espaciais , é o tempo, é a densidade de massa estática do meio e é o módulo de volume do meio. O módulo de volume pode ser expressa em termos da densidade e da velocidade do som no meio ( ) quanto

Se o campo de velocidade de fluxo é irrotacional , , em seguida, a equação de onda acústica é uma combinação destes dois conjuntos de equações de balanço e pode ser expresso como

onde usamos o Laplacian vector , . A equação de onda acústica (e as equações de equilíbrio de massa e de impulso) são muitas vezes expressa em termos de um potencial escalar onde . Nesse caso, a equação de onda acústica é escrito como

eo saldo impulso e balanço de massa são expressos como

Derivação das equações que regem

As derivações das equações acima para ondas num meio acústico são dadas abaixo.

Conservação do momento

As equações para a conservação do momento linear para um meio fluido são

onde representa a força de corpo por unidade de massa, é a pressão, e é o estresse deviatoric . Se é o estresse Cauchy , em seguida,

onde é o tensor identidade rank-2.

Nós fazemos várias hipóteses para derivar a equação do balanço impulso para um meio acústico. Estes pressupostos e as formas resultantes das equações de impulso são descritos abaixo.

Hipótese 1: fluido newtoniano

Em acústica, o meio fluido é assumido como sendo newtoniano . Para um fluido newtoniano, o tensor deviatoric está relacionada com a velocidade de escoamento por

onde representa a cisalhamento viscosidade e é a viscosidade a granel .

Portanto, a divergência do é dado pela

Usando a identidade , temos

As equações para a conservação do momento pode então ser escrito como

Hipótese 2: fluxo irrotacional

Para a maioria dos problemas de acústica assumimos que o fluxo é irrotacional, ou seja, a vorticidade é zero. Nesse caso

ea equação dinâmica reduz a

Assunção 3: Não há forças de corpo

Outra hipótese é que frequentemente fez efeito de forças do corpo do meio fluido é negligenciável. A equação de momentum, em seguida, simplifica ainda mais a

Assunção 4: Não há forças viscosas

Além disso, se assumirmos que não existem forças viscosas no meio (a granel e viscosidades de cisalhamento são zero), a equação de movimento toma a forma

Premissa 5: Pequenas perturbações

Uma suposição simplificação importante para ondas acústicas é que a amplitude da perturbação das quantidades de campo é pequena. Esta hipótese conduz à equação da onda acústica sinal linear ou pequeno. Então, podemos expressar as variáveis como a soma da (tempo médio) campo (média ) que varia no espaço e um pequeno campo flutuante ( ) que varia no espaço e no tempo. Isso é

e

Então a equação de momentum pode ser expressa como

Desde as flutuações são considerados pequenos, produtos dos termos de flutuação pode ser negligenciada (a primeira ordem) e temos

Assunção 6: meio homogêneo

Em seguida, assumir que o meio é homogênea; no sentido em que a mia do tempo variáveis e ter zero gradientes, ou seja,

A equação dinâmica torna-se então

Assunção 7: Médio em repouso

Nesta fase, assume-se que a forma está em repouso, o que implica que a velocidade média de fluxo é zero, isto é, . Em seguida, o equilíbrio do momentum reduz a

Soltando as tiles e usando , obtemos a forma comumente usado da equação impulso acústico

Conservação de massa

A equação para a conservação da massa em um volume de líquido (sem quaisquer fontes de massa ou dissipadores) é dada pela

onde representa a densidade de massa do fluido e é a velocidade do fluxo.

A equação para a conservação da massa para uma forma acústico também podem ser derivados de um modo semelhante ao utilizado para a conservação do momento.

Hipótese 1: Pequenas perturbações

Do pressuposto de pequenas perturbações temos

e

Então a equação de balanço de massa pode ser escrita como

Se negligenciarmos maior do que termos de primeira ordem nas flutuações, a equação de balanço de massa torna-se

Hipótese 2: meio homogêneo

Em seguida, assumir que o meio é homogêneo, ou seja,

Então a equação de balanço de massa tem a forma

Assunção 3: Médio em repouso

Nesta fase, nós assumimos que o meio está em repouso, ou seja, . Então a equação de balanço de massa pode ser expressa como

Assunção 4: Gás Ideal, adiabático, reversível

Para fechar o sistema de equações que precisamos de uma equação de estado para a pressão. Para fazer isso, assumimos que o médium é um gás ideal e todas as ondas acústicas comprimir o meio em um adiabática e reversível forma. A equação de estado pode então ser expresso sob a forma da equação diferencial:

onde é o calor específico a pressão constante, é o calor específico a volume constante, e é a velocidade da onda. O valor de é de 1,4, se a forma acústica é ar.

Para pequenas perturbações

onde é a velocidade do som no meio.

Assim sendo,

O saldo de massa pode então ser escrito como

Deixando cair os tis e definindo nos dá a expressão vulgarmente utilizados para o equilíbrio de massa num meio acústico:

Equações governantes em coordenadas cilíndricas

Se usarmos um sistema de coordenadas cilíndricas com vectores de base , em seguida, o gradiente de e a divergência do são dadas pela

onde a velocidade de fluxo foi expressa como .

As equações para a conservação do momento pode então ser escrito como

Em termos de componentes, estes três equações para a conservação do momento em coordenadas cilíndricas são

A equação para a conservação da massa pode igualmente ser escrito em coordenadas cilíndricas quanto

Tempo harmónica equações acústicos em coordenadas cilíndricas

As equações acústicos para a conservação da quantidade de movimento e da conservação de massa são frequentemente expressos em tempo harmónica forma (pelo fixo frequência ). Nesse caso, as pressões e a velocidade de fluxo estão a ser assumida tempo funções harmónicas de forma

onde representa a frequência. Substituição dessas expressões nas equações que regem em coordenadas cilíndricas nos dá a forma freqüência fixa da conservação do momento

e a forma de frequência fixa da conservação de massa

Caso especial: No z-dependência

No caso especial em que as quantidades de campo são independentes da coordenada z podemos eliminar chegar

Partindo do princípio de que a solução desta equação pode ser escrita como

podemos escrever a equação diferencial parcial como

O lado esquerdo não é uma função da enquanto o lado direito não é uma função de . Conseqüentemente,

onde é uma constante. Usando a substituição

temos

A equação do lado esquerdo é a equação de Bessel , que tem a solução geral

onde é cilíndrica função Bessel da primeira espécie e são constantes indeterminadas. A equação da direita tem a solução geral

onde são constantes indeterminadas. Em seguida, a solução da equação de onda acústica é

Condições de contorno são necessários nesta fase para determinar e as outras constantes indeterminadas.

Referências

Veja também