2 × 2 matrizes reais - 2 × 2 real matrices

Em matemática , o álgebra associativo de 2 × 2 reais matrizes é denotado por M (2,  R ). Duas matrizes p e q em M (2,  R ) têm uma soma p  +  q dada pela adição de matriz . A matriz de produto p q é formada a partir do produto escalar das linhas e colunas de seus fatores por meio da multiplicação da matriz . Pra

${\ displaystyle q = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}},}$

deixei

${\ displaystyle q ^ {*} = {\ begin {pmatrix} d & -b \\ - c & a \ end {pmatrix}}.}$

Então q q ^* = q ^*   q = ( ad - bc ) I , onde I é a 2 × 2 matriz identidade. O número real ad  -  bc é chamado de determinante de q . Quando ad  -  bc  ≠ 0, q é uma matriz invertível , e então

${\ displaystyle q ^ {- 1} = {\ frac {q ^ {*}} {ad-bc}}.}$

A coleção de todas essas matrizes invertíveis constitui o grupo linear geral GL (2,  R ). Em termos de álgebra abstrata , M (2,  R ) com as operações de adição e multiplicação associadas formam um anel , e GL (2,  R ) é seu grupo de unidades . M (2,  R ) também é um espaço vetorial quadridimensional , por isso é considerado uma álgebra associativa .

Os 2 × 2 matrizes reais estão em um-um correspondência com os mapeamentos lineares do bidimensional sistema de coordenadas cartesianas em si mesmo pela regra

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} \ mapsto {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end { pmatriz}} = {\ begin {pmatrix} ax + por \\ cx + dy \ end {pmatrix}}.}$

A próxima seção exibe M (2, R ) é uma união de seções transversais planas que incluem uma linha real. M (2, R ) é isomórfico de anel a quatérnios divididos , onde há uma união semelhante, mas com conjuntos de índices que são hiperbolóides.

São caracterizadas as matrizes que preservam área quando aplicadas ao plano. Então, a raiz quadrada e a função logaritmo são consideradas em M (2, R). Existe um tipo de número complexo associado a cada elemento do anel. O uso das matrizes para fornecer transformações projetivas da linha projetiva real é descrito.

Perfil

Dentro de M (2,  R ), os múltiplos por números reais da matriz identidade I podem ser considerados uma linha real . Esta linha real é o lugar onde todos os subanéis comutativos se encontram:

Seja P _m  = { x I  +  ym  :  x ,  y  ∈  R } onde m ²  ∈ {- I , 0,  I  }. Então P _m é um subanel comutativo e M (2,  R ) = ⋃ P _m   onde a união é sobre todo m tal que m ²  ∈ {- I , 0,  I  }.

Para identificar tal m , primeiro eleve ao quadrado a matriz genérica:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} aa + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + dd \ end {pmatrix}}.}$

Quando a + d = 0, este quadrado é uma matriz diagonal .

Assim, assume-se d  = - a quando se procura m para formar subanéis comutativos. Quando mm  = - I , então bc  = −1 -  aa , uma equação que descreve um parabolóide hiperbólico no espaço de parâmetros ( a ,  b ,  c ). Esse m serve como uma unidade imaginária . Nesse caso, P _m é isomórfico ao campo de números complexos (comuns) .

Quando mm  = + I , m é uma matriz involutória . Então bc  = +1 -  aa , também dando um parabolóide hiperbólico. Se uma matriz é uma matriz idempotente , ela deve estar em tal P _m e, neste caso, P _m é isomórfica ao anel de números complexos divididos .

O caso de uma matriz nilpotente , mm  = 0, surge quando apenas um de b ou c é diferente de zero, e o subanel comutativo P _m é então uma cópia do plano de número dual .

Quando M (2,  R ) é reconfigurado com uma mudança de base , esse perfil muda para o perfil de quatérnios divididos, onde os conjuntos de raízes quadradas de I e - I assumem uma forma simétrica como hiperbolóides .

Mapeamento equiareal

Primeiro transforme um vetor diferencial em outro:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} du \\ dv \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} p & r \\ q & s \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} dx \\ dy \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} p \, dx + r \, dy \\ q \, dx + s \, dy \ end {pmatrix}}.}$

As áreas são medidas com densidade , uma forma 2 diferencial que envolve o uso de álgebra externa . A densidade transformada é ${\ displaystyle dx \ wedge dy}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} du \ wedge dv & = 0 + ps \ dx \ wedge dy + qr \ dy \ wedge dx + 0 \\ & = (ps-qr) \ dx \ wedge dy \\ & = \ det (g) \ dx \ wedge dy. \ end {alinhado}}}$

Assim, os mapeamentos equiáricos são identificados com SL (2, R)  = { g  ∈ M (2, R): det ( g ) = 1}, o grupo linear especial . Dado o perfil acima, todo tal g encontra-se em um subanel comutativo P _m representando um tipo de plano complexo de acordo com o quadrado de m . Como g g ^*  =  I , uma das três alternativas a seguir ocorre:

• mm = - I e g é sobre um círculo de euclideanas rotações ; ou
• mm = I e g é sobre uma hipérbole de mapeamentos de aperto ; ou
• mm = 0 eg está em uma linha de mapeamentos de cisalhamento .

Escrevendo sobre mapeamento afim planar , Rafael Artzy fez uma tricotomia semelhante de mapeamento plano e linear em seu livro Linear Geometry (1965).

Funções de matrizes reais 2 × 2

Os subanéis comutativos de M (2,  R ) determinam a teoria da função; em particular, os três tipos de subplanos têm suas próprias estruturas algébricas que definem o valor das expressões algébricas. A consideração da função de raiz quadrada e da função logaritmo serve para ilustrar as restrições implícitas nas propriedades especiais de cada tipo de subplano P _m descrito no perfil acima. O conceito de componente identidade do grupo de unidades de P _m leva à decomposição polar dos elementos do grupo de unidades:

• Se mm = - I , então z = ρ exp (θ m ).
• Se mm = 0, então z = ρ exp (s  m ) ou z = −ρ exp (s  m ).
• Se mm =   I , então z = ρ exp ( a m ) ou z = −ρ exp ( a m ) ou z =  m  ρ exp ( a m ) ou z = - m  ρ exp ( a m ).

No primeiro caso exp (θ  m ) = cos (θ) +  m  sin (θ). No caso dos números duais exp ( s m ) = 1 +  s m . Finalmente, no caso de números complexos divididos, existem quatro componentes no grupo de unidades. O componente de identidade é parametrizado por ρ e exp ( a m ) = cosh ( a ) +  m  sinh ( a ).

Agora, independentemente do subplano P _m , mas o argumento da função deve ser obtido do componente de identidade de seu grupo de unidades . Metade do plano se perde no caso da estrutura de número dual; três quartos do plano devem ser excluídos no caso da estrutura de número complexo dividido. ${\ textstyle {\ sqrt {\ rho \ \ exp (am)}} = {\ sqrt {\ rho}} \ \ exp \ left ({\ frac {1} {2}} am \ right)}$

Da mesma forma, se exp ρ ( um m ) é um elemento do componente identidade do grupo de unidades de um plano associados com 2 × 2 matriz  m , então a função logaritmo resulta em um valor de log ρ +  am . O domínio da função logaritmo sofre das mesmas limitações como faz a função raiz quadrada descrito acima: metade ou três quartos de P _m deve ser excluída no caso mm = 0 ou mm =  I .

A teoria das funções adicionais pode ser vista nas funções complexas do artigo para a estrutura C ou na variável motora do artigo para a estrutura complexa dividida.

Matrizes reais 2 × 2 como números complexos

Cada 2 × 2 matriz real pode ser interpretado como um dos três tipos de (generalizadas) números complexos: standard números complexos , números duplos e números de divisão do complexo . Acima, a álgebra de 2 × 2 matrizes é perfilado como uma união de plano complexo, todos compartilhando o mesmo eixo real. Esses planos são apresentados como subanéis comutativos P _m . Pode-se determinar a que um plano complexo dado 2 × 2 matriz pertence como se segue e classificar o tipo de número complexo que representa plano.

Considere a 2 × 2 da matriz

${\ displaystyle z = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}.}$

O plano complexo P _m contendo z é encontrado como segue.

Conforme observado acima, o quadrado da matriz z é diagonal quando a + d = 0. A matriz z deve ser expressa como a soma de um múltiplo da matriz identidade I e uma matriz no hiperplano a + d = 0. Projetando z alternadamente nesses subespaços de R ^{4, os} rendimentos

${\ displaystyle z = xI + n, \ quad x = {\ frac {a + d} {2}}, \ quad n = z-xI.}$

Além disso,

${\ displaystyle n ^ {2} = pI}$ onde . ${\ displaystyle p = {\ frac {(ad) ^ {2}} {4}} + bc}$

Agora z é um dos três tipos de número complexo:

• Se p <0, então é um número complexo comum :

  Deixe . Então . ${\ displaystyle q = 1 / {\ sqrt {-p}}, \ quad m = qn}$${\ displaystyle m ^ {2} = - I, \ quad z = xI + m {\ sqrt {-p}}}$

• Se p = 0, então é o número dual :

  ${\ displaystyle z = xI + n}$ .

• Se p > 0, então z é um número complexo dividido :

  Deixe . Então . ${\ displaystyle q = 1 / {\ sqrt {p}}, \ quad m = qn}$${\ displaystyle m ^ {2} = + I, \ quad z = xI + m {\ sqrt {p}}}$

Da mesma forma, um 2 × 2 da matriz também pode ser expressa em coordenadas polares , com a ressalva de que existem dois componentes conexos do grupo de unidades no plano número dupla, e quatro componentes no plano número split-complexo.

Grupo Projetivo

Uma dada matriz real 2 × 2 com ad ≠ bc atua nas coordenadas projetivas [ x  : y ] da linha projetiva real P (R) como uma transformação fracionária linear :

${\ displaystyle [x: y] {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} \ = \ [ax + by: \ cx + dy].}$ Quando cx + dy = 0, o ponto da imagem é o ponto no infinito , caso contrário

${\ displaystyle [ax + by: \ cx + dy] \ \ thicksim \ left [{\ frac {ax + by} {cx + dy}}: \ 1 \ right].}$

Em vez de agir no plano como na seção acima, uma matriz atua na linha projetiva P (R), e todas as matrizes proporcionais atuam da mesma maneira.

Seja p = ad - bc ≠ 0. Então

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} d & -c \\ - b & a \ end {pmatrix}} \ = \ {\ begin {pmatrix} p & 0 \\ 0 & p \ end {pmatriz}}.}$

A ação desta matriz na linha projetiva real é

${\ displaystyle [x: y] {\ begin {pmatrix} p & 0 \\ 0 & p \ end {pmatrix}} \ = \ [px: py] \ thicksim [x: y]}$ por causa das coordenadas projetivas, de forma que a ação é aquela do mapeamento da identidade na linha projetiva real. Portanto,

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} \ {\ text {and}} \ {\ begin {pmatrix} d & -c \\ - b & a \ end {pmatrix}}}$ atuam como inversos multiplicativos .

O grupo projetivo começa com o grupo de unidades GL (2, R) de M (2, R), e então relaciona dois elementos se eles forem proporcionais, uma vez que as ações proporcionais em P (R) são idênticas:

PGL (2, R) = GL (2, R) / ~ onde ~ relaciona matrizes proporcionais. Cada elemento do grupo linear projetivo PGL (2, R) é uma classe de equivalência sob ~ de matrizes reais proporcionais 2 × 2.

Veja também

• Transformação canônica linear

Referências

• Rafael Artzy (1965) Linear Geometry , Capítulo 2-6 Subgroups of the Plane Affine Group over the Real Field, p. 94, Addison-Wesley .
• Helmut Karzel & Gunter Kist (1985) "Kinematic Algebras and their Geometries", encontrado em
  • Rings and Geometry , R. Kaya, P. Plaumann e editores K. Strambach, pp. 437–509, esp 449,50, D. Reidel ISBN   90-277-2112-2 .
• Svetlana Katok (1992) Fuchsian groups , pp. 113ff, University of Chicago Press ISBN   0-226-42582-7 .
• Garret Sobczyk (2012). "Capítulo 2: Números complexos e hiperbólicos". Novos fundamentos em matemática: o conceito geométrico de número . Birkhäuser. ISBN   978-0-8176-8384-9 .